Un'ipotesi su cardinalità e ordinalità

Nella sezione 3.1.2, avevamo ipotizzato che la separazione, nell'analisi a po- steriori del pre-test, tra le due consegne Linee dei numeri 0100 e Linee dei numeri 01000 fosse dovuta alla possibilità, presente solo per la prima di queste consegne, di avere un parziale controllo sull'ordinalità. Tale possibi- lità era dovuta alla presenza contemporanea di due linee, su ciascuna delle quali si doveva posizionare un diverso numero obiettivo. Oltre a una stima numerica di tipo cardinale, pertanto, gli studenti potevano sfruttare almeno 15_{In questa riga, così come nella riga per la consegna 3, riportiamo tra parentesi la}

variazione di errori rispetto agli item relativi nel MathPro Test. Ad esempio, 0 (−2) signica che si sono totalizzati 0 errori, 2 in meno rispetto al MathPro. I colori verde e rosso indicano rispettivamente un miglioramento o un peggioramento della prestazione.

3.4. CONCLUSIONI 91 in parte le proprietà ordinali dei numeri naturali dando un giudizio sulle posizioni relative dei due numeri obiettivo.

Il nostro studio suggerisce una conferma per questa ipotesi. Ricordiamo che, nel MathPro Test, il controllo sull'ordinalità era stato eliminato dalle consegne sulle Linee dei numeri. D'altra parte, la nostra consegna 1 preve- deva che ogni posizionamento rimanesse su di un unico foglio (e la possibilità di correggersi), orendo perciò la possibilità di un controllo di tipo ordina- le sulle posizioni relative dei numeri coinvolti. Dei sette soggetti coinvolti, solo uno (Matteo) ha confermato esattamente la prestazione del MathPro, mentre cinque hanno avuto un cambiamento  in positivo o in negativo  rilevante, con una dierenza di almeno due errori. Per tre degli studenti, addirittura, la variazione è stata di almeno cinque errori.

Inoltre, le variazioni sono evidentemente più contenute per quel che ri- guarda la consegna 3, che come il MathPro Test non prevedeva un control- lo sull'ordinalità, ma che era di tipo posizione-a-numero anziché numero-a- posizione. Per quattro soggetti su sette, il cambiamento rispetto al MathPro è stato più consistente nella consegna 1 che nella consegna 3, e solo per uno (Emiliano) si è vericato il fenomeno inverso.

Oltre a questi indizi di stampo prestazionale, anche le strategie adottate dagli studenti indicano che il conitto cardinalità-ordinalità abbia giocato un ruolo importante nell'approccio a queste consegne sulle linee dei numeri. Un primo esempio è dato dalle correzioni di Chiara e di Andrea. Per entrambi gli studenti le correzioni, che sono state sempre migliorative (ogni numero spostato è stato riposizionato in modo più adeguato), sembrano esse- re innescate da un giudizio legato all'ordinalità16_{. Il pattern che si vericava}

tipicamente per questi due studenti era il seguente: ci si trova a posizionare un numero e gli si fa spazio spostando alcuni dei numeri precedenti in modo da rispettare l'ordine dei numeri. Ad esempio, quando Chiara deve posizio- nare il 23 ha già sul foglio 8, 17, 29, 81 e 90 (ordinati in modo coerente). Con un ragionamento di tipo ordinale, Chiara osserva i numeri precedente (17) e (29) e nota, con un ragionamento ora di tipo cardinale, che lo spazio tra questi numeri è insuciente. Capisce inoltre che è il posizionamento di

17 ad essere errato17 _{(ho messo troppo vicino il 17). Sposta quindi il 17}

più a sinistra e, di conseguenza, tutti i numeri sulla sua sinistra (in questo caso solo l'8) migliorando il posizionamento di tutti i numeri spostati18_{. Ri-}

badiamo che, malgrado quasi tutti i passaggi citati siano di stampo cardinale (una cardinalità viene tradotta in una posizione) è la valutazione, tutta di 16_{Che i due studenti abbiano posto attenzione al lato ordinale è provato anche}

dall'assenza dell'etichetta incoerenza12.

17_{Per i nostri criteri, in quel momento sia 17 che 29 erano errati, ma il 17 era quello}

più errato, ovvero il più lontano dalla sua corretta posizione.

18_{Questo processo, limitatamente ai numeri coinvolti dallo spostamento, ricorda il pas-}

saggio da rappresentazione logaritmica a rappresentazione lineare che avevamo descritto nella sezione 1.1.4.

stampo ordinale, dei numeri che precedono e seguono 23 ad innescare il pro- cesso. Addirittura, grazie all'uso di correzioni di questo tipo, Andrea riesce a migliorare la propria prestazione di ben 5 errori rispetto al MathPro Test, passando da 6 errori a 1 errore.

Un indizio simile ci viene oerto anche da Alessandra, che ha avuto pre- stazioni molto negative in tutte le consegne, in particolare in quelle numero- a-posizione: nella consegna 1 ha sbagliato tutti gli item (11 errori contro i 10 del MathPro), nella consegna 2 solo un posizionamento è risultato cor- retto. Appoggiandosi esclusivamente ad una strategia di conteggio, non è riuscita né a posizionare i numeri in punti della linea adeguati, né a ordinarli in maniera corretta (incoerenza12). Durante la fase nale (successiva al completamento delle quattro consegne) dell'intervista, ci siamo concentrati sul posizionamento del numero 56 (l'ultimo item della consegna 2).

Intervistatore [indicando il foglio della consegna 2]: Come mai hai messo qua il 56? [. . .]Non ti sei accorta che 56 è venuto più grande di 486?

Alessandra: No, non è normale. I: Sposteresti il 56 o il 486? A: Il 486.

Per decidere dove spostare tale numero, Alessia ha impiegato molto più tem- po che per i posizionamenti eettuati nel corso della consegna. La nuova posizione (il trattino non etichettato, vedi 3.11) è individuata perché 486 è più piccolo di 722, segno che in questa occasione l'attenzione si è rivolta an- che agli altri numeri (mentre prima ciò non era mai avvenuto, come la stessa Alessandra ci ha in seguito confermato). Se la prima scelta per il numero 486 (scelta avvenuta senza confronto con gli altri posizionamenti) si era rivelata errata, questa nuova decisione (basata esplicitamente su un raronto con i trattini già presenti) ha prodotto un posizionamento corretto.

Porre attenzione sul lato ordinale, d'altro canto, non sempre porta a un aumento della qualità della prestazione. In questo senso, l'esempio più calzante è dato da Mattia, che totalizza ben cinque errori in più rispet- to a quanto aveva fatto nel MathPro Test. Che questo sia dovuto, alme- no in parte, da una dicoltà a combinare aspetti cardinali e ordinali (con uno squilibrio di attenzione a favore di questi ultimi) è suggerito dal fatto che nelle consegne numero-a-posizione c'è attenzione all'odinamento (niente etichetta incoerenza12) ma scarsa prestazione (peggioramento1), mentre l'esatto opposto avviene per le consegne poszione-a-numero (abbiamo sia incoerenza34 che miglioramento3). Notiamo oltretutto che questo setting è del tutto complementare a quello di Andrea.

Notiamo, inne, che tutti gli studenti hanno prodotto un ordinamento incoerente per almeno una delle consegne posizione-a-numero (incoerenza34 è l'unica etichetta presente in tutte le intervsite). Anche questo suggerisce che un'attenzione all'ordinalità può modicare la prestazione, dato che per

3.4. CONCLUSIONI 93 ottenere un ordinamento coerente è necessaria la possibilità di un controllo sulle risposte precedenti.