C) La funzione che descrive la caratteristica statica non esiste, e non può quindi essere rappresentata da alcun grafico
A.4 Qualche utile relazione
7.5 Impedenza complessa
La sesta linea del pacchetto di istruzioni ‘.AC’ richiede a Spice di eseguire una analisi in regime sinusoidale del circuito per un sol valore della frequenza (1 è il terzo termine nell’istruzione in questione) pari a 50 Hz. Per esaminare compiutamente l’istruzione, scriviamola in generale:
.AC LIN NP FSTART FSTOP .
Essa informa il programma che desideriamo venga effettuata un’analisi in regime sinusoidale a partire dalla frequenza iniziale FSTART, fino a raggiungere la frequenza finale FSTOP, e questa analisi va ripetuta NP volte. Esemplifichiamo questa istruzione con un esempio:
.AC LIN 5 10 50 .
Essa richiede che l’analisi in regime sinusoidale di un certo circuito vada ripetuta 5 volte, a partire dalla frequenza di 10 Hz, fino alla frequenza di 50 Hz, e cioè per le cinque frequenze: 10 Hz, 20 Hz, 30 Hz, 40 Hz e 50 Hz.
Se vogliamo esaminare la rete per una sola frequenza (come è nel nostro caso) basterà porre NP = 1 e far coincidere la frequenza iniziale con quella finale, come abbiamo fatto noi scrivendo due volte 50 Hz.
La parolina ‘LIN’ informa Spice che vogliamo che, nel caso la rete vada esaminata per diverse frequenze, esse dovranno variare linearmente dal valore iniziale a quello finale, secondo una spaziatura costante data dalla formula:
SPAZIATURA = FSTOP - FSTART NP - 1 .
Più avanti, studiando la risonanza, discuteremo meglio questo punto.
Come per i circuiti in regime stazionario, Spice fornisce in uscita il potenziale dei due nodi 1 e 2, assumendo quale riferimento per le tensioni il nodo indicato con 0.
Le tensioni vengono riportate come numeri complessi espressi sia in forma algebrica, sia in forma polare, come vedremo tra breve.
I = E
R + j ω L .
Essa mette in evidenza che la tensione complessa E agisce sull’impedenza complessa
Z = R + j ω L .
Questa impedenza, che è un numero complesso, è costituita da una parte reale di valore R e di una parte immaginaria di valore ω L. Se provate a riflettere un momento su questo risultato, concluderete che c’era da aspettarselo. Il generatore di tensione ‘vede un’impedenza equivalente che è pari alla somma delle impedenze che rappresentano, rispettivamente, il resistore e l’induttore: le due impedenze, essendo percorse dalla stessa corrente, sono in serie. Ma allora è proprio come in corrente continua: due (o più) impedenze in serie si possono sintetizzare in un’unica impedenza equivalente, pari alla somma delle impedenze che costituiscono la serie. La Figura 7.23 riassume graficamente ciò che abbiamo appena affermato.
Z1 Z2 Z = Z1 + Z2
Figura 7.23: serie di impedenze.
Allora, se abbiamo N impedenze in serie, possiamo trasformarle in un’unica impedenza di valore:
Z = Z1 + Z2 + + ZN . (7.69)
Anche per il parallelo valgono le stesse regole che abbiamo introdotto per le reti in regime stazionario. Prima però di esaminarle, è bene introdurre la ammettenza, definita come l’inverso dell’impedenza:
Y = 1 Z
= G + j B . (7.70)
Anche in regime stazionario abbiamo fatto la stessa cosa quando abbiamo introdotto la conduttanza, che era definita come l’inverso della resistenza. Solo per fare un po’ di gergo, è bene sottolineare che la parte reale dell’ammettenza (G) viene detta conduttanza, mentre la parte immaginaria (B) si chiama suscettanza.
Ebbene, se abbiamo due bipoli in parallelo, possiamo rappresentare il bipolo equivalente con un’unica ammettenza (Figura 7.24):
Y = Y1 + Y2 .
Questa relazione, scritta in termini di impedenze, diventa in tutto simile alla regola del parallelo di due resistori (che ben conoscete!):
Z = 1 Y
= Z1 Z2 Z1 + Z2
. (7.71)
Z1
Z2
Z = Z1 Z2 Z1 + Z2
Figura 7.24: parallelo di impedenze.
Anche il caso di N impedenze in parallelo è molto simile alle cose che avete appreso nello studio del regime stazionario, potendosi scrivere che l’ammettenza equivalente è pari alla somma delle ammettenze che compongono il parallelo:
Y = Y1 + Y2 + + YN . (7.72)
Esempio 3 - Determinare l’impedenza equivalente vista dai morsetti A-B.
