Il circuito equivalente di figura 82 può essere reso un po’ più realistico mediante il modello riportato in figura 84:
Fig. 84
Circuito equivalente di un APD illuminato (valido anche per un PIN, con M = 1) e dell’elettronica di front – end a questo connessa. Il sistema, nel suo complesso, può rappresentare l’equivalente circuitale di un “ricevitore convenzionale” adottato, nell’ambito delle comunicazioni ottiche su fibra, agli inizi degli anni 70, oppure l’equivalente circuitale del primo stadio (stadio di fotorivelazione) di un sistema PET. È possibile notare la pila di polarizzazione inversa, la capacità cj relativa alla zona di svuotamento della giunzione, il generatore che
implementa la fotocorrente IL (prodotta in risposta all’evento luminoso incidente), alcune delle più importanti sorgenti di rumore del
dispositivo, come la corrente di rumore shot Ish, la corrente di rumore termico J, la corrente di rumore dovuta all’effetto dell’elettronica
amplificatrice esterna Ien, l’amplificatore M che rende conto del fattore di moltiplicazione dovuto al breakdown a valanga, la corrente di
leakage Ileak, il resistore RL che converte il segnale di corrente, in uscita dall’APD, in uno di tensione, l’amplificatore esterno A. Quest’ultimo, se
approssimato ad un sistema L.C.TI. (Lineare – Continuo – TempoInvariante), possiede una risposta in frequenza A(f) localizzata in banda base: la banda di A (BRX) è molto minore della banda della risposta in frequenza H(f) dell’APD (BH).
Abbiamo una giunzione polarizzata in inversa (con in parallelo la solita capacità relativa alla zds*), dalla quale, in virtù della polarizzazione, proviene una corrente di buio Id (corrente di dark - bulk). Questa si somma alla
corrente di fotoconduzione IL, pertanto la corrente totale IL + Id, a causa del campo elettrico elevato, viene
moltiplicata per un fattore M >> 1 (generalmente 10 < M < 100). Abbiamo separato, a livello di simbolismo circuitale, le cause fisiche, quali estrazioni di cariche ed assorbimenti di fotoni, delle correnti che concorrono alla formazione di quella totale, dall’effetto valanga che si ha nella zds* (eventi di ionizzazione), ponendo tutti i generatori indipendenti, che implementano quelle correnti, a monte dell’amplificatore avente guadagno M. Come sappiamo Id è data dal contributo di due correnti: una (Id’) dovuta all’estrazione di minoritari, l’altra (Id’’) alla
ionizzazione da impatto (termogenerazione di coppie e/h). Tuttavia sia l’una che l’altra sono interessate da fluttuazioni non deterministiche (rumori) intrinseche ai meccanismi fisici che costituiscono le cause di tali correnti. A Id’ è associata una fluttuazione a media nulla id’, la quale rende ragione del fatto che, a istanti diversi, il
campo estrae quantità diverse di minoritari. Id’ rappresenta il “valor medio” dei minoritari estratti, mentre id’
costituisce una successione, nel tempo, di correnti impulsive, frutto della casuale e istantanea variazione del numero di minoritari estratti. Si noti che l’impulsivit{ di id’ è conseguenza della natura granulare della corrente.
Questa successione di impulsi reali è rappresentabile, matematicamente, come una successione di delta di Dirac “filtrate” dal semiconduttore, ragion per cui la densità spettrale di potenza (A2/Hz) del rumore id’ è bianca (id’ è
un “rumore gaussiano bianco”). Anche Id’’ è interessata da rumore gaussiano bianco id’’, poiché il numero di
portatori termogenerati per impatto, tutti derivanti da un singolo portatore estratto da un bulk, è stocastico. Nell’istante in cui una carica, eventualmente estratta da un bulk, produce una ionizzazione per impatto, l’elettrone secondario termogenerato, superando la barriera di potenziale rappresentata dal gap di energia, produce di per sè un impulso di corrente (si noti, anche in questo caso, la granularità di cui sopra). Quest’ultimo si crea anche quando una coppia è termogenerata spontaneamente, e quindi anche in assenza di campo. Poniamo id = id’ + id’’: se id’ e id’’ sono considerati, anche se non è vero, come processi stocastici indipendenti, la densità
spettrale di potenza di id (Sid(f)) è la somma delle densità spettrali di potenza dei suoi due contributi. Sid(f) ha
l’andamento di figura 85.
