Le quattro operazioni fra i numeri complessi

Sono noti c (> 0) e α → a = c cos α , b = c sen α . (7.37) Ad esempio:

c = 5 ∠30° → a = 5 cos 30° ≅ 4.33 , b = 5 sen 30° = 2.5 ; c = 6 ∠120° → a = 6 cos 120° = - 3 , b = 6 sen 120° ≅ 5.20 ; c = 8 ∠210° → a = 8 cos 210° ≅ - 6.93 , b = 8 sen 210° = - 4 ; c = 5 ∠310° → a = 5 cos 310° ≅ 3.21 , b = 5 sen 310° ≅ - 3.83 .

c₁ + c₂ = 3 + 4 j + 2 - 3 j = 5 + j ; c₁ - c₂ = 3 + 4 j - (2 - 3 j) = 1 + 7 j . B) Operazioni di moltiplicazione/divisione.

Volendo eseguire le operazioni c₁ ⋅ c2 , oppure c₁ : c₂ ,

conviene porre entrambi i numeri complessi nelle rispettive forme polari c₁ = c₁ ∠α₁ , c₂ = c₂ ∠α₂ ,

ed eseguire le operazioni come segue:

c = c₁ ⋅ c2 = c₁ ∠α1 ⋅ c2 ∠α2 = c₁ c₂ ∠(α1 + α2) ; (7.40) c = c₁ : c₂ = c₁ ∠α1 : c₂ ∠α2 = c₁ : c₂ ∠(α1 - α2) . (7.41) In altri termini, per la moltiplicazione di due numeri complessi i moduli dei numeri si moltiplicano tra loro, mentre gli angoli si sommano; per la divisione, i moduli si dividono, e gli angoli si sottraggono.

Siano, ad esempio, c₁ = 10 ∠45° e c2 = 5 ∠30°. Si ha, allora:

c₁ ⋅ c2 = 50 ∠75° , c1 : c₂ = 2 ∠15° .

Vale la pena osservare che, dovendo sommare (oppure sottrarre) due numeri complessi dati in forma polare, ad esempio

c₁ + c₂ = 10 ∠45° + 5 ∠30° ,

conviene trasformarli dalla forma polare a quella algebrica, in modo che c₁ = 10 ∠45° = 10 cos 45° + j 10 sen 45° ≅ 7.07 + 7.07 j ,

c₂ = 5 ∠30° = 5 cos 30° + j 5 sen 30° ≅ 4.33 + 2.5 j , e poi eseguire la somma

c₁ + c₂ ≅ 7.07 + 7.07 j + 4.33 + 2.5 j = 11.4 + 9.57 j .

Viceversa, dovendo moltiplicare (o dividere) due numeri complessi espressi in forma algebrica, conviene, innanzitutto, trasformarli in forma polare e, poi, eseguire la moltiplicazione (o divisione).

7.3 I ‘trucchi’ di Steinmetz e Kennelly

Ora che abbiamo introdotto i numeri complessi, e abbiamo anche imparato a operare su essi, possiamo finalmente ritornare alla questione centrale dalla quale eravamo partiti, e cioè quella di trovare un metodo semplice e rapido per risolvere correttamente ‘a mano’ (e cioè senza l’uso di Spice) i circuiti in regime sinusoidale.

È chiaro che quando parliamo dei ‘trucchi’ che furono inventati da Steinmetz e Kennelly per risolvere il problema, questo è soltanto un modo per indicare i metodi (rigorosi anche da un punto di vista matematico) mediante i quali i due autori riuscirono a risolvere le equazioni differenziali che governano il funzionamento dei circuiti in regime sinusoidale.

A noi, però, come al solito, non interessa qui imparare questi metodi matematici (anche perché ce ne mancherebbero le basi, al momento), bensì imparare a risolvere i circuiti. Ecco perché, anche per alleggerire il tono, parliamo di

‘trucchi’ di Steinmetz e Kennelly, pur sapendo bene che i metodi utilizzati sono tutt’altro che ‘magici’, ma hanno, invece, rigorose basi matematiche.

Non ci resta, a questo punto, che spiegarvi come si usano.

L’idea centrale del metodo è molto semplice, e prende spunto dalla definizione stessa di regime sinusoidale. Ricordando, infatti, che una rete è in regime sinusoidale, quando tutte le correnti e tensioni della rete sono funzioni sinusoidali del tempo dotate della stessa pulsazione ω, ciascuna corrente e ciascuna tensione può essere scritta nella forma generica

a(t) = A 2 sen(ωt + α) , (7.41)

nella quale ω è la pulsazione, fissata una volta per tutte (in Italia è ω = 2π 50 ≅ 314 rad/s), mentre il valore efficace A, oppure l’ampiezza A_M = A 2 , e la fase α sono ovviamente diverse per le diverse correnti e tensioni.

