Domande di ricerca

Alla luce di quanto appena riassunto, abbiamo impostato uno studio speri- mentale con lo scopo di esplorare le seguenti domande di ricerca.

A quali fattori può essere attribuita l'ampia variabilità di collocazio- ne delle consegne sulle Linee dei numeri all'interno dei dominî per i tre studi principali (pre-test greco, standardizzazione belga, standar- dizzazione italiana) riguardo al MathPro Test illustrati nel capitolo 2? In particolare, quali ipotesi possiamo avanzare sul perché le due consegne sono separate nell'analisi a posteriori del pre-test greco ma non nelle due standardizzazioni?

2_{Ricordiamo invece che nella versione denitiva del MathPro le consegne Linee dei}

numeri 0100 e Linee dei numeri 01000 sono tra loro analoghe, tranne ovviamente per quel che riguarda gli estremi delle linee ed i numeri da posizionare.

3_{Nella versione denitiva del MathPro la consegna Ordinalità è stata sostituita da}

Numero precedente e Numero successivo.

4_{Ricordiamo che nel pre-test greco, al soggetto venivano mostrati sullo schermo due}

item contemporaneamente per la consegna sulle Linee dei numeri 0100 (con lo scopo di vericare se i due posizionamenti fossero coerenti dal punto di vista ordinale). Nelle standardizzazioni nazionali, invece, veniva mostrata una sola linea per volta.

3.2. LO STUDIO 71

3.2.2 Popolazione

Per rispondere a tali domande, abbiamo intervistato alcuni studenti dell'I- stituto Comprensivo Scarperia-San Piero. Gli studenti sono stati selezionati all'interno delle quattro sezioni di II primaria che avevano già sostenuto il

MathPro Test5_{. Per selezionare i soggetti dello studio, abbiamo chiesto alle}

insegnanti che collaboravano di segnalarci per l'intervista gli studenti più lo- quaci. Tra i requisiti di selezione non abbiamo quindi incluso il rendimento scolastico, né le prestazioni in una o più consegne del MathPro Test. Nessuno studente è stato intervistato contro la sua volontà o contro la volontà della famiglia.

La popolazione complessiva degli studenti intervistati si costituiva di set- te individui, cinque bambini e due bambine. Per quattro degli studenti ave- vamo ricevuto molto buono come valutazione da parte dell'insegnante di matematica, buono per gli altri tre. Nella consegna sulle Linee dei numeri 0100 del MathPro Test, quattro studenti si sono classicati come aventi pre- stazione media (typical), uno avente prestazione elevata (high) e due aventi prestazioni eccellenti (excellent).

Figura 3.1: La linea 0100 della prima consegna.

3.2.3 Metodologia

Tutte le interviste sono state condotte dall'autore della tesi e riprese con una videocamera. Ciascuno studente è stato intervistato singolarmente. Ogni intervista consisteva di quattro consegne, che descriviamo brevemente. Consegna 1: Numero-a-posizione 0100 Allo studente viene presentato

un foglio A4 bianco, al centro del quale è presente una linea nera, i cui estremi sono etichettati 0 e 100 (gura 3.1). Segue l'intervistatore: Adesso ti dirò dei numeri da 0 [indica lo 0] a 100 [indica il 100]. Ogni volta che ti dico un numero devi segnare quella che secondo te è la 5_{Poiché gli studenti provenivano tutti dalla II primaria, all'interno del MathPro Test}

sono stati sottoposti alla consegna sulle Linee dei numeri 0100, ma non alla consegna sulle Linee dei numeri 01000.

sua posizione su questa linea con un trattino. Pensaci bene e prenditi tutto il tempo che ti serve. Cominciamo? Per ciascun numero, lo studente segna con una matita il trattino che indica la posizione scelta, dunque l'intervistatore lo etichetta con il numero relativo e si passa al numero successivo. Ad ogni posizionamento, i trattini dei numeri precedenti restano sul foglio. Allo studente è permesso in ogni momento di correggere ciascuna risposta, anche quelle date in precedenza. Per permettere un confronto con le prestazioni nel MathPro Test, abbiamo usato la metà dei numeri previsti nella relativa consegna sulle Linee dei numeri 0100, ordinati in modo coerente con tale consegna. I numeri scelti sono: 8, 90, 81, 17, 29, 23, 61, 48, 39, 4, 72.

Figura 3.2: La linea 01000 della seconda consegna.

