2.2 Il modello su quattro dominî
2.2.2 Uno studio preliminare
In un primo test per il modello su quattro dominî, Karagiannakis, Baccaglini- Frank e Roussos (2016) hanno sottoposto a 165 studenti greci (1012 anni)
una batteria di esercizi matematici da arontare al computer13,14. In un'a-
nalisi a priori, ciascun esercizio è stato categorizzato come appartenente a uno speci co dominio fra i quattro previsti dal modello (tabella 2.2). Gli autori riassumono così lo scopo dello studio:
1. Come sono correlate tra loro le consegne della batteria sperimen- tale?
2. Ci sono prove a supporto del modello teorico su quattro dominî? 3. Come si collocano le prestazioni degli studenti nei gruppi MLD e LA15 rispetto alle consegne matematiche della batteria speri-
mentale?
4. Quali tipi di pro li matematici emergono in generale, e in par- ticolare gli studenti con basse prestazioni costituiscono gruppi separati?
(Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Roussos 2016) Notiamo una parziale somiglianza con la batteria di esercizi (che gura tra gli studi che hanno in uenzato la batteria in tabella 2.2) sviluppata da Baccaglini-Frank e Bartolini Bussi (2015) per valutare l'e cacia del progetto PerContare:
• scrittura di numeri (entro il 1000, dettati non in ordine);
• subitizing (con numerosità da 2 a 7);
• stima (paragone di due numerosità);
• enumerazione (conteggio di pallini e scrittura in posizione simbolica);
• giudizio di grandezza (scegliere il simbolo che indica la quantità mag-
giore);
• giudizio di quantità (decidere se due scritture, una in formato analogico
e l'altra in formato simbolico, rappresentano o meno lo stesso numero);
• inserzioni sulla linea dei numeri (posizionare un numero su una linea
dei numeri da 0 a 20 con tacche);
13L'uso del computer è coerente con la tesi di van den Heuvel-Panhuizen (in Verschaf-
fel et al. 2018), che sostiene che la tecnologia interattiva possa aiutare a svelare cosa gli studenti con MLD sanno, piuttosto che ciò che non sanno. Ad esempio, in Peltenburg, van den Heuvel-Panhuizen e Robitzsch (2010) studenti con MLD hanno avuto presta- zioni migliori all'interno di un ambiente digitale (che prevedeva, tra gli altri strumenti, anche una linea dei numeri interattiva) rispetto a quelle conseguite in un tradizionale test standardizzato.
14Si tratta della batteria DeDiMa (Karagiannakis e Baccaglini-Frank 2014). 15Low Achievement, con basse prestazioni, NdR.
2.2. IL MODELLO SU QUATTRO DOMINÎ 51
Consegna Dominio
1. Subitizing-Enumerazione Nucleo numerico
2. Confronto tra quantità numeriche Nucleo numerico
3. Confronto tra quantità di punti Nucleo numerico
4. Recupero di fatti sulle addizioni Memoria
5. Recupero di fatti sulle moltiplicazioni Memoria
6. Linee dei numeri 0100 Linee dei numeri
7. Ordinalità Linee dei numeri
8. Linee dei numeri 01000 Linee dei numeri
9. Terminologia matematica Memoria
10. Principî del calcolo Ragionamento
11. Calcolo mentale Memoria
12. Equazioni Ragionamento
13. Problemi verbali Ragionamento
Tabella 2.2: Analisi a priori dei dominî di appartenenza per le tredici consegne di Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Roussos (2016).
• conteggio all'indietro (scrittura di numeri in ordine inverso sulle tacche
di una linea dei numeri, a partire da un numero dato);
• addizioni (operazioni scritte di cui tre necessitano di composizione di
una decina);
• sottrazioni (operazioni scritte in cui il numero maggiore è entro il 10).
Coerentemente con il focus di questa tesi, ci concentriamo adesso più nello speci co sugli esercizi relativi alle linee dei numeri. La scelta degli autori è stata quella di legare il dominio delle abilità visuo-spaziali alle proprietà dei numeri naturali avvalendosi dell'uso della linea dei numeri, focalizzandosi perciò su questo speci co aspetto.
Il motivo del nostro focus sui numeri naturali e la linea dei numeri è il nostro interesse nello studiare le relazioni tra le abilità nel nucleo nu- merico e altre abilità che, benché sempre legate ai numeri, potrebbero comunque riguardare altri dominî. In eetti, le di coltà in matemati- ca, e in particolare in aritmetica, sono state anche messe in relazione con uno sviluppo atipico di una rappresentazione interna della linea dei numeri [. . .]
(Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Roussos 2016) Gli autori passano quindi brevemente in rassegna alcuni degli studi sui legami tra MNL e prestazioni nella matematica di base che abbiamo esposto nella sezione 1.3.2, oltre ad altri risultati che descrivono la struttura della MNL in relazione alla percezione visuo-spaziale e al senso del numero (sezione
1.1), il suo essere suscettibile a in uenze culturali (sezione 1.3) e i suoi col- legamenti con il con itto cardinalità-ordinalità (sezione 1.2). In particolare, gli autori fanno riferimento all'ipotesi classica di passaggio da una rappresen- tazione logaritmica ad una rappresentazione scalare (Zorzi, Priftis e Umiltà 2002; Thomas, Mulligan e Goldin 2002). Esponiamo ora brevemente le tre consegne appartenenti al dominio sulle Linee dei numeri.
Linee dei numeri 0100 Allo studente viene presentata una serie di ven- tidue linee dei numeri, in coppie, contenenti una linea orizzontale con due estremi (0 e 100), insieme a un numero obiettivo (es. 29) sopra il centro di ciascuna linea. In questa consegna numero-a-posizione (Sie- gler e Opfer 2003) allo studente è richiesto di considerare la prima linea dei numeri (quella in alto) ed usare il mouse per cliccare sulla posizione dove il numero obiettivo (posizionato centralmente, al di sopra della linea) dovrebbe stare (per una descrizione dettagliata si veda Siegler e Booth 2004). Attraverso una conta dei pixel lungo la linea, ven- gono registrate le coordinate per ciascuna risposta. Per ogni numero proposto, l'accuratezza è qui de nita come la dierenza assoluta tra il posizionamento dello studente e la posizione corretta. Questi dati vengono estratti dai posizionamenti degli studenti per le 11 linee nella la superiore di ciascuna prova (α di Cronbach = .88). Come misura, viene usata la media di queste dierenze assolute.
Ordinalità Questa consegna viene presentata allo studente assieme alla pre- cedente (Linee dei numeri 0100) e viene eseguita sulla seconda (quella inferiore) delle due linee presentate simultaneamente. Allo studente viene chiesto di eseguire la stessa consegna sulla seconda linea dei nu- meri (sottostante ed allineata alla prima) ponendo su di essa il secondo numero obiettivo. Mentre questa consegna viene portata a termine, la prima posizione stimata resta sullo schermo. Il software controlla se il posizionamento del numero sulle 11 linee nella la inferiore di ciascuna prova è coerente con la stima per il numero obiettivo superiore (α di Cronbach = .88). Come misura, viene usata la percentuale di risposte corrette.
Linee dei numeri 01000 Questa consegna è progettata allo stesso modo di Linee dei numeri 0100, con la dierenza che ciascuna linea viene presentata da sola. La consegna consiste di 16 prove (α di Cronbach = .74). Per ogni numer proposto, l'accuratezza è de nita come la dieren- za assoluta tra il posizionamento dello studente e la posizione corretta. Come misura, viene usata la media di queste dierenze assolute. Queste tre consegne (così come le altre 19) vengono similmente descrit- te in una precedente pubblicazione sulla batteria di valutazione DeDiMa (Karagiannakis e Baccaglini-Frank 2014):
2.2. IL MODELLO SU QUATTRO DOMINÎ 53 Tabella 2.3: Coe cienti di Pearson per alcune delle consegne nella batteria sperimentale (Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Roussos 2016).
7 8 9 11 12 13
6. Linee dei numeri 0100 .33∗∗∗ .22∗∗ .28∗∗∗ .20∗ .25∗∗ .28∗∗∗
7. Ordinalità .03 .19∗ .17∗ .22∗∗ .24∗∗
8. Linee dei numeri 0-1000 .41∗∗∗ .45∗∗∗ .45∗∗∗ .40∗∗∗
∗p < .05;∗∗p < .01;∗∗∗p < .001.
[. . .]
