Decadimento spontaneo non radiativo

Gli elettroni che si trovano su un livello energetico E2 (E2 è un livello appartenente alla BC, nel caso in cui

il materiale sia un semiconduttore) hanno un tempo di vita medio τNR (NR = non radiativo), per cui gli

elettroni stazionano su quel livello energetico, ovvero possiedono quel valore di energia totale, mediamente per un intervallo di tempo pari a τNR, durante il quale gli elettroni rappresentano le N2

particelle che popolano il livello E2 (nel nostro modello N2 ed N1 costituiscono delle concentrazioni di

elettroni). Al termine di τNR gli elettroni decadono spontaneamente ad un livello energetico inferiore E1,

più stabile di E2. Gli elettroni non raggiungono il livello stabile E1 direttamente, ossia con un unico salto

energetico, cioè con un’unica transizione | i > | f >, bensì attraverso processi di “cattura (C) e rilascio (R)” da parte di stati energetici profondi (“deep levels”), ovvero trappole di varia natura, alle quali gli elettroni cedono progressivamente la differenza di energia E2 – E1. La differenza di energia viene

dissipata non mediante emissione di fotoni, bensì attraverso dei processi termici, quali ad esempio le vibrazioni modali delle impurezze (ad esempio le vibrazioni di metalli pesanti come Au, Cu, Fe, Cr, Cd e Co, posizionati nel cristallo semiconduttore in modo interstiziale) e dei vari difetti reticolari (di punto o di linea) che determinano le trappole energetiche profonde, ovvero stati permessi all’inteno del gap. Nel caso dei semiconduttori si parla di “ricombinazione (elettrone/lacuna) non radiativa banda → trappole

→ banda” o anche di “ricombinazione SRH (Shockley – Read – Hall)”. Nel caso in cui ci sia un solo “livello energetico intrappolatore” ET a mediare il decadimento degli elettroni da E2 a E1, è possibile scrivere la

seguente formula per il rate di cattura (RC) di elettroni da parte delle trappole:

R

= N

ς

v

N

(1 − f(E

)) [cm

s

]

Si noti come la probabilità con cui le trappole catturano gli elettroni è proporzionale:

 alla concentrazione N2 di elettroni sul livello energetico instabile E2, che nei semiconduttori

coincide con la concentrazione di elettroni in BC

 alla sezione di cattura ςT, per gli elettroni, dei centri di intrappolamento

 alla velocità termica vth degli elettroni (più questi sono veloci, maggiore è il numero di trappole

“viste”, “visitate”, da ciascun elettrone nell’unit{ di tempo)

 alla concentrazione di trappole libere NT(1 − f(ET)): NT è la concentrazione totale di trappole,

ipotizzando che siano tutte equienergetiche, mentre f(ET) è il valore assunto dalla funzione di

distribuzione di Fermi – Dirac all’energia del livello intrappolatore ET.

In modo del tutto analogo è possibile scrivere la seguente formula per il rate di rilascio (RR) di elettroni

da parte delle trappole, assumendo sempre che ci sia un solo livello energetico intrappolatore ET a

mediare il decadimento. Tuttavia è preferibile pensare al rilascio di elettroni come all’intrappolamento di lacune provenienti da E1 (dalla BV), pertanto:

R

= p ς

’ v

N

f(E

) [cm

s

]

Si noti come la probabilità con cui le trappole catturano le lacune, ovvero rilasciano gli elettroni, è proporzionale:

 alla concentrazione p di lacune sul livello energetico E1, ossia in BV

 alla sezione di cattura ςT’, per le lacune, dei centri di intrappolamento

 alla velocità termica vth delle lacune del livello energetico E1, ovvero della BV (più le lacune sono

veloci, ossia più gli N1 elettroni di E1 sono veloci, maggiore è il numero di trappole “visitate” da

ciascuna lacuna nell’unit{ di tempo)

 alla concentrazione di trappole occupate (da elettroni) NT f(ET): NT è la concentrazione totale di

trappole, sempre ipotizzando che siano tutte equienergetiche, mentre f(ET) è il valore assunto

dalla Fermi – Dirac all’energia del livello intrappolatore ET.

Il decadimento spontaneo non radiativo, fin qui descritto, è molto più frequente nei semiconduttori a gap indiretto piuttosto che in quelli a gap diretto. Ad esempio per valori standard delle concentrazioni di elettroni iniettati in BC e di lacune iniettate in BV ( _{< n = p < ), all’interno della zona di}

svuotamento zds di molti tipi di LEDs, abbiamo che mediamente nel silicio (gap indiretto) solo una coppia elettrone/lacuna su centomila da luogo, ricombinandosi, ad emissione spontanea (tutte le altre si ricombinano in modo non radiativo), mentre nell’arseniuro di gallio (gap diretto) mediamente una coppia su due decade spontaneamente in modo radiativo. Quando la transizione (non radiativa) di un elettrone da E2 a E1 è conclusa, la popolazione N2 è decrementata di un’unit{, mentre la popolazione N1 è

incrementata di un’unit{. È intuitivo scrivere il contributo della transizione 1) all’equazione di continuit{ del sistema, a due livelli energetici, da noi utilizzato:

= − C

= −

[cm

-3

_s

_]

dove C21 è uno dei noti “coefficienti di Einstein”. La ricombinazione elettrone/lacuna spontanea non

luce, quali LEDs e LASERs. Un LED, almeno in condizioni normali (ad esempio a temperatura ambiente), non può funzionare se costruito con un semiconduttore a gap indiretto: le ricombinazioni non radiative banda → trappole → banda, molto più frequenti di quelle radiative (come già detto di un fattore pari a circa 105_{, nel caso del silicio e di transizioni EC → EV), fra elettroni in BC e lacune in BV iniettati, nella zds}

della giunzione pn, dalla corrente di polarizzazione diretta, non produrebbero fotoni, dunque la giunzione non emetterebbe luce con intensità Iν sufficiente per poter essere percepita dall’occhio umano.