D’altra parte, è vera anche la proprietà inversa: e cioè, se di una data corrente (o tensione) conosciamo il valore efficace, diciamo ad esempio 10 A, nonché la fase, ad esempio π/4, è semplicissimo scrivere l’espressione della grandezza considerata:

i(t) = 10 2 sen 314t + π 4 .

Negli USA, invece di ω = 2π ⋅ 50 rad/s, avremmo dovuto scrivere ω' = 2π ⋅ 60 rad/s, perché la ‘frequenza di rete’ è pari a 60 Hz, invece che 50 Hz.

È chiaro, dunque, che ciascuna delle grandezze fondamentali di una rete che funzioni in regime sinusoidale (a una data pulsazione) è individuata univocamente da due numeri: il suo valore efficace, sempre positivo (oppure, equivalentemente, dalla sua ampiezza, pari a 2 volte il valore efficace), e la sua fase, che può essere, invece, sia positiva che negativa, (o anche nulla).

Viene spontaneo allora concludere che ciascuna corrente e tensione di una rete in regime sinusoidale (alla assegnata pulsazione ω) può essere rappresentata da un numero complesso espresso nella forma polare A ∠α, oppure, il che è evidentemente la stessa cosa, dal corrispondente fasore rappresentato in Figura 7.10.

α

0 x ≡ ℜ

y ≡ ℑ

A

Figura 7.10: fasore rappresentativo di una generica grandezza elettrica.

In ultima analisi, è proprio questo il primo dei trucchi da usare (in particolare, quello dovuto essenzialmente a Steinmetz): sostituire alle incognite funzioni sinusoidali del tempo i(t) e v(t) incognite indipendenti dal tempo, e costituite da fasori, cioè numeri complessi espressi in forma polare.

Il vantaggio di un simile ‘trucco’ è evidente poiché riporta le cose, in qualche modo, a una situazione simile a quella che c’era in regime stazionario (in cui le incognite erano, appunto, indipendenti dal tempo), con la sola differenza che, in regime stazionario, le incognite sono rappresentate da numeri reali, mentre, in regime sinusoidale, le incognite debbono essere rappresentate da fasori, e cioè, ripetiamolo ancora una volta, da numeri complessi.

L’altro trucco, essenzialmente dovuto a Kennelly, fu quello di riuscire a trasformare le caratteristiche dinamiche dei bipoli dotati di memoria (in particolare, induttore e condensatore ideale), in caratteristiche statiche che collegano fra loro non più le funzioni sinusoidali del tempo che rappresentano le correnti e le tensioni, bensì i fasori che le rappresentano. La ‘regola’ in base alla quale questa fondamentale trasformazione viene realizzata è molto semplice, e può essere enunciata nel modo seguente: la caratteristica di ciascuno dei tre bipoli fondamentali, resistore, induttore e condensatore ideale, va scritta fra i fasori rappresentativi della tensione e della corrente di ciascun bipolo, ed è sempre della forma

V = ± Z I , (7.42)

nella quale va il segno ‘+’ se si è fatta per il bipolo la convenzione dell’utilizzatore, il segno ‘-’ in caso contrario, e inoltre V e I sono i fasori rappresentativi rispettivamente della tensione e della corrente ai morsetti del bipolo. Infine, Z è un numero complesso che è diverso per i tre bipoli fondamentali:

• per il resistore

Z = R , (7.43)

in cui R è la stessa resistenza del resistore considerato in regime stazionario;

• per l’induttore ideale

Z = j ω L , (7.44)

in cui ω è la pulsazione comune a tutte le grandezze fondamentali del regime sinusoidale considerato, L è l’induttanza che figura nella caratteristica dinamica dell’induttore (6.3), e ‘j’ è l’unità immaginaria; se ne conclude che, in questo caso, Z è un numero immaginario;

• per il condensatore ideale Z = - j

ω C , (7.45)

in cui ω è la pulsazione comune a tutte le grandezze fondamentali del regime sinusoidale considerato, C è la capacità che figura nella caratteristica dinamica del condensatore (6.5), e ‘j’ è l’unità immaginaria; anche in questo caso, Z è un numero immaginario.