A B Z1 = 1 + j
Z3 = 2 + 3 j
Z2 = 1 - j
Cominciamo coll’osservare che i valori delle resistenze e delle reattanze si ritengono espressi in ohm, e che le due impedenze Z1 e Z2 sono in parallelo.
Pertanto, posto
Z1 = 1 + j = 2 ∠π/4 = 2, π/4 e Z2 = 1 - j = 2 ∠- π/4 = 2, - π/4 , l’impedenza equivalente a queste due vale:
Z = Z1 Z2 Z1 + Z2
= 2 , π/4 2 , - π/4
1 + j + 1 - j = 2 2 , π/4 - π/4
2 = 2, 0
2 = 2 2 = 1 .
Ora, l’impedenza Z è in serie con Z3 e, allora, l’impedenza vista dai morsetti A e B vale:
ZAB = Z + Z3 = 1 + 2 + 3 j = 3 + 3 j .
Esempio 4 - Determinare l’impedenza supponendo che la rete funzioni alla pulsazione ω = 1 krad/s.
A
B
L1 = 1 mH
L2 = 2 mH C = 1 mF
R = 3 Ω
Le reattanze relative a ogni bipolo a memoria valgono:
X1 = ω L1 = 1 Ω , X2 = ω L2 = 2 Ω , XC = 1
ω C = 1 Ω .
Poi, eseguendo il parallelo tra le impedenze relative a C e a L2, si ha:
Z = j X2 - j XC
j X2 - j XC = - 2 j j
2 j - j = - 2 j2
j = - 2 j .
Il risultato, dunque, di questo parallelo è una impedenza che corrisponde ad una capacità (di reattanza 2). Ora, l’impedenza Z è in serie con la resistenza R e con la reattanza X1, sicché:
ZAB = R + j X1 + Z = 3 + j - 2 j = 3 - j .
In gergo si dice che l’impedenza ZAB, avendo una parte immaginaria negativa, ha un ‘carattere’ ohmico-capacitivo.
Abbiamo appena visto che valgono le stesse regole del regime stazionario per il calcolo delle impedenze in serie e in parallelo. In maniera naturale, le regole del partitore di tensione e di corrente continuano a valere: l’esempio che segue ha lo scopo di mostrarvi come si adoperino in regime sinusoidale. Tra l’altro, può essere utilmente adoperato per fare ulteriore pratica sui numeri complessi.
Esempio 5 - Consideriamo la rete mostrata in figura. Essa opera in regime sinusoidale e, per questo, abbiamo riportato il valore del generatore di tensione nella forma di fasore. Si assuma: E = (3 - j) V, R = 1 Ω, XC = 1 Ω.
A
B +
−
R
R XC
I IC
IR E
1) Determinare la tensione VAB e la corrente I.
Prima di valutare la tensione richiesta, semplifichiamo la rete come mostrato nella figura che segue, in cui l’impedenza Z rappresenta il parallelo tra R e XC:
Z = R || (- j XC) = - j R XC
R - j XC = - j
1 - j = 1 ∠- π/2
2 ∠- π/4 = 1
2 ∠- π/4 =
= 12 cos π
4 - j sen π 4 = 1
2 1 2 - j
2 = 1 - j 2 .
A
B +
− I R
E Z VAB
+
−
La tensione VAB può essere calcolata usando la regola del partitore di tensione:
VAB = E Z R + Z
= (3 - j)
1 - j 2 1 + 1 - j
2
= (3 - j) 1 - j
3 - j = 1 - j .
Allora la corrente I può essere calcolata applicando la LKT all’unica maglia (percorsa, come d’abitudine, in senso orario):
- E + R I + VAB = 0 → I = E - VAB
R = 3 - j - (1 - j) = 2 . 2) Calcolare le correnti IR e IC.
Adoperiamo la regola del partitore di corrente.
A
B
R XC
I IC
IR
Risulta (come suggerito dalla figura precedente):
IR = I - j XC
R - j XC = 2 - j
1 - j = 2 1, - π/2
2 , - π/4 = 2 1 2
, - π
4 = 2 2
1 2
- j 2
= 1 - j ;
IC = I R
R - j XC = 2 1
1 - j = 2 1, 0
2 , - π/4 = 2 1 2
, π 4 = 2
2 1
2 + j
2
= 1 + j .
Quale verifica dei calcoli sviluppati, controllate che la LKC al nodo A IR + IC - I = 0 ,
risulta verificata con i valori calcolati delle correnti. Infine, controllate che avremmo potuto calcolare le correnti IR e IC per mezzo delle relazioni:
IR = VAB
R e IC = VAB - j XC .
Anche la trasformazione triangolo stella (o quella stella-triangolo) di impedenze può essere utilizzata in regime sinusoidale e le formule di trasformazione si usano proprio come mostrato in regime stazionario. Prima però di mostrare qualche esempio, ricordiamo le formule generali di trasformazione di un triangolo in una stella e quelle inverse, di trasformazione di una stella in un triangolo:
ZA = ZAB ZAC ZAB + ZAC + ZBC
, ZAB = ZA ZB + ZB ZC + ZA ZC ZC
,
ZB = ZAB ZBC ZAB + ZAC + ZBC
, ZBC = ZA ZB + ZB ZC + ZA ZC ZA
,
ZC = ZAC ZBC ZAB + ZAC + ZBC
, ZAC = ZA ZB + ZB ZC + ZA ZC ZB
.
(7.73)
A
B
C
ZAB
ZBC
ZAC A
B
C
ZA
ZB
ZC
O
Figura 7.25: triangolo e stella di impedenze.
Esempio 6 - Calcolare l’impedenza vista dai terminali A-B del bipolo mostrato in figura, assumendo R = 6 Ω, XL = 4 Ω e XC = 4 Ω.
R
R R
XL
XC
A B
Per trovare l’impedenza equivalente vista dai terminali A-B si potrebbe procedere in diversi modi; noi riteniamo che la via più semplice sia quella di trasformare il
triangolo di resistenze in una stella. Successivamente, semplici operazioni di serie e parallelo ci consentiranno di calcolare la richiesta impedenza.
Se facciamo riferimento allo schema riportato di seguito, possiamo affermare che, dopo aver effettuato l’operazione di trasformazione del triangolo in stella, deve essere
ZAB = R 3 +
R
3 + j XL R
3 - j XC 2R
3 + j XL - XC
= R3 + R2
9 - j2 XL XC + j R
3 XL - j R 3 XC 2R
3 + j XL - XC
=
= R3 + R2
9 + XL XC + j R
3 XL - XC 2R
3 + j XL - XC
.
Avete notato come abbiamo eseguito la moltiplicazione tra due numeri complessi?
Siamo abituati a trasformare i fattori in forma polare e poi eseguire la moltiplicazione; per sviluppare il calcolo precedente, abbiamo moltiplicato due numeri complessi usando le regole algebriche cui siete abituati e osservando che, per definizione, è j2 = - 1, risulta:
(a + j b) (c + j d) = ac + j bc + j ad + j2 bd = ac - bd + j (bc + ad) .
XL
XC
A B
R 3
R 3
R 3
Se poi osserviamo che XL = XC, l’espressione precedente si semplifica come segue:
ZAB = R 3 +
R2
9 + XL XC 2R
3
= 2 + 4 + 16 4 = 7 .
Tuttavia, qualcosa di nuovo, forse anche un po’ strano e imbarazzante, può accadere in regime sinusoidale. L’esempio che segue analizza questa novità e fornisce una chiave di lettura dei risultati ottenuti.
Esempio 7 - Trasformare la stella di impedenze in un triangolo, assumendo che R = 10 Ω, XL = 2 Ω e XC = 4 Ω.
XL
XC A
B
C R
Applicando le formule di trasformazione della stella in un triangolo, concludiamo rapidamente che deve essere
ZAB = XL XC + j R XL - XC
- j XC = R 1 - XL
XC + j XL = 5 + 2 j , ZBC = XL XC + j R XL - XC
R = XL XC
R + j XL - XC = 0.8 - 2 j , ZAC = XL XC + j R XL - XC
j XL = R 1 - XC
XL - j XC = - 10 - 4 j .
Osservando con attenzione i risultati ottenuti, peraltro evidenziati nella figura che segue, si nota che l’impedenza ZAC ha una parte reale negativa pari a - 10 Ω.
Questo fatto non deve turbarci più di tanto dato che le trasformazioni imposte ci dicono che se chiudiamo in una scatola i due elementi a tre morsetti, quello a stella e quello a triangolo, non sono distinguibili per mezzo di esperimenti eseguiti dall’esterno di questa scatola. Il secondo ha in un ramo una resistenza negativa che nei corsi di Elettronica imparerete a realizzare. Ci basti qui sottolineare che una resistenza negativa, fatta ovviamente su essa la convenzione dell’utilizzatore, si comporta come un generatore.
A
B
C - 10
4
2 0.8
2 5