Per svolgere dei calcoli analitici ipotizziamo che la regione di svuotamento nel lato n+ abbia spessore
trascurabile; assunzione più che giustificata, dato che questo spessore risulta pari a circa , con Nd
molto alto. Dunque la zona di moltiplicazione è esattamente delimitata fra 0 e d. Assumiamo anche che la zona di assorbimento A di fotoni sia tutta e la sola regione π. Nell’istante dell’illuminazione osserviamo una densità di corrente di fotoelettroni primari, all’altezza di x = d, che chiamiamo Je(d). Questi fotoelettroni devono ancora
moltiplicare, e lo fanno durante il loro trascinamento verso sinistra. Ad una certa altezza x (0 < x < d) osserviamo una corrente J(x) = Je(x) + Jh(x): in quel generico punto contiamo elettroni primari, elettroni secondari e lacune
secondarie. Presso x = 0 abbiamo una corrente Jtotale(0) = Je(0) + Jh(0). In maniera rigorosa possiamo scrivere:
J
h(0) = J
hdrift(0) + J
hdiff(0) + J
hdarkbulk(0)
Il primo addendo è trascurabile, avendo ipotizzato che la regione di moltiplicazione sia precisamente compresa fra x = 0 e x = d, per cui gli ultimi eventi ionizzanti si verificano in x = 0+. Dunque la sezione x = 0 non è
attraversata da alcuna corrente di trascinamento di lacune. Anche il secondo addendo è trascurabile, poiché le pochissime fotolacune generate in n+ non riescono a diffondere con successo verso p, a causa dell’elevato
drogaggio (ciò concorre a rendere il dispositivo a larga banda). Il terzo addendo è formato dalle lacune termogenerate nel bulk del lato n+ ed estratte in virtù della polarizzazione inversa (secondo il profilo spaziale
espresso nella [e21]). Tuttavia, a causa del drogaggio elevato, la massima concentrazione di “lacune di buio”, cioè di lacune di dark – bulk, è pari a , per cui è bassissima, visto che Nd è alto. Pertanto anche quest’ultimo
addendo è inessenziale, e concludiamo che Jh(0) è trascurabile. Je(0) è la corrente di elettroni moltiplicata a
valanga, ovviamente solo di drift. In osservanza alla legge di continuità della corrente abbiamo che:
J
e(0) = J
e(x) + J
h(x) tale che 0 < x < d [e82]
Fissato un generico punto x e percorrendo un elemento di zona M lungo la direzione dell’asse x, osserviamo un decremento di densità di corrente di elettroni pari a:
–dJ
e(x) = [α
eJ
e(x) + α
hJ
h(x)]dx [e83]
Sostituendo la [e82] nella [e83] otteniamo la seguente equazione differenziale a coefficienti costanti:
+ (α
e– α
h)J
e(x) = – α
hJ
e(0)
J
e(x) =
Fig. 105
Grafico semiqualitativo della densità di corrente di elettroni Je(x) all’interno della regione di moltiplicazione M (corrispondente allo strato p).
All’interfaccia p/π (x = d) si osserva una densità di corrente Je(d) di elettroni primari fotogenerati nella regione di assorbimento A
(corrispondente allo strato π). I fotoelettroni, trascinati dal forte campo elettrico, producono ionizzazioni per impatto, in seguito alle quali si osserva, all’interfaccia n+/p, una densità di corrente di elettroni Je(0) costituita da fotoelettroni primari e soprattutto secondari. Il fattore di
moltiplicazione, dovuto al fenomeno del breakdown a valanga, è proprio M = Je(0)/ Je(d).
M =
=
[e84]
Poichè i due coefficienti di ionizzazione αe ed αh dipendono, seppur debolmente, dal voltaggio inverso applicato
(ovvero dal campo ε), possiamo disegnare il seguente grafico qualitativo:
Fig. 106
Grafico qualitativo del fattore di moltiplicazione M in funzione del voltaggio inverso applicato al fotodiodo SAM – APD (di silicio), costruito a struttura n+/p/π/p+. Per bassi valori di voltaggio inverso, ovvero |V| < VBD (per cui all’interno del layer p si ha ε < εBD), non si verifica il
breakdown a valanga, quindi M 1. Per voltaggi sufficientemente alti, ossia |V| > VBD, il dispositivo è in grado di guadagnare, in termini di
densità di fotocorrente, secondo un fattore di moltiplicazione M linearmente dipendente da |V|.