Fig. 85
Densità spettrale di potenza (A2/Hz) della corrente di dark - bulk
Anche alla fotocorrente IL, anch’essa granulare, è associato un rumore impulsivo iL, dato che un elettrone
fotogenerato, che supera la barriera dell’Egap, produce un impulso di corrente. iL è un rumore gaussiano bianco, la
Fig. 86
Densità spettrale di potenza (A2/Hz) della fotocorrente
L’amplificatore esterno A è costituito da una rete comprendente elementi passivi ed attivi (quest’ultimi sono transistors e diodi); dato che gli elementi attivi lavorano in intorni molto piccoli dei loro punti di riposo, ovvero le ampiezze delle variazioni informative, cioè i piccoli segnali, sono trascurabili rispetto alle ampiezze delle grandezze costanti che polarizzano i dispositivi attivi, possiamo linearizzarne il comportamento. Quindi A è approssimabile con un sistema L.C.TI. (Lineare – Continuo – TempoInvariante), per cui è possibile associargli una risposta in frequenza A(f), localizzata in banda base: la banda di A, che indichiamo con BRX, è molto minore della
banda optoelettronica, che indichiamo con BH, della risposta in frequenza H(f) associata all’APD.
Ipotizzando che l’amplificatore esterno A veda, ai suoi terminali d’ingresso, un’impedenza approssimabile con la resistenza di polarizzazione (ovvero di lettura) RL, e che l’impedenza di ingresso di A possa essere considerata
infinita rispetto ad RL, allora, in osservanza al teorema di Nyquist, è possibile tener conto del rumore termico
relativo ad RL, che è percorsa dalla corrente totale in uscita dall’APD, mettendo in serie alla stessa un generatore
di tensione eT(t). Questo rappresenta il rumore termico (gaussiano bianco, a valor medio nullo), la cui densità
spettrale di potenza ST(f) è pari a 4kTRL ed il cui andamento è mostrato in figura 87.
Fig. 87
Densità spettrale di potenza (V2/Hz) della tensione eT(t) di rumore termico
Chiamiamo “corrente di rumore shot” dell’APD la quantità Ish = id + iL. Supponiamo che i due termini siamo
processi indipendenti, per cui SIsh(f) = Sid(f) + SiL(f) = 2q(IL + Id).
Supponiamo che l’APD, avente banda optoelettronica BH, riceva in ingreso una radiazione luminosa avente
potenza ottica utile P (un valore tipico potrebbe essere dell’ordine del µW), ad esempio proveniente da una fibra ottica a cui è connesso il fotorivelatore. Questo segnale luminoso incidente ha una frequenza centrale f0 (ad
esempio 345 THz, quindi è un segnale trasmesso in prima finestra), compresa all’interno della banda BRX di A
(BRX << BH), una larghezza di banda Δf ( 10 MHz) e, nel caso di condizioni ideali di assorbimento totale, produce
una corrente di fotoconduzione pari a:
I
L= M
In realtà IL sarà minore, per un fattore QE < 1 (l’efficienza quantica del dispositivo APD):
I
L=
Un valore possibile potrebbe essere QE = 0.8, per cui l’80% della potenza ottica è effettivamente assorbita, e trasdotta in un segnale elettrico di uscita. In altre parole in risposta ad un segnale ottico incidente monocromatico formato da 100 fotoni misuriamo mediamente, ai terminali dell’APD, il contributo di carica relativo a 80 coppie e/h.