Consegna 2: Numero-a-posizione 01000 L'intervistatore sostituisce il foglio con uno identico al precedente ma con estremi 0 e 1000 (gura 3.2): Attenzione, adesso la linea è cambiata e va da 0 [indica lo 0] a 1000 [indica il 1000]! Dove metteresti questi numeri? La prova si svol- ge in modo analogo alla precedente; in particolare anche in questo caso lo studente ha controllo sulle risposte precedenti potendole visualizza- re, confrontare e modicare. Poiché il foglio precedente viene ritirato, lo studente non ha modo di controllare le proprie risposte nella prima consegna. Coerentemente con le scelte fatte per la 0100, i numeri qui impiegati coincidono con la metà di quelli per la consegna sulle Linee dei numeri 01000 del MathPro Test, ordinati allo stesso modo: 18, 163, 722, 246, 818, 2, 738, 486, 147, 100, 56.

Consegna 3: Posizione-a-numero 0100 L'intervistatore ritira il foglio e richiama l'attenzione dello studente sullo schermo di un computer. Lo schermo presenta una linea analoga a quella della consegna 1, su sfondo bianco: Adesso cambiamo esercizio. Ti mostrerò alcuni trat- tini sulla linea che va da 0 [indica lo 0] a 100 [indica il 100], e tu mi devi dire a quali numeri corrispondono. Anche stavolta, pensaci bene e prenditi tutto il tempo che ti serve. Cominciamo? L'intervistatore fa comparire sullo schermo una schermata analoga alla precedente, ma

3.2. LO STUDIO 73

Figura 3.3: Una schermata (per il numero 57) della terza consegna. in cui si vede un trattino in rosso (gura 3.3). Lo studente comunica il numero scelto all'intervistatore, che lo trascrive su un foglio (non mostrato allo studente), quindi l'intervistatore passa alla schermata successiva, che contiene la linea con gli estremi ma senza trattini ros- si (in maniera identica alla schermata iniziale). Dopodiché si ripete la procedura, mostrando una nuova schermata con un nuovo trattino rosso. Coerentemente con le consegne precedenti, e in modo da permet- tere un confronto con i risultati del MathPro Test, la metà dei numeri della consegna Linee dei numeri 0100 del MathPro non utilizzata nella consegna 1 è stata impiegata qui, con lo stesso ordinamento presente nella consegna originale. I numeri scelti sono: 21, 33, 79, 43, 25, 57, 6, 64, 84, 96, 12.

Figura 3.4: Una schermata (per il numero 366) della quarta consegna. Consegna 4: Posizione-a-numero 01000 L'intervistatore chiude la

schermata e ne apre una nuova, bianca tranne che per una linea ana- loga alla precedente, ma con estremi 0 e 1000: Attenzione, adesso la linea è cambiata e va da 0 [indica lo 0] a 1000 [indica il 1000]. A quali numeri corrispondono questi trattini? La prova si svolge in modo analogo alla precedente; in particolare anche in questo caso lo studente non ha modo di controllare le sue risposte precedenti. Sempre in accordo con la consegna precedente, tra un item (es. gura 3.4) e il seguente è prevista una schermata con la sola linea, ma senza

trattini rossi. Coerentemente con le altre consegne, sono stati usati tutti i numeri previsti per la consegna sulle Linee dei numeri 01000 del MathPro Test non usati nella consegna 2 (la metà rimanente). L'ordine è rimasto invariato rispetto a quello previsto per il MathPro: 122, 179, 366, 78, 938, 150, 606, 34, 725, 5, 754.

Durante le quattro prove, l'intervistatore ha evitato di commentare le scelte degli studenti e di inuire sulle stesse. Al termine di alcune delle interviste, l'intervistatore ha posto delle domande aggiuntive agli studenti, allo scopo di indagare più approfonditamente i processi decisionali occorsi

nello svolgimento delle consegne6_{. Analizzeremo i risultati (sezione 3.3) di}

ciascuna intervista secondo due prospettive complementari.

Prestazioni Per tutte le quattro consegne, renderemo conto di quali rispo- ste siano considerate corrette e di quali errate. Limitatamente alle consegne sulle Linee dei numeri 0100, confronteremo tali performance con quelle ottenute nell'analoga consegna del MathPro Test.

Strategie Ove possibile7_{, useremo gli indizi forniti dal comportamento degli}

studenti per mettere in luce le strategie adottate nell'eettuare le scelte sulle risposte ai vari item.

Useremo questi due tipi di analisi per studiare quali dierenze di pre- stazioni sussistano tra i risultati delle quattro consegne e quelli del Math- Pro Test, e come le scelte strategiche incidano su queste dierenze. Per categorizzare le strategie e le prestazioni utilizzeremo le seguenti etichette.

• Etichette per le prime due consegne (numero-a-posizione).

conteggio Lo studente produce le proprie stime ripetendo un'unità di

misura immaginaria8_{, partendo dagli estremi o dai posizionamenti}

precedenti, contando verso destra, o contando all'indietro verso sinistra.

conteggio_stop Dapprima lo studente adotta una strategia di tipo conteggio, ma durante la prova abbandona tale strategia ed esegue i posizionamenti a occhio9_.

6_{Malgrado gli studenti selezionati fossero quelli considerati più loquaci dalle proprie}

insegnanti, e nonostante preliminarmente a ciascun intervista fossero stati invitati dall'in- tervistatore a comunicare a voce alta i propri pensieri durante lo svolgimento delle prove, i commenti dei soggetti sono stati rarissimi e poco signicativi. Da questo è nata l'esigenza di porre alcune domande al termine di gran parte delle interviste.

7_{Alcune delle interviste non hanno fornito dati sucienti per questo tipo di analisi.} 8_{Anche Saxe et al. (2013) parlano di ripetizioni di unità di misura. Le unità di misura,}

nel nostro studio sono sempre generate attraverso quelli che Saxe et al. chiamano strumenti immateriali (es. gesti, procedure mentali dichiarate).

9_{Con questa espressione intendiamo dire che non ci sono indizi espliciti che suggeri-}

scano la strategia usata. È bene tenere presente che questi numeri possono anche essere posizionati a caso.

3.3. RISULTATI 75 incoerenza12 In almeno una delle consegne numero-a-posizione, i ri- sultati prodotti dallo studente hanno un ordinamento incoerente. miglioramento1 (solo consegna 1) La quantità di errori totalizzata dallo studente è inferiore di almeno due rispetto al MathPro Test. peggioramento1 (solo consegna 1) La quantità di errori totalizzata dallo studente è superiore di almeno due rispetto al MathPro Test.

• Etichette per le ultime due consegne (posizione-a-numero).

err_destra Lo studente concentra tutti gli errori in una fascia di nu- meri a destra (sono necessari almeno 2 errori per questa etichetta). incoerenza34 In almeno una delle consegne posizione-a-numero, i ri- sultati prodotti dallo studente hanno un ordinamento incoerente. miglioramento3 (solo consegna 3) La quantità di errori totalizzata dallo studente è inferiore di almeno due rispetto al MathPro Test. peggioramento3 (solo consegna 3) La quantità di errori totalizzata dallo studente è superiore di almeno due rispetto al MathPro Test. schiacciamento Lo studente tende a schiacciare i numeri sugli estre- mi, sottostimando le posizioni più a sinistra e sovrastimando quel- le più a destra.

solo_estremi Lo studente concentra tutti gli errori in una fascia di numeri centrale (sono necessari almeno 2 errori per questa eti- chetta).

sottostima_tot Lo studente sottostima tutte le posizioni proposte.

• Etichette globali (indipendenti dal tipo di consegna)

benchmark Lo studente sembra appoggiarsi a dei riferimenti conve- nienti (es. la metà, un quarto, tre quarti) immaginati sulla linea. Le stime, o i posizionamenti, si basano su un confronto con tali riferimenti10_.

3.3 Risultati

Di seguito riassumiamo i risultati principali di ciascuna delle sette interviste. Allo scopo di preservare l'anonimato, per riferirci agli studenti usiamo nomi di fantasia.

10_{Come abbiamo visto nel capitolo 1, l'utilizzo di benchmark è una pratica didattica}

consigliata, che sembra oltretutto sorgere spontaneamente in molti individui col progredire dell'età (Siegler e Opfer 2003). Anche lo studio di Saxe et al. (2013) sul posizionamento di numeri consecutivi o non-consecutivi sulla retta suggerisce un certo grado di automatismo nell'uso di riferimenti di questo tipo.