Il numero Z prende il nome di impedenza del bipolo corrispondente, e ha le dimensioni di una resistenza, cioè ohm. Vale la pena osservare esplicitamente due cose:

• l’impedenza Z è indicata con la lettera zeta maiuscola sormontata da un pallino piuttosto che da un trattino per sottolineare il fatto che essa è un numero (reale o immaginario) che non rappresenta alcuna grandezza fondamentale della rete;

• il numero Z è rappresentato in forma algebrica, e non polare.

Aggiungiamo, infine, che la resistenza R è indipendente dalla pulsazione ω del regime sinusoidale considerato. Invece, la quantità reale

X_L = ω L , (7.46)

che è strettamente positiva (perché sia ω che L lo sono) prende il nome di reattanza induttiva, cresce per una data L, al crescere della pulsazione ω, come mostrato in Figura 7.11 (con L = tan α).

α

0 ω

X_L = ω L

Figura 7.11: la reattanza induttiva cresce linearmente con la pulsazione.

Si vede, così, che, mentre il comportamento di un resistore non risente della pulsazione ω del regime sinusoidale considerato, la reattanza induttiva di un induttore ideale ne risente, invece, in maniera significativa, crescendo linearmente con ω, e diventando tanto più grande, approssimando, cioè, il comportamento di un circuito aperto, quanto più elevato è il valore della frequenza. Questo è il motivo per cui, in regime stazionario, e cioè quando la frequenza tende a

diventare nulla, la reattanza induttiva dell’induttore tende a diventare nulla, e, corrispondentemente, l’induttore tende a comportarsi come un corto circuito.

D’altra parte, la quantità reale X_C = 1

ω C , (7.47)

che è, come la reattanza induttiva, strettamente positiva (perché sia ω che C lo sono), diminuisce, invece, per una data C, al crescere della pulsazione ω, come mostrato in Figura 7.12.

0 ω

X_C = 1 ω C

Figura 7.12: la reattanza capacitiva decresce con la pulsazione.

Si vede così che anche il comportamento del condensatore ideale risente fortemente della pulsazione del regime considerato: ne risente, però, in modo inverso rispetto all’induttore. Infatti, esso tende a comportarsi come un circuito aperto quando la pulsazione ω tende a zero (poiché XC tende a diventare sempre più grande, come una resistenza progressivamente crescente), mentre tende a comportarsi come un corto circuito quando la pulsazione ω cresce indefinitamente (poiché X_C diminuisce progressivamente, come una resistenza che diventa sempre più piccola).

La tabella che segue riassume il comportamento dei due bipoli a memoria, induttore e condensatore, alle basse e alte pulsazioni (o frequenze).

Induttore ideale Condensatore ideale Basse frequenze Corto circuito Circuito aperto

Alte frequenze Circuito aperto Corto circuito

Per completare la nostra analisi, non ci resta che esaminare separatamente come i tre bipoli fondamentali, resistore, induttore e condensatore, si comportino quando funzionano in corrente alternata. Ciò vuol dire che, se immaginiamo che su

ciascun bipolo venga fatta la convenzione dell’utilizzatore, vogliamo studiare l’andamento temporale quando siano alimentati, ad esempio, da una corrente sinusoidale del tipo

i(t) = I₀ 2 sen(ωt) ,

che può essere rappresentata, secondo la (7.41), dal numero complesso a fase nulla I = I₀ .

• Per il resistore, risulta V = R I = R I₀ ,

e i due fasori, quello che rappresenta la tensione e quello della corrente, hanno entrambi fase nulla, e sono due vettori paralleli diretti nella stessa direzione (quella dell’asse reale positivo), come suggerisce la Figura 7.13.

+ −

I R

V 0

I V

ℜ ℑ

V = R I

Figura 7.13: fasori che rappresentano tensione e corrente ai capi di un resistore.

Rappresentando la tensione nella forma di sinusoide, la precedente relazione diventa:

v(t) = R I₀ 2 sen(ωt) .

L’andamento temporale della tensione e corrente è rappresentato, in un caso particolare, in Figura 7.14. Si noti, innanzitutto, che in ascisse non abbiamo riportato il tempo t, ma la grandezza adimensionale ωt, ad esso proporzionale: è questa una comoda rappresentazione alla quale spesso ricorreremo nel seguito. In questo modo abbiamo evitato di specificare quanto valga la pulsazione di lavoro ω.

Osservate, poi, come le due sinusoidi assumano i valori massimo e minimo, o

intersechino l’asse dei tempi, proprio negli stessi istanti: è questo il significato dell’espressione in fase, che abbiamo in precedenza introdotto. Le due sinusoidi evolvono nel tempo (qualche volta si dice pure oscillano, ricