6.5) Il fattore di rumore in eccesso di un APD

Per capire il grafico in figura 95 è necessario introdurre il concetto (lo riprenderemo successivamente) su cui si basano i “coefficienti di ionizzazione” e ed h. Durante un processo di valanga si ha una turbolenta successione

di eventi ionizzanti, dai quali nascono coppie elettrone/lacuna. Tuttavia è possibile che, all’interno del volume attivo (zds*) in cui si verifica la moltiplicazione, solo uno dei due tipi di portatori di carica sia effettivamente capace di innescare una valanga. Ci sono APDs, ad esempio quelli al silicio o all’arseniuro di gallio, progettati per rivelare segnali ottici in prima finestra, nei quali soltanto gli elettroni primari fotogenerati e gli elettroni secondari, generati progressivamente per impatto ionizzante, sono capaci di produrre dei successivi eventi di ionizzazione, per cui la moltiplicazione è affidata soltanto agli elettroni. Chiamando e ed h, rispettivamente,

“coefficiente di ionizzazione per gli elettroni e per le lacune”, possiamo definire il “rapporto di ionizzazione” Ka

nel modo seguente:

K

=

Possiamo pertanto affermare che gli APDs al silicio o all’arseniuro di gallio sono caratterizzati da e >> h, e

quindi da Ka << 1. Ci sono poi APDs, come ad esempio alcune eterostrutture progettate per rivelare segnali ottici

in terza finestra, nei quali sono le lacune ad avere la maggiore attitudine a produrre ionizzazioni, ovvero la moltiplicazione a valanga è affidata di fatto unicamente a loro: per questi fotorivelatori e << h, per cui Ka >> 1.

Mediante un'analisi dei fenomeni connessi alla ionizzazione per impatto si ricava un’espressione del fattore F(M), parametrizzato da K = min , il cui andamento è riportato in figura 95.

Fig. 95

Grafico del fattore di rumore in eccesso F(M) introdotto da un comune APD, in funzione del guadagno M. Le curve F(M) sono parametrizzate da K = min . Il rapporto di ionizzazione Ka, che dipende dal tipo di semiconduttore, dalla temperatura e dal voltaggio inverso

applicato, è legato all’attitudine delle due specie di portatori di carica a realizzare ionizzazioni da impatto. L’obbiettivo tecnologico dovrebbe essere integrare un fotorivelatore ad alto guadagno medio intrinseco M, ma in cui il breakdown a valanga è sostenuto quasi esclusivamente da una delle due specie di portatori di carica (K → 0). In tal modo l’APD avrebbe un SNR buono, sia se irradiato da una potenza ottica bassa che da una potenza ottica alta.

F(M) = M

= KM + (1 – K) –

M

L’ultima approssimazione è frequentemente utlizzata per ragioni di comodità: x, noto come “esponente di rumore”, sempre presente nei datasheet degli APDs, è un numero reale compreso, teoricamente, fra 0 ed 1, ma in realtà compreso fra 0.2 ed 1. Infatti un fattore di rumore in eccesso unitario, ovvero x → 0, non è ottenibile nella pratica. Un APD “ideale”, vale a dire un APD nel quale il processo di moltiplicazione a valanga non è soggetto ad aleatorietà granulare, è un fotorivelatore nel quale tutti gli impulsi filtrati rilevabili sui suoi terminali di uscita hanno ampiezza pari ad M, e quindi area pari ad Mq. In altre parole per ciascun fotoelettrone primario, cioè per ciascuna delta di Dirac di corrente δ(t – tk), si innesca un breakdown a valanga in seguito al quale viene raccolto,

ai terminali di uscita del fotodiodo, il medesimo impulso filtrato Mh(t – tk) (M1 = M2 = M3 = … = Mk = … = M), e

quindi il medesimo numero di fotocariche (M1q = M2q = M3q = … = Mkq = … = Mq).

Fig. 96

Rappresentazione dell’azione di filtraggio, da parte di un ipotetico APD ideale (F(M) = 1, la moltiplicazione a valanga non introduce rumore), di un treno di impulsi granulari di corrente, nell’ipotesi in cui il semiconduttore sia modellizzabile mediante un sistema lineare. Si noti come gli impulsi filtrati Mh(t – tk) abbiano tutti la stessa ampiezza (M) ed area (Mq), come se il breakdown a valanga non risentisse di alcuna

aleatorietà granulare; in altre parole come se, anziché essere un processo statistico, fosse un fenomeno “esatto”, deterministico.

Per il suddetto APD “ideale” la grandezza statistica Mk è distribuita secondo una funzione di distribuzione

gaussiana (si faccia riferimento alle figure 94 e 96) estremamente concentrata intorno a M = <Mk>, dato che il

numero di realizzazioni dei valori delle Mk diverse da M è decisamente trascurabile. Quindi abbiamo = 0,

per cui, considerando la [e77], concludiamo che F(M) = 1.

Si noti l’analogia fra la [e77] e la definizione di cifra di rumore (NF) di un quadripolo (la prima formula del glossario): rappresenta la potenza di rumore (NQ) introdotta dall’APD, il quale può essere pensato come un

quadripolo Q optoelettronico che, nel ricevere il segnale di ingresso, ovvero un treno di delta di Dirac, introduce intrinsecamente del rumore, costituito dalla casualit{ dell’ampiezza Mk di ciascun impulso filtrato Mkh(t – tk). Più

la polarizzazione inversa |V|, a cui sottoponiamo l’APD, è alta, più M (il valor medio delle Mk) è alto, più

l’aleatorietà sull’ampiezza di ogni singolo impulso filtrato è alta (ciascun Mk è libero di fluttuare entro un range

più ampio), più la funzione di distribuzione gaussiana delle Mk è larga, più è grande, maggiore è F(M),

ovvero maggiore è il rumore (NQ) introdotto dall’APD durante la fotorivelazione. L’analogia appena discussa

giustifica che il “fattore di rumore in eccesso” F(M) venga spesso chiamato “cifra di rumore dell’APD”.

Per rivelare una radiazione luminosa avente potenza ottica abbastanza elevata potremmo pensare, essendo la moltiplicazione a valanga deleteria ai fini del SNR, e fissata l’attitudine alla ionizzazione di entrambi i portatori di carica (cioè noti e ed h, ovvero fissata una delle caratteristiche di figura 95), di utilizzare un APD avente

guadagno M basso o meglio ancora un PIN. Ciò consentirebbe di attenuare il fattore di rumore in eccesso F e quindi di attenuare il peggioramento del SNR intrinseco, causato dalla valanga. Tuttavia il vantaggio, così acquisito, varrebbe solo per rivelazioni di luce intensa; se volessimo rivelare una radiazione poco intensa, con quello stesso APD o con il PIN, avremmo un peggioramento del SNR (vedremo nel paragrafo 6.6 che M alto è vantaggioso quando l’intensit{ luminosa incidente Iν è bassa, ovvero quando i rumori dominanti sono quello

termico, quello di perdita e quello dell’elettronica esterna). In questo caso conviene scegliere un APD con M abbastanza alto, così da ottenere una buona sensibilità per Iν bassa, ma realizzato con un materiale

semiconduttore nel quale la moltiplicazione a valanga è affidata o solo alle lacune o solo agli elettroni: in altre parole o Ka >> 1 o Ka << 1. In entrambi i casi K è piccolo ( 0), per cui F è piccolo ( 1). F(M) è di fatto quasi

ideale, cioè quasi unitario, nel caso in cui la capacità moltiplicativa, per impatto ionizzante, è fortemente decrementata per una specie di portatori e fortemente incrementata per l’altra; esiste un settore di ricerca, chiamato “ingegneria delle bande”, che studia i metodi tecnologici (MBE sopratutto) per la crescita ed il trattamento di semiconduttori semplici, composti ed eterostrutture che consentano di conseguire questo risultato.

Un modo intuitivo per ottenere un basso fattore di rumore in eccesso F(M) potrebbe essere scegliere un semiconduttore nel quale il diagramma a bande dell’energia totale E in funzione del numero d’onda k (= 2π/ ) presenti una grossa differenza fra la concavità della curva E(k) della BC, presso il proprio minimo EC, e la

concavità della curva E(k) della BV, presso il proprio massimo EV. In tal modo la massa efficace per la mobilità

degli elettroni sarà molto diversa da quella delle lacune, e quindi, a parità di campo ε esterno (accelerante), le due specie di portatori di carica avranno energie cinetiche molto diverse; pertanto e sarà molto diverso da h.

6.6) Il rapporto segnale/rumore per PIN e APD in condizioni di funzionamento reali (le