3.3.1 Niccolò

Niccolò era stato classicato come avente prestazioni molto buone dalla sua insegnante di matematica. Nella consegna sulle Linee dei numeri 0100

del MathPro Test aveva commesso tre errori11_{(nel posizionamento di 43, 29,}

72), attestandosi al 94o _{percentile (excellent). In gura 3.5 sono riassunti i}

risultati12 _{di Niccolò nelle quattro consegne.}

• Nessuno dei posizionamenti per la consegna 1 si congura come errore,

risultando in un miglioramento rispetto al MathPro Test: 2 errori (29, 72) vs. 0 errori. (miglioramento1)

• Due dei posizionamenti per la consegna 2 si congurano come errori:

722 e 738.

• Solo una delle stime per la consegna 3 si congura come errore, con-

fermando la prestazione del MathPro Test: 1 errore (43) vs. 1 errore.

• Solo una delle stime per la consegna 4 si congura come errore.

L'ordinamento risultante per le stime della consegna 3 si congura come incoerente: 21 viene stimato più a destra della stima per 25. Lo stesso vale per la consegna 4: 150 viene stimato più a destra della stima per 179. (incoerenza34)

11_{Ricordiamo che per la consegna sulle Linee dei numeri 0100 del MathPro Test si}

congura come errore un posizionamento in cui la dierenza tra il numero obiettivo e la posizione scelta è superiore a 10 unità (100 unità per la consegna sulle Linee dei numeri 0 1000). Qui e nel seguito useremo le stesse convenzioni, anche per quel riguarda le consegne posizione-a-numero.

12_{Qui e nel seguito, indichiamo in grassetto gli errori nelle tabelle riassuntive per le}

3.3. RISULTATI 77 (a) Consegna 1 (b) Consegna 2 Posizione Risposta 21 24 33 37 79 83 43 45 25 22 57 66 6 8 64 76 84 90 96 96 12 17 (c) Consegna 3 Posizione Risposta 122 113 179 164 366 423 78 103 938 986 150 193 606 722 34 62 725 784 5 1 754 835 (d) Consegna 4

3.3.2 Matteo

Matteo era stato classicato come avente prestazioni molto buone dalla sua insegnante di matematica. Nella consegna sulle Linee dei numeri 0100

del MathPro Test non aveva commesso errori, attestandosi al 99o _percentile

(excellent). In gura 3.6 sono riassunti i risultati di Matteo nelle quattro consegne.

• Nessuno dei posizionamenti per la consegna 1 si congura come errore,

confermando la prestazione del MathPro Test: 0 errori vs. 0 errori.

• Solo uno dei posizionamenti per la consegna 2 si congura come errore:

722.

• Nessuna delle stime per la consegna 3 si congura come errore, confer-

mando la prestazione del MathPro Test: 0 errori vs. 0 errori.

• Nessuna delle stime per la consegna 4 si congura come errore.

L'ordinamento risultante per le stime della consegna 4 si congura come in- coerente: 122 viene stimato più a destra della stima per 179. (incoerenza34) L'intervistatore ha chiesto a Matteo di approfondire il proprio processo decisionale, prendendo ad esempio uno degli item della consegna 3:

Intervistatore [mostrando la schermata relativa, con numero obiettivo 57]: Qua hai risposto 60. Come mai ha detto 60? Che ragionamento hai fatto?

Matteo: Perché era un po' più della metà, che è 50.

I [notando la tendenza di M a stimare rispetto a multipli di 5]: Ok, e perché non 55, o 70?

M: Boh. . . Non lo so.

Questo estratto ci ore un indizio sulla strategia adottata da Matteo, che sembra adarsi all'uso di benchmark (in questo caso la metà della linea) per le stime. (benchmark)

3.3. RISULTATI 79 (a) Consegna 1 (b) Consegna 2 Posizione Risposta 21 20 33 30 79 75 43 45 25 25 57 60 6 5 64 65 84 80 96 95 12 10 (c) Consegna 3 Posizione Risposta 122 220 179 200 366 400 78 50 938 950 150 100 606 600 34 30 725 750 5 1 754 800 (d) Consegna 4

3.3.3 Chiara

Le prestazioni in matematica di Chiara erano state classicate come buo- ne dalla sua insegnante. Nella consegna sulle Linee dei numeri 0100 del MathPro Test aveva commesso sei errori (8, 21, 57, 48, 96, 39), attestandosi

al 63o _{percentile (typical). In gura 3.7 sono riassunti i risultati di Chiara}

nelle quattro consegne.

• Quattro dei posizionamenti per la consegna 1 si congurano come er-

rore (17, 23, 29, 39), risultando in un leggero peggioramento rispetto al MathPro Test: 3 errori (8, 48, 39) vs. 4 errori.

