Denizioni, quadro normativo, criticità diagnostiche

Nonostante le riforme nei programmi scolastici, le innovazioni tecnologiche, o i risultati della ricerca nel campo dell'educazione, quello delle dicoltà nell'apprendimento resta un problema centrale per l'istruzione della mate- matica. In particolare, è prioritario individuare e prolare il prima possibile le debolezze concettuali degli studenti, dato che le attuali linee di ricerca in- ternazionale considerano di primaria importanza eettuare interventi precoci per evitare la permanenza delle dicoltà (Aubrey, Godfrey e Dahl 2006). Da qui l'importanza dei processi di diagnosi e di intervento per le dicoltà in matematica.

Sebbene la letteratura si concentri prevalentemente sul primo di questi (il versante diagnostico, di categorizzazione e prolazione), recentemente han- no cominciato ad emergere con più decisione studi di intervento didattico sugli studenti con dicoltà. Ad esempio, Baccaglini-Frank e Bartolini Bussi (2015) hanno sfruttato l'uso di artefatti (cannucce in fascette da dieci, gu- ra 2.1) e di transcodiche interne al modello del triplo codice di Dehaene (1992; vedi sezione 1.1.1) per consolidare la notazione posizionale decimale. Analogamente, il progetto PASMAP (Pattern And Structure Mathematics Awareness Program, Programma per la consapovelezza di pattern e struttu- re in matematica; Mulligan, Mitchelmore, English et al. 2013) è riuscito ad aumentare la consapevolezza di pattern e strutture degli studenti attraverso esperienze didattiche incentrate sui processi di memoria, astrazione e gene- ralizzazione (ne parleremo più approfonditamente in seguito, vedi sezione 2.1.2).

In questa sezione intendiamo arontare sinteticamente il tema delle di- coltà in matematica, cominciamo pertanto riassumendo le denizioni di base. Zan (2006) ha descritto le dicoltà relative all'insegnamento-apprendimento della matematica in termini di: allievo con dicoltà in matematica, dicoltà della matematica stessam, dicoltà di un allievo in matematica. In questo capitolo ci riferiamo alla prima di queste categorie.

A livello legislativo, in Italia il Ministero dell'istruzione, dell'università e della ricerca parla di Bisogni Educativi Speciali (BES) e Disturbi Specici dell'Apprendimento (DSA).

Ogni alunno, con continuità o per determinati periodi, può manifestare Bisogni Educativi Speciali: o per motivi sici, biologici, siologici o anche per motivi psicologici, sociali, rispetto ai quali è necessario che le scuole orano adeguata e personalizzata risposta.

(MIUR 2012b) I BES sono ripartiti in tre macroaree:

1. svantaggi socio-economici, linguistici e culturali;

2. disabilità visiva, uditiva, motoria, intellettiva o di altro tipo (certicata ai sensi della legge 104/92);

3. disturbi specici dell'apprendimento, decit di linguaggio, decit del- le abilità non verbali, decit della coordinazione motoria, decit di attenzione e di iperattività (diagnosticati ai sensi della legge 107/2010). In quest'ultima categoria rientrano pertanto i DSA, che nei documenti ministeriali vengono descritti come decit neuropsicologici, pertanto non at- tribuibili a fattori ambientali o relativi alla pratica didattica. La normativa italiana riconosce quattro DSA: discalculia, disgraa, dislessia e disortogra- a. Un altro disturbo, tuttora non riconosciuto dal MIUR, ma che sembra

2.1. DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA 41

Figura 2.1: Rappresentazione di 36 con cannucce in fascette da 10 (foto da Baccaglini-Frank 2015).

avere un impatto negativo sull'apprendimento della matematica, e della geo- metria in particolare, è noto come Disturbo dell'Apprendimento Non-Verbale (DANV). Ci concentriamo più specicamente sulla discalculia, l'unico DSA

legato in maniera diretta alla matematica1_{. A livello diagnostico, l'OMS}

elenca così le caratteristiche del disturbo del calcolo:

[. . .]un'incapacità a comprendere i concetti alla base di particolari ope- razioni aritmetiche; una mancanza di comprensione dei termini o dei segni matematici; il mancato riconoscimento dei simboli numerici; la dicoltà di operare le manipolazioni aritmetiche standard; la dicoltà nel comprendere quali numeri sono pertinenti al problema aritmetico che si sta considerando; la dicoltà ad allineare correttamente i numeri o a inserire decimali o simboli durante i calcoli; la difettosa organizza- zione spaziale dei calcoli aritmetici; l'incapacità ad apprendere in modo soddisfacente le tabelle della moltiplicazione.

(OMS 1992)2,3

In italia, gli studenti DSA sono stimati tra il 3% e il 5% della popolazione (MIUR 2011a), ma sembra essersi sviluppata una tendenza all'aumento delle certicazioni (MIUR 2011b), specialmente in alcune regioni. D'altro canto, l'International Academy for Research on Learning Disabilities (IARLD) sti- ma intorno al 2,5% la porzione discalculica, e sotto all'1% quella con discalcu- lia pura della popolazione studentesca (Cornoldi e Lucangeli 2004); perdipiù (Lucangeli 2005) ha mostrato che più del 20% degli studenti al termine del 1_{Anche gli altri disturbi possono incidere negativamente, seppur in maniera indiretta,}

sull'apprendimento della matematica. Ad esempio, un dislessico può avere dicoltà nel- l'arontare un problema matematico presentato in via verbale scritta, oppure un disgraco può trovare complicata la produzione di rappresentazioni grache dei concetti matematici. Inoltre, sono piuttosto frequenti casi di comorbidità tra i vari DSA.

2_{Questa denizione non è esente da critiche (ad esempio da parte di Butterworth, in}

Verschael et al. 2018).

ciclo della primaria risulterebbe positivo ai test diagnostici per la discalculia usati a livello nazionale. Quello che emerge è pertanto un quadro di alta incidenza nazionale di falsi positivi. Per Baccaglini-Frank, Di Martino et al. (2017)

[. . .]in Italia il fenomeno di etichettamento di tutti gli studenti che presentano basse prestazioni in matematica ha creato e continua a creare molta tensione e confusione rispetto a che cosa sia la discalculia. Queste incertezze producono per lo più disagio tra insegnanti, studenti e famiglie, anche perché per legge gli studenti certicati DSA hanno diritto a particolari strumenti compensativi e misure dispensative (L. n. 170/2010). Nell'adattare tali strumenti e misure ai singoli studenti poco o nessun supporto è oerto agli insegnanti, che, secondo il sistema inclusivo italiano, si trovano in classe contemporaneamente studenti con bisogni educativi spesso molto diversi tra loro.

(Baccaglini-Frank, Di Martino et al. 2017, p. 88) Esiste un'ampia letteratura italiana (ad esempio Mariotti e Maei 2011; Baccaglini-Frank e Bartolini Bussi 2015) che indica come sia possibile limita- re il fenomeno dei falsi positivi nelle diagnosi di discalculia con una didattica più attenta.

Nell'investigare le dicoltà in matematica, la maggior parte della ricerca nel campo della psicologia cognitiva si è concentrata sulle problematiche che intervengono nello sviluppo della cognizione numerica di base. Per descri- vere i vari quadri di problematicità è quindi emersa, nel corso degli anni, una molteplicità di termini, come dicoltà nell'apprendimento della ma- tematica (MLD, Mathematical Learning Diculties; Passolunghi e Siegel 2004), disabilità dell'apprendimento della matematica (MLD, Mathema- tical Learning Disabilities; Rousselle e Noel 2007), discalculia evolutiva (DD, Developmental Dyscalculia, Piazza, Facoetti et al. 2010). Tuttavia, la

terminologia risulta inconsistente4 _{e queste denizioni restano argomento di}

dibattito (Mazzocco e Räsänen 2013). Per Szucs (2016; vedi anche Fletcher et al. 2011) questo è dovuto all'assenza di una classicazione generalmente

accettata delle debolezze matematiche nell'apprendimento5_.

Verschael et al. (2018), ad esempio, si concentrano sul rapporto tra dicoltà in matematica, ricerca, istruzione, e aritmetica dei numeri interi.

Molti bambini hanno dicoltà o problemi con l'apprendimento della matematica. Benché queste dicoltà o problemi occorrano a qualsiasi 4_{Addirittura, come abbiamo appena visto, la stessa sigla (MLD) indica di volta in volta}

un oggetto diverso  le dicoltà o le disabilità nell'apprendimento della matematica.

5_{Ci sono comunque anche altri motivi che entrano in gioco. Un'altra delle dicoltà nel}

riconoscere le varie forme di MLD risiede nel distinguere tra i disturbi e tra le competenze, come provato dal fatto che persino individui con discalculia pura possano essere assai competenti in matematica: ad esempio Butterworth, Varma e Laurillard (2011) hanno riscontrato casi di discalculia fra soggetti con quoziente intellettivo molto elevato.

2.1. DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA 43 stadio nello sviluppo matematico del discente, il grosso del lavoro è riservato al dominio della matematica elementare e, più nello specico, al dominio dell'aritmetica dei numeri interi (WNA, Whole Number Arithmetic). Nonostante le questioni diagnostiche ed educative per bambini con bisogni matematici speciali stiano ricevendo un'attenzione crescente dalla ricerca, la letteratura in quest'area è comunque rimasta indietro rispetto ad altre materie come la lettura.

(Verschael et al. 2018) Lewis e Fisher (2016) hanno analizzato sistematicamente 710 studi sul- le MLD trovando una eccessiva variabilità nei test prestazionali usati come discrimine: ad esempio, i cut-o variano dal terzo al trentaduesimo percen- tile, mentre la prevalenza si muove dall'1.3% al 13.8%. Inoltre le diagnosi non sembrano generalmente in grado di separare dicoltà cognitive e non cognitive, spesso non si tiene conto dei fattori socio-economici, linguistici, di etnia e di genere, e la quasi totalità delle pubblicazioni considerate non tiene presente contenuti matematici importanti come frazioni, espressioni o equa- zioni. Il quadro è ulteriormente complicato dai frequenti casi di comorbidità e dalla vasta eterogeneità (Kaufmann et al. 2013).

Inoltre, per Baccaglini-Frank e Bartolini Bussi (2015), un tema fonda- mentale a cui non viene data suciente importanza nelle pratiche diagno- stiche è quello di competenza matematica. Tale concetto nasce dalla ricerca di Niss (2003) e fa parte dei quadri teorici delle rilevazioni più importanti a livello internazionale (OCSE 2012) e nazionale (INVALSI 2017). Riportiamo la denizione dell'OCSE.

La competenza matematica (mathematical literacy) è l'abilità indi- viduale: di identicare il ruolo che la matematica gioca nel mondo, di operare valutazioni fondate, di utilizzare la matematica e confrontarsi con essa in modi che rispondono alle esigenze della vita di quell'indi- viduo in quanto cittadino che esercita un ruolo costruttivo, impegnato e basato sulla riessione.

