MNL: innata o solo utile?

Al termine di questo capitolo, è opportuno rimarcare come quello della MNL sia un costrutto teorico, una metafora per rendere conto del modo in cui la nostra mente elabora le informazioni numeriche. Che il nostro cervel- lo rappresenti davvero i numeri come posizioni su di una linea è piuttosto improbabile.

Ad esempio, l'invenzione della rappresentazione stessa dei numeri come linea è piuttosto recente. Secondo la storica della matematica mesopotamica Eleanor Robson (citata in Núñez 2011), tra i reperti babilonesi non è stata ritrovata alcuna traccia di rappresentazioni di linee dei numeri, e ad oggi si può pertanto escludere che tra le tecniche cognitive all'interno del repertorio matematico dei Babilonesi gurasse la metafora del numero come linea. Fino alla fondazione della matematica greca (III secolo a.C.) il numero non era considerato come un ente a sé stante, ma solo come una proprietà di un insieme o di un oggetto misurato. Le prime caratterizzazioni della linea dei numeri a noi note risalgono a lavori di alta matematica del XVII secolo, come quelli di Napier (1614, gura 1.11a) o di John Wallis (1685, gura 1.11b). Addirittura questi due testi, ideati per essere letti da matematici esperti, insistono con pedanteria ed estrema cautela nel descrivere questa nuova idea.

Núñez (2011) ha riesaminato i risultati dello studio di Dehaene, Izard et al. (2008) sui Munduruku e ha ravvisato una tendenza bimodale che è an- cora più evidente nel caso degli Yupno dei monti Finisterre in Papua Nuova Guinea (Núñez, Cooperrider e Wassmann 2012). Questa popolazione dispo- ne dei concetti di numeri esatti, per i quali esistono le relative parole no a 20. Tuttavia, nel test di posizionamento di un numero su un segmento, i sog- getti hanno prodotto associazioni esclusivamente con gli estremi della linea, scegliendo l'estremo sinistro per il numero 1 (talvolta anche per il numero 2)

1.3. INFLUENZE INTERCULTURALI 35 e l'estremo destro per tutti i numeri maggiori. Questo studio sembra quindi smentire l'universalità della MNL.

(a) Mirici logarithmorum canonis descriptio

(Napier 1614). (b) A Treatise of Algebra (Wallis1685).

Figura 1.11: I primi testi di matematica ad introdurre la linea dei numeri risalgono al XVII secolo.

Ad essere messa sotto accusa è anche l'assunzione che quello spaziale sia il mezzo di rappresentazione fondamentale per le cardinalità. Núñez, Doan e Nikoulina (2011) hanno riprodotto gli stessi risultati della popolazione occidentale nell'esercizio sulla linea dei numeri di Dehaene, Izard et al. (2008) chiedendo ai partecipanti di rappresentare i numeri attraverso metodi non spaziali, come stringere un dinamometro o colpire una campana con diverse intensità.

In conclusione, gli studi interculturali conosciuti non solo non riesco- no a dimostrare in modo denitivo che l'associazione numero-a-spazio sia innata, ma i risultati supportano l'aermazione opposta. Prese insieme, le proporzioni di risposte bimodali dei Munduruku e le ri- sposte completamente bi-categoriche degli Yupno  prive di metrica in entrambi i gruppi  suggeriscono che l'intuizione della MNL non faccia parte del patrimonio genetico umano. L'associazione numero- a-linea, anche se onnipresente nel mondo moderno, non è universal-

mente spontanea ma sembra piuttosto essere imparata attraverso  e continuamente rinforzata da  pratiche culturali speciche.

(Núñez 2011) Sotto la lente della critica sono niti anche i legami tra la MNL e le competenze matematiche di ordine superiore.

Schneider, Grabner e Paetsch (2009) hanno condotto dei test su 429 stu- denti (1012 anni) con lo scopo di indagare le mutue relazioni tra grado di automatismo numerico-spaziale, competenze matematiche e successo scola- stico in materia, trovando come buoni predittori del protto scolastico la

conoscenza concettuale, l'intelligenza numerica10_{e la capacità di stima sulla}

linea dei numeri, mentre il distance eect e l'eetto SNARC si sono rilevati incorrelati alle altre variabili.

[. . .]la dipendenza dalla linea dei numeri interna non ha alcuna inuen- za sostanziale sulle competenza nella stima sulla linea dei numeri e sui risultati matematici scolastici in generale [. . .]

(Schneider, Grabner e Paetsch 2009) Sia Dehaene, Bossini e Giraux (1993) che Fischer e Rottmann (2005) han- no, invece, trovato un eetto SNARC più pronunciato in studenti di lettere o psicologia che in studenti di sica, ingegneria o matematica, suggerendo che individui dotati di maggiori competenze matematiche si appoggiano meno sulla MNL. Coerentemente con questa ipotesi si colloca il fatto che il distan- ce eect diminuisca con l'età (Sekuler e Mierkiewicz 1977; Holloway e Ansari 2008).