• Dieci dei posizionamenti per la consegna 2 si congurano come errore:

18, 56, 100, 147, 163, 246, 486, 722, 738, 818.

• Quattro delle stime per la consegna 3 si congurano come errore, risul-

tando in un leggero peggioramento rispetto al MathPro Test: 3 errori (21, 57, 96) vs. 4 errori.

• Sette delle stime per la consegna 4 si congurano come errore.

Già dall'inizio della prova, Chiara adotta una strategia piuttosto evi- dente. Per il primo item della consegna 1 (posizionamento del numero 8), Chiara mima con la matita otto movimenti approssimativamente equispa- ziati, a partire dall'estremo sinistro e verso destra, bisbigliando quelli che sembrano essere i numeri 1, 2, . . . , 7, 8. Con l'ultimo movimento Chiara se- gna quello che per lei è il posizionamento di 8. Per il numero successivo (90) si comporta in modo simile, ma contando all'indietro, spostandosi dall'estre- mo destro (100) e bisbigliando 99, 98, . . . , 91, 90. Quindi, per posizionare 81, si sposta dal trattino scelto per 90 con dei movimenti verso sinistra; per 17 si sposta dalla posizione scelta per 8 verso destra. Continua così (spostandosi verso destra o sinistra con un adeguato numero di movimenti a partire da un riferimento) anche per i numeri seguenti. A partire dal posizionamento di 23, Chiara comincia a correggere le sue scelte precedenti: Ho sbagliato, ho messo troppo vicino il 17. Continuerà a correggersi nel corso di entrambe le consegne numero-a-posizione. (correzioni)

A cominciare dal posizionamento di 61, Chiara smette di contare movi- menti per tutta la prova: i numeri già presenti sulla linea (0, 8, 17, 23, 29, 81, 90, 100) probabilmente non costituiscono un riferimento sucientemente comodo per la procedura di conteggio (la minima distanza è 20, a partire da 81 verso sinistra, la peggior situazione che si fosse vericata no ad allo- ra). Chiara non conterà più, almeno esplicitamente, per il resto della prova. (conteggio_stop)

Nella consegna 3, gli errori sono concentrati nella fascia 2143. (solo_estremi)

3.3. RISULTATI 81 L'ordinamento risultante per le stime della consegna 3 si congura come incoerente: ad esempio, 79 viene stimato più a destra della stima per 84. Lo stesso vale per la consegna 4: 179 viene stimato più a sinistra della stima per 150. (incoerenza34) (a) Consegna 1 (b) Consegna 2 Posizione Risposta 21 10 33 15 79 87 43 21 25 9 57 62 6 3 64 61 84 83 96 97 12 8 (c) Consegna 3 Posizione Risposta 122 7 179 9 366 40 78 5 938 822 150 10 606 107 34 2 725 300 5 0 754 782 (d) Consegna 4

3.3.4 Mattia

Mattia era stato classicato come avente prestazioni molto buone dalla sua insegnante di matematica. Nella consegna sulle Linee dei numeri 0100 del MathPro Test aveva commesso sette errori (33, 79, 43, 25, 84, 96, 72), attestandosi al 48o _{percentile (typical). In gura 3.8 sono riassunti i risultati}

di Mattia nelle quattro consegne.

• Sei dei posizionamenti per la consegna 1 si congurano come errore

(18, 17, 23, 29, 39, 81), risultando in un netto peggioramento rispetto al MathPro Test: 1 errore (72) vs. 6 errori. (peggioramento1)

• Nove dei posizionamenti per la consegna 2 si congurano come errore:

18, 56, 100, 163, 246, 486, 722, 738, 818.

• Tre delle stime per la consegna 3 si congurano come errore , risultando

in un netto miglioramento rispetto al MathPro Test: 6 errori (33, 79, 43, 25, 84, 96) vs. 3 errori. (miglioramento3)

• Otto delle stime per la consegna 4 si congurano come errore.