(OCSE 2012, p. 24)6 2.1.2 Tentativi di categorizzazione

Ma se si può ridurre il numero dei bambini positivi ai test per la discal- culia in modo così importante soltanto con una didattica attenta, c'è da chiedersi che cosa ci dicano davvero le prove che si usano quotidia- namente per la diagnosi, e più in generale che cosa sia la discalculia. Queste sono questioni ancora aperte in diversi ambiti della ricerca. Poiché il raggiungimento di risposte certe è ancora lontano, in ambito didattico sembra che possa essere più fruttuoso smettere di cercare di scoprire chi siano i discalculici, per etichettarli e concentrare invece 6_{Grassetto e traduzione da Baccaglini-Frank, Di Martino et al. (2017, p. 99).}

l'attenzione sul perché alcuni studenti falliscano in certi ambiti (qua- li?) della matematica e ricercare che cosa è possibile fare per evitare tale fallimento.

(Baccaglini-Frank e Bartolini Bussi 2015)7

I tentativi (L. S. Fuchs e D. Fuchs 2002) di classicare e spiegare le di- coltà nell'apprendimento della matematica costituiscono una linea di ricerca pluridecennale. Buona parte di questi tentativi (ad esempio Augustyniak, Murphy e Phillips 2005) prende piede dalla volontà di rivelare i fattori cogni- tivi alla base degli insuccessi nel rendimento in matematica, talvolta concen- trandosi su alcuni aspetti specici. Ad esempio, Geary (2004) ha analizzato il ruolo della memoria di lavoro e dell'inibizione cognitiva. Mammarella e Cor- noldi (2005) si sono invece dedicati alle conseguenze dei decit visuo-spaziali sul rendimento in matematica.

La classicazione proposta da Geary (1994; ma vedi anche Geary e Hoard 2004), in particolare, mette in relazione disordini matematici e decit neurologici, risultando nell'individuazione di tre sottotipi principali:

procedurale (emisfero destro) ritardo nell'acquisizione delle strategie arit- metiche di base, che può derivare da mancanze della memoria di lavoro verbale o di conoscenza concettuale;

memoria semantica (emisfero sinistro) decit nel recupero di fatti causato da problemi di memoria a lungo termine;

spaziale (emisfero destro) decit nella rappresentazione spaziale dei numeri. Comunque, lo stesso Geary (2010), a sedici anni di distanza ha par- zialmente rivisto il suo modello alla luce della ricerca successiva in campo cognitivo, neuropsicologico e genetico.

Nonostante la memoria di lavoro contribuisca ad alcuni dei decit asso- ciati con le MLD, come proposto originariamente, questo non è tutto; le relazioni tra memoria di lavoro e carenze matematiche dei bambini con MLD sono persino più sfumate di quanto pensassi. [. . .]Non avevo anticipato il contributo dei decit nel nucleo numerico all'MLD [. . .]ma le prove supportano con decisione la sua esistenza. La relazione tra svi- luppo tardivo o decit nei sistemi del senso del numero, e i tre decit originariamente proposti deve ancora essere determinato.

(Geary 2010) Il modello di von Aster e Shalev (2007) è basato sul costrutto della MNL e fa esplicito riferimento alla ricerca di Dehaene (1997; 2002) sul senso del nu- mero. Il modello si articola sull'acquisizione di quattro step, evidentemente inuenzati dal triplo codice di Dehaene, Piazza et al. (2003):

2.1. DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA 45 1. il sistema base di grandezza (o cardinalità);

2. il sistema numerico verbale; 3. il sistema numerico arabo;

4. la linea dei numeri mentale che coinvolge anche le proprietà spazio- ordinali del numero.

Un altro esempio di costrutto teorico elaborato per la prolazione di abi- lità e debolezze in matematica è costituito dalla Consapevolezza degli schemi e delle strutture matematiche (AMPS, Awareness of Mathematical Pattern and Structure; Mulligan 2011). Questo modello si concentra fondamental- mente sulla capacità di riconoscimento dei pattern, rivolgendo parzialmente l'attenzione anche alle associazioni visuo-spaziali e al senso del numero. Il modello si basa su quattro stadi, che descriviamo brevemente.

Stadio pre-strutturale (PRS, PRe-Structural stage) Le rappresentazioni non danno segni di alcuna struttura numerica o spaziale. La maggior parte degli esempi mostrano caratteristiche idiosincratiche.