Avremo pertanto sia IL che Id accompagnate dalla corrente di rumore shot Ish. Questa avrà una potenza NI
(potenza di rumore di corrente) pari a:
N
I=
= 2q(I
L+ I
d)B
RX[A
2
]
J rappresenta, invece, la corrente di “rumore Johnson”, cioè di rumore termico. Il rumore termico, a temperatura superiore allo zero assoluto, anche in assenza di campo elettrico, trova origine dal moto casuale dei portatori nel conduttore, i quali hanno energia media distribuita intorno a kT. La sua potenza di rumore di corrente NE, sulla
banda BRX, vale:
N
E=
=
= 2 B
RX=
B
RX[A
2]
dove l’espressione di SJ(f) è ricavata dal passaggio dal circuito equivalente di Thevenin, nel quale eT(t) è in serie
ad RL (circuito che implementa il teorema di Nyquist) a quello di Norton, in cui J(t) è in parallelo ad RL. In termini
più rigorosi (benchè equivalenti, in condizioni e per amplificatori standard), al posto di RL dovremmo mettere la
“resistenza efficace”, data dal parallelo fra RL ed rd, mentre al posto della temperatura assoluta T, a cui si trova RL,
ci vorrebbe quella efficace Teff, legata alla cifra di rumore NF (“Noise Figure”) dell’amplificatore esterno A (si
veda il glossario), secondo la seguente relazione:
T
eff= T(
)
Il generatore Ien tiene conto del rumore introdotto dall’amplificatore esterno A; il fatto di averlo posto a monte di
M è solo un’equivalenza circuitale, ininfluente per il calcolo degli effetti esterni, ma la sua origine è a valle dell’APD. Tale rumore è determinato, principalmente, dall’effetto di capacit{ parassite, nel caso in cui A amplifichi una corrente, prodotta dall’APD, ad alte frequenze, dall’effetto di processi Johnson e shot, nel caso di corrente a frequenze intermedie, oppure dal rumore Flicker, nel caso di corrente a basse frequenze. L’importanza dei singoli contributi di Ien può essere determinata, qualitativamente, osservando il grafico
bilogaritmico della cifra di rumore NF (grafico “a vasca da bagno”), riportato in figura 88, relativo al quadripolo attivo della rete amplificatrice A in uso.
Fig. 88
Grafico della cifra di rumore, in funzione della frequenza, del transistore bipolare pnp 2N4957, della Motorola, teoricamente utilizzabile come quadripolo attivo all’interno di un circuito di amplificazione esterna A. Il grafico del BJT citato è riportato solo a titolo di esempio: si noti, infatti, che una frequenza portante di 345 THz (rientrante nella prima finestra) non è neppure compresa sull’asse delle frequenze, dunque un BJT così obsoleto non potrebbe funzionare per i nostri scopi, dal momento che il segnale utile annegherebbe nel rumore dovuto alle capacità parassite del BJT.
L’amplificatore esterno A, oltre a sporcare il segnale utile IL, rallenta l’intero sistema, così che le costanti di tempo
della rivelazione non sono più quelle tipiche dell’APD, bensì quelle dell’elettronica esterna. Ad Ien è legata una
potenza di rumore elettronico Nen = Sen(f)BRX (assumendo che Sen(f) sia costante su BRX, e ciò accade nel caso in
cui lo sia anche la cifra di rumore di A). Un livello tipico per la densità spettrale di potenza suddetta è:
S
en(f) =
Anche la corrente di perdita superficiale possiede un valor medio Ileak, a cui si sovrappone una fluttuazione
stocastica ileak, dovuta alla granularità e alla casualità con le quali i fotoportatori, primari e secondari, ed i
portatori estrattti dai bulk (e termogenerati da questi, per impatto) vengono catturati dai difetti reticolari, soprattutto da quelli superficiali. Anche ileak è un rumore gaussiano bianco, a cui è associata una densità spettrale
di potenza Sleak(f) ed una potenza di rumore Nleak:
N
leak=
= 2qI
leakB
RX[A
2
]
Ricordiamo che per un processo stocastico “stazionario” x(t), al quale sono associabili “forme di stazionarietà” quali il valor medio ed il valor quadratico medio, il valore efficace X* soddisfa la seguente relazione:
(X*)
2= < x(t)
2> =
= Potenza di x(t) =
Se x(t) N(0, , ovvero se x(t) è una variabile aleatoria gaussiana a valor medio nullo, allora il suo valor quadratico medio coincide con la sua varianza:
< x(t)
2> = ς
X2ςx rappresenta la deviazione standard di x(t). è l’intervallo temporale di osservazione, che deve essere
sufficientemente lungo. A questo punto possiamo ricavare i valori efficaci delle correnti di rumore suddette:
I
sh* =
J* =
en
* =
leak
* =
Possiamo calcolare, infine, il valore efficace della corrente totale di rumore dell’APD, ricordando che il rumore è un fenomeno statistico, per cui i diversi contributi devono essere sommati quadraticamente, in termini di potenza e non di ampiezza.