6 e 7. Linee dei numeri 0100 Ordinalità (11 stimoli): Una serie di 22 linee dei numeri, in coppie, contenti una linea vuota con due estremi (0 e 100) vengono presentate allo studente sullo schermo del computer, insieme al numero obiettivo (es. 29) al di sopra del centro di ciascuna linea. In questa consegna numero-a-posizione [. . .], allo studente viene chiesto di considerare la prima linea dei numeri (quelli in alto) e cliccare sulla posizione dove il numero obiettivo (sopra di essa) dovrebbe stare [. . .]. Dunque, allo studente è richiesto di eseguire la stessa task su di una seconda linea dei numeri (al di sotto di essa e allineata) posizionando il secondo numero obiettivo su di essa. Mentre questa consegna viene completata, la prima posizione stimata rimane sullo schermo.
8. Linee dei numeri 01000 (11 stimoli): Questa consegna è analoga a Linee dei numeri 0100, con l'eccezione che ciascuna linea è presentata da sola e va da 0 a 1000.
(Karagiannakis e Baccaglini-Frank 2014)16
Un'analisi statistica dei risultati ha prodotto i coe cienti di correlazione di Pearson per la batteria sperimentale, un'analisi in componenti principali (PCA, Principal Components Analysis), e un'analisi fattoriale confermativa (CFA, Con rmatory Factor Analysis).
Per quanto riguarda le correlazioni sulle consegne relative alle linee dei numeri (tabella 2.3), troviamo inaspettatamente (nelle parole degli autori) una correlazione moderata tra la consegna 8 (Linee dei numeri 01000) e le consegne 9, 11, 12 e 13 (le ultime tre danno quindi un legame moderato tra la 01000 e l'area a priori indicata come Ragionamento), e una correlazione bassa tra la consegna 6 (Linee dei numeri 0100) e la consegna 8 (Linee dei numeri 01000).
Per gli autori, una possibile spiegazione per la scarsa correlazione tra le consegne sulle Linee dei numeri 01000 e 0100 è data dall'abitudine nel- l'istruzione matematica (in Grecia, da dove proviene il campione; ma la situazione in Italia non è diversa) di concentrarsi sui numeri no a 100 nei primi anni di scuola (già dalla materna e no alla seconda primaria) e di
Componenti
Ragionamento Recupero di fatti Nucleo numerico Linee dei numeri Calcolo mentale .77
Equazioni .74
Problemi verbali .70 Linee dei numeri 01000 .70 Terminologia matematica .59
Principî del calcolo .59 .47
Recupero di fatti moltiplicativi .88 Recupero di fatti additivi .86
Confronto tra quantità di punti .80
Subitizing-Enumerazione .79
Confronto tra quantità numeriche .66
Ordinalità .84
Linee dei numeri 0100 .64
Autovalori 4.57 2.14 1.09 1.03
% di varianza 35.12 16.47 8.41 7.93
Tabella 2.4: Analisi in componenti principali (varimax) delle task della batteria sperimentale (Karagiannakis, Baccaglini-Frank e Roussos 2016). passare quindi (dalla terza primaria) ai numeri più grandi, no a 1000, senza la stessa concentrazione.
La PCA ha prodotto quattro componenti principali (tabella 2.4). Coe- rentemente con la scarsa correlazione trovata con la consegna sulle Linee dei numeri 0100, la 01000 è andata a caricare sulla componente Ragionamento anziché su quella comprendente le consegne 0100 e Ordinalità.
La CFA ha testato la bontà del t su tre possibili modelli: Modello I tutte le tredici consegne caricano su di un unico fattore; Modello II le consegne sono raggruppate come nell'analisi a priori; Modello III le consegne sono raggruppate secondo le componenti ottenute
dalla PCA.
Solo il modello III ha fornito un t accettabile; conseguentemente l'analisi a posteriori è risultata in una modi ca del raggruppamento basato sulla PCA. Un'analisi per k-means clustering ha mostrato una forte correlazione in- terna a ciascun gruppo e una sostanziale indipendenza tra i quattro gruppi. Ne consegue che uno studente debole su una speci ca componente non lo sia necessariamente anche sulle altre, e vista la distribuzione non omogenea delle prestazioni di studenti MLD e LA questo risultato è valido anche per que- sti sottogruppi. Inoltre sono emersi sei cluster, corrispondenti a sei diversi pro li di rendimento.
Primo cluster Prestazioni basse in tutte le consegne.
Secondo cluster Prestazioni globalmente alte, ed eccellenti nel dominio Ragionamento.
2.3. IL TEST 55