Stadio emergente (ES, Emergent Stage) Le rappresentazioni mostrano qualche elemento rilevante della struttura data, ma la struttura nume- rica o spaziale non è rappresentata.

Stadio strutturale parziale (PS, Partial Structural stage) Le rappresen- tazioni mostrano la maggior parte degli aspetti rilevanti della struttura numerica o spaziale, ma la rappresentazione è incompleta.

Stadio dello sviluppo strutturale (stage of Structural development) Le rappresentazioni integrano correttamente le caratteristiche strutturali numeriche e spaziali.

Lo strumento ideato da Mulligan, Mitchelmore e Stephanou (2015) per la valutazione del livello di AMPS va sotto l'acronimo PASA (Pattern And Structure Assessment, valutazione di pattern e strutture), è basato sul me- todo dell'intervista clinica e restituisce come risultato non solo uno dei quat- tro livelli, ma anche una prolazione più approfondita su cinque strutture individuali:

Sequenze Riconoscere una serie (lineare) di oggetti o simboli disposti in un ordine denito o usando ripetizioni, cioè ripetendo e facendo crescere schemi e sequenze numeriche.

Forma ed allineamento Costruire unità di misura, riconoscere le carat- teristiche strutturali di forme e rappresentazioni grache bi- e tri- di- mensionali (2D e 3D), come collinearità, somiglianza e congruenza, proprietà di lati corrispondenti, opposti e adiacenti, angoli retti, linee orizzontali e verticali parallele e perpendicolari.

(a) Stadio emergente (b) Stadio strutturale parziale (c) Stadio dello sviluppo strutturale

Figura 2.2: Stadi di AMPS sulla linea dei numeri (Mulligan 2011) Equispaziatura Partizionare lunghezze, altri spazi e oggetti 2D e 3D in

parti uguali, così come costruire unità di misura. È fondamentale per rappresentare frazioni, scale e intervalli.

Conteggio strutturato Subitizing, contare in gruppi, come contare di 2 in 2 o di 5 in 5 in una sequenza numerica con strutture di gruppo riconoscibili come moltiplicative.

Partizionamento Divisione di lunghezze, e di altri spazi, oggetti e quantità 2D e 3D in parti uguali o ineguali, incluse frazioni e unità di misura. Riportiamo un esempio di classicazione negli stadi da emergente a strut- turale per la stima e registrazione dei numerali no a 10 sulla linea dei numeri (gura 2.2).

Nel revisionare i tentativi di denire i tipi di MLD, Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Roussos (2016) analizzano analogie e dierenze per questi studi.

I modelli derivanti da questa linea di ricerca sono costruiti sull'assun- zione che sia possibile collegare le abilità cognitive degli studenti con le loro prestazioni in prove di valutazione appropriatamente costruite. A livello metodologico questa assunzione porta a un'altra molto comune in questi studi, cioè che prestazioni alte o basse in una prova o una serie di esse corrisponda alla presenza o assenza di una particolare abilità cognitiva nello studente. Vediamo questo come una limitazione, ma in questo tipo di studi non abbiamo ancora trovato una via alternativa. Tuttavia, sono ancora signicative le dierenze soggiacenti agli approc- ci usati per lo sviluppo di tali modelli, e soggiacenti alla metodologia usata per validare ciascun modello. Queste dierenze contribuiscono a rendere molto dicile confrontare i risultati fra gli studenti.

(Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Roussos 2016) Inoltre, per Mulligan, Verschael et al. (2018) a una dovuta attenzione alle abilità numeriche di base dei bambini (es. contare, confrontare numerosi- tà) solo recentemente ha cominciato ad accompagnarsi un'altrettanto dovuta attenzione alle abilità di ragionamento quantitativo (es. comprensione della

2.2. IL MODELLO SU QUATTRO DOMINÎ 47