L'ordinamento risultante per le stime della consegna 3 si congura come incoerente: 21 viene stimato più a destra della stima per 25. Lo stesso vale per la consegna 4: 179 viene stimato più a sinistra della stima per 150. (incoerenza34)

Nella consegna 3, Mattia sottostima i due numeri più piccoli e sovrastima tutti gli altri. (schiacciamento)

Inoltre, gli errori coincidono con la fascia 4364. (solo_estremi) Nella consegna 4, invece, Mattia sottostima tutti i numeri. (sottostima_tot)

Inoltre, le sue risposte esatte coincidono con i tre numeri più piccoli. (err_destra)

3.3. RISULTATI 83 (a) Consegna 1 (b) Consegna 2 Posizione Risposta 21 28 33 39 79 89 43 65 25 27 57 76 6 4 64 78 84 94 96 97 12 8 (c) Consegna 3 Posizione Risposta 122 12 179 17 366 48 78 8 938 194 150 20 606 65 34 4 725 79 5 1 754 146 (d) Consegna 4

3.3.5 Andrea

Andrea era stato classicato come avente prestazioni molto buone dalla sua insegnante di matematica. Nella consegna sulle Linee dei numeri 0100 del MathPro Test aveva commesso dodici errori (8, 21, 79, 90, 81, 17, 64, 29, 84, 96, 12, 4), attestandosi al 39o _{percentile (typical). In gura 3.9 sono}

riassunti i risultati di Andrea nelle quattro consegne.

• Solo uno dei posizionamenti per la consegna 1 si congura come errore

(29), risultando in un netto miglioramento rispetto al MathPro Test: 6 errori (8, 90, 81, 17, 29, 4) vs. 1 errore. (miglioramento1)

• Sette dei posizionamenti per la consegna 2 si congurano come errore:

18, 56, 100, 147, 163, 246, 486.

• Otto delle stime per la consegna 3 si congurano come errore, risul-

tando in un peggioramento rispetto al MathPro Test: 6 errori (21, 79, 64, 84, 96, 12) vs. 8 errori. (peggioramento3)

• Sei delle stime per la consegna 4 si congurano come errore.

Come nel caso di Chiara, Andrea comincia la prova con una strategia legata all'atto del contare: per posizionare il primo item (8), produce 8 mo- vimenti all'incirca equispaziati a partire dall'estremità sinistra della linea verso destra, bisbigliando nel contempo quella che sembra essere la sequenza dei primi otto numeri. Ripete il procedimento per due volte (ogni volta otto movimenti) prima di posizionare il numero. Il secondo item è 90: come Chia- ra, Andrea comincia a contare dall'estremità destra verso sinistra. Tuttavia, si interrompe subito e posiziona il 90 ad occhio. Da quel momento, Andrea abbandona la sua strategia iniziale e non conterà più esplicitamente per il resto della prova. (conteggio_stop)

Un'altra somiglianza con Chiara sta nell'ampio uso di autocorrezioni per

i posizionamenti precedenti13_{, che in questo caso cominciano con il posizio-}

namento di 29 nella consegna 1 e proseguono frequentemente per il corso di entrambe le consegne numero-a-posizione. Come per Chiara, quasi tutte le correzioni vanno verso sinistra, con una rappresentazione via via più lineare e meno logaritmica. Le poche correzioni verso destra riguardano numeri molto vicini all'estremo destro (es. 90 nella 0100): in questi casi abbiamo visto però una tendenza alla rappresentazione in termini di vicinanza all'estremo destro (es. 90 viene visto come 100 − 10 anziché 0 + 90). (correzioni)

L'ordinamento risultante per le stime della consegna 3 si congura come incoerente: 57 viene stimato più a destra della stima per 64. (incoerenza34) Nella consegna 3, Andrea sottostima tutti i numeri nella metà sinistra della linea (no a 43) e sovrastima invece tutti i numeri nella metà destra 13_{Ricordiamo che sia le gure riportate, sia il conteggio sulle stime corrette ed errate}

3.3. RISULTATI 85 (da 57). Allo stesso modo, nella consegna 4 sottostima i numeri più piccoli (no a 606) e sovrastima da 725 in poi. (schiacciamento)

Inoltre, i suoi errori nella consegna 3 coincidono con la fascia centrale di numeri 2184. (solo_estremi) (a) Consegna 1 (b) Consegna 2 Posizione Risposta 21 7 33 10 79 90 43 13 25 9 57 83 6 2 64 80 84 95 96 98 12 6 (c) Consegna 3 Posizione Risposta 122 6 179 8 366 17 78 4 938 998 150 7 606 76 34 2 725 803 5 1 754 900 (d) Consegna 4

3.3.6 Emiliano

Emiliano era stato classicato come avente prestazioni buone dalla sua insegnante di matematica. Nella consegna sulle Linee dei numeri 0100 del

Nel documento Muoversi sulla linea dei numeri durante l'apprendimento della matematica: l'esperienza del MathPro Test. (pagine 78-98)