αe ed αh crescono all’aumentare di |V|, mentre la loro differenza diminuisce, con conseguente aumento della
rumorosità della fotorivelazione. Nel Si, con radiazioni luminose incidenti aventi frequenze rientranti nei range del vicino infrarosso, del visibile e del vicino ultravioletto, αh sar{ sempre inferiore ad αe, ma per valori di ε
abbastanza alti il rate di ionizzazione delle lacune “recupera terreno” rispetto a quello degli elettroni, a tal punto che per ε 5 105 Vcm-1 si ha che α
h è circa la met{ di αe. Dall’espressione [e84] è evidente che, per d → 0
(regione di moltiplicazione troppo stretta), M → 1. La zona di moltiplicazione non deve, inoltre, essere troppo larga, per non correre il rischio di avere un breakdown a valanga distruttivo (valanga non più controllata). Infatti per:
d
si avrebbe:
M →
Anche per le strutture SAM è valida la formula:
I
L= R P =
P
Occorre tenere presente che maggiore è il guadagno M offerto dal dispositivo e minore è la sua banda passante, poiché aumenta il tempo necessario alla generazione dei portatori secondari per effetto valanga e, quindi, il tempo necessario alla loro rimozione dalla zona di moltiplicazione verso il circuito esterno. La relazione fra M ed il tempo di rimozione è quasi una proporzionalità inversa esatta.
7.1.3) Il fotodiodo a valanga SAM n
+/p/π/p
+al silicio: la dipendenza spaziale della “probabilit{
Giustifichiamo ora in maniera formale il fatto che è importante che la maggior parte dei fotoni sia assorbita nel layer π, definendo uno dei parametri più importanti per un SAM – APD: la “probabilit{ di trigger”. Fissato un certo voltaggio inverso, la probabilità di trigger di una coppia di fotoportatori appena generata è la probabilità che il fotoelettrone e la fotolacuna producano un evento ionizzante (cioè che inneschino la valanga) durante i rispettivi trascinamenti, prima di essere raccolti al di fuori della zona a campo elevato. Tale probabilità condizionata, essendo legata al comportamento di una coppia, consterà dei contributi di probabilità di entrambe le specie. In formule:
P
tr(x) = P
e(x) + P
h(x) – P
e(x)P
h(x)
Un elettrone che si trova all’interfaccia n+/p attraverserà una ristrettissima porzione di zona ad alto campo,
prima di essere raccolto da n+, ed avrà, quindi, una probabilità praticamente nulla di fare da trigger per il
fenomeno della valanga: dunque, in base alle ipotesi utilizzate per il calcolo di M, si evince che Pe(0) → 0, mentre
Pe(d) → PeMAX (l’elettrone può ionizzare all’interno dell’intera zona di moltiplicazione). Viceversa, per la lacuna,
Ph(d) → 0, mentre Ph(0) → PhMAX. Evidentemente Ptr(0) → PhMAX e Ptr(d) → PeMAX (con PeMAX > PhMAX). Studiando la
relazione fra la frequenza di ionizzazione delle due specie e la probabilità di trigger è possibile scrivere il seguente sistema 2x2 di equazioni differenziali accoppiate:
Le approssimazioni lineari delle due soluzioni, insieme a quella di Ptr(x), sono visualizzate nel grafico mostrato in
figura 107.
Riportiamo un ingrandimento della regione n+/p/π, con dei valori tipici per le profondità degli strati n+ e p, relativo alla sezione del fotodiodo
SAM – APD costruito a struttura n+/p/π/p+. Sono visualizzati gli andamenti spaziali, approssimati linearmente, della probabilità di trigger
Pe(x) di un fotoelettrone primario, della probabilità di trigger Ph(x) di una fotolacuna primaria, della probabilità di trigger condizionata Ptr(x)
della fotocoppia primaria elettrone/lacuna. Sono contestualmente riportati anche gli andamenti del campo elettrico ε(x) (< εBD nella zona di
assorbimento della luce, > εBD in quella di moltiplicazione del fotosegnale) e dell’intensit{ luminosa I(x) (ad esponenziale decrescente, data la
condizione di piccolo segnale): si noti come la geometria del SAM – APD limiti fortemente l’assorbimento di fotoni nei layers n+ e p.
È pertanto di primaria importanza progettare dei layers n+ e p che consentano all’intensit{ luminosa incidente di
raggiungere, in grossa percentuale, lo strato π, laddove le coppie fotogenerate hanno la maggiore probabilit{ di trigger.