Tuttavia, anche i critici più feroci della connaturalità della MNL ricono- scono la ricchezza di questa rappresentazione.

Lako e Núñez (2000) parlano di aritmetica come moto lungo un percor- so: quando i numeri sono pensati come se fossero luoghi su un percorso, e le operazioni aritmetiche come se fossero opportuni movimenti lungo lo stesso percorso, la metafora che si ottiene produce un ricco repertorio di proprietà e tecniche dedotte dalle dinamiche spaziali. Per quanto questo tipo di rap- presentazione per l'aritmetica possa non essere innato, è senza dubbio un utile stratagemma da apprendere.

Per Gilmore, McCarthy e Spelke (2007), e Holloway e Ansari (2009) la MNL inuenza i bambini nelle loro prime abilità di capire i numeri interi e di operare con essi. Allo stesso modo, Case, Okamoto et al. (1996) parlano della MNL come di una lente attraverso il quale i bambini vedono il mon- do, sostenendo che essa costituisce uno strumento usato per creare nuova conoscenza.

10_{Per l'intelligenza, gli autori usano la denizione di Gottfredson (1997): abilità di}

ragionare, pianicare, risolvere problemi, pensare in astratto, comprendere idee complesse, apprendere velocemente ed imparare dall'esperienza.

1.3. INFLUENZE INTERCULTURALI 37 Come abbiamo visto nella sezione 1.1.1, vi sono analogie tra MNL e rappresentazioni esterne della linea dei numeri come il righello, e pertanto rappresentazioni concrete della linea dei numeri costituiscono un mezzo di- datticamente imprescindibile per potenziare e valutare processi legati alle MNL degli studenti. Siegler e Booth (2004) riassumono i vantaggi dell'usare linee dei numeri esterne come strumenti didattici (artefatti): sono facili da generare, possono essere usate per vericare la comprensione delle grandezze di qualsiasi range numerico, e aiutano a capire che ogni tipo di numero è un'entità signicativa la cui grandezza è denita attraverso il sistema deci- male; cioè, sostanzialmente, usare la linea dei numeri può aiutare a capire il signicato dei numeri. In particolare, viene consigliata la pratica didattica di concentrarsi su dei benchmark sulla linea dei numeri (come un quarto, metà, tre quarti): questa abitudine sembra oltretutto sorgere spontaneamente in

molti bambini di età maggiore e in molti adulti (Siegler e Opfer 2003)11_.

Inne, Siegler e Booth (2004) hanno riscontrato una forte correlazione tra prestazioni in matematica e abilità nella stima su una linea dei numeri rap- presentata gracamente. Saper collocare i numeri conosciuti sulla retta è ritenuta una competenza importante anche nel quadro legislativo italiano: il MIUR (2012a) la colloca tra gli obiettivi di apprendimento sia per la scuola primaria che per la secondaria di primo grado.

La MNL è dunque probabilmente una rappresentazione guidata da in- uenze naturali, come la notazione e la scrittura, e universalmente disponi- bile a fortiori anziché geneticamente determinata a priori. Da questo nasco- no dunque le grandi potenzialità di questo così fortunato costrutto teorico e delle sue rappresentazioni concrete. In denitiva, concentrare parte della pratica didattica sul potenziamento concettuale della MNL è ampiamente consigliato in letteratura.

11_{Coerentemente con questi risultati, Saxe et al. (2013) hanno mostrato che, quando}

posti di fronte alla consegna di posizionare un numero su una linea che già mostrava altri due numeri, i risultati degli studenti sono stati migliori quando l'intervallo già presente era unitario (come 8, 9) anziché multi-unitario (come 7, 9). Più in generale, considerando anche il numero da posizionare, gli studenti si sono mostrati più competenti nei casi in cui i tre numeri considerati fossero consecutivi.

Capitolo 2

Il MathPro Test

In questo capitolo introduciamo il MathPro Test, uno strumento didattico per la prolazione delle debolezze e delle competenze matematiche ideato da Giannis Karagiannakis, Anna Baccaglini-Frank e i loro collaboratori.

In una prima sezione, arontiamo la nomenclatura e i quadri normativi di base per le dicoltà in matematica, evidenziando le criticità emerse in letteratura nel categorizzare tali dicoltà. Riassumiamo i principali tentativi in questa direzione, mettendone in luce i limiti e i punti di forza.

La seconda sezione espone il modello su quattro dominî di Karagianna- kis, Baccaglini-Frank e Papadatos (2014), e un primo esperimento di valu- tazione (Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Roussos 2016) basato su questo modello e sulla batteria DeDiMa (Karagiannakis e Baccaglini-Frank 2014). Particolare attenzione è riservata alle consegne sulle Linee dei numeri.

Nella terza e ultima sezione presentiamo il MathPro Test, che si basa sul modello su quattro dominî e prende piede dal pre-test introdotto nella sezione precedente. Nell'arontare tanto la struttura generale del test, quanto i risultati delle standardizzazioni nazionali in Belgio ed Italia, manteniamo un focus importante sulle consegne sulle Linee dei numeri.

2.1 Dicoltà in matematica