Il decadimento spontaneo non radiativo va dunque ad incidere negativamente sull’efficienza interna int

di un LED. Le ricombinazioni non radiative sono altresì una delle cause principali della bassa efficienza di emissione (in genere < 50%) che può interessare un LASER realizzato con delle tecniche non efficaci nel minimizzare la concentrazione d’impurezze all’interno della zona attiva appartenente al “core” (nucleo) del dispositivo. I decadimenti SRH implicano, infatti, un inutile consumo di inversione di popolazione, ovvero uno “spreco” del pompaggio elettronico, a cui deve essere sottoposto un LASER a semiconduttore, per poter “guadagnare” in termini di intensit{ luminosa e quindi emettere luce coerente apprezzabile all’esterno.

Esiste un’altra forma di decadimento spontaneo non radiativo, abbastanza rara, nota come “ricombinazione Auger” elettrone/lacuna; per descriverla è opportuno richiamare brevemente il seguente concetto di fisica dei semiconduttori. Per prima cosa consideriamo un volume macroscopico di semiconduttore a gap indiretto (silicio, ad esempio), le cui dimensioni sono Lx = aNx, Ly = aNy ed Lz = a

Nz. a rappresenta la costante reticolare del semiconduttore scelto (pari a qualche A°), mentre Nj (j = x, y,

z) è il numero di celle fondamentali di cui consta la lunghezza del cristallo semiconduttore lungo l’asse j considerato (Nj determina la lunghezza del cristallo lungo l’asse j). Come noto la prima zona di Brillouin

lungo gli assi kx, ky e kz del reticolo reciproco di Fourier (si veda il glossario), ovvero lungo le direzioni

[100], [010] e [001], per un semiconduttore avente struttura cristallina diamantata (semiconduttori elementari) oppure a zincoblenda (semiconduttori composti III – V), ha un’estensione pari a 2π/a. Quindi l’estensione della prima zona di Brillouin nello spazio dei vettori d’onda è una caratteristica intrinseca di ciascun semiconduttore, poiché lo è la costante reticolare a del cristallo. Il passo di quantizzazione Δkqj (= 2π/Lj) all’interno del reticolo reciproco è, invece, determinato dalle dimensioni

macroscopiche Lx, Ly ed Lz del cristallo in cui sono confinati gli elettroni, pertanto la sagomatura del

cristallo determina la concentrazione degli stati elettronici permessi lungo le linee E(k) del diagramma a bande, come mostrato qualitativamente in figura 32 (gli stati permessi in BC sono indicati con dei punti neri). La quantizzazione dei numeri d’onda lungo uno dei tre assi è ricavabile imponendo le note condizioni periodiche al contorno di Born – Von Karman, e ciò è possibile in virtù della natura non scatterante degli elettroni, all’interno di un cristallo “perfetto” (non realmente esistente); questa considerazione è una diretta conseguenza del teorema di Bloch, che nella teoria garantisce assenza di scattering, cioè elevata mobilità (cioè la delocalizzazione degli stati elettronici lungo tutto il volume del cristallo), per i portatori di carica all’interno di una matrice cristallina periodica perfettamente ordinata. Supponiamo quindi di aver sagomato il cristallo di silicio in modo che questo abbia una lunghezza, lungo l’asse x, pari a Lx. In tal modo abbiamo fissato anche la distanza Δkqx, lungo l’asse kx, tra due stati

elettronici contigui (Δkqx = 2π/Lx).

La ricombinazione Auger prevede la partecipazione di tre corpi, ad esempio due elettroni ed una lacuna oppure un elettrone e due lacune. Supponiamo di avere due elettroni in BC ed una lacuna in BV: se la posizione degli elettroni sulla curva E(k) lo consente, esiste la possibilità che uno dei due elettroni (e1)

ceda all’altro (e2) una certa quantit{ di energia ΔE ed una certa quantit{ di moto ΔP = ђΔk, raggiungendo

così un nuovo punto della curva E(k); questo punto individua uno stato elettronico dal quale è possibile la ricombinazione (generalmente non radiativa) con la lacuna che si trova in BV. L’elettrone e2 raggiunge

un nuovo punto di E(k) individuato dagli incrementi ΔE e Δk. La particolare situazione energetica ed impulsiva in cui devono trovarsi simultaneamente e1 ed e2, nonché la quantizzazione Δkqj del numero

d’onda kj (i diagrammi E – k sono disegnati con tratti continui solo per semplicità grafica), rendono di

Fig. 32

Rappresentazione del processo, molto poco probabile, di ricombinazione Auger in un semiconduttore a gap indiretto. Si noti la dinamica energetico – impulsiva che coinvolge i tre corpi, nonché la quantizzazione Δkqx del vettore d’onda k (= kx) presso la prima zona di Brillouin

lungo l’asse kx. a è la costante reticolare del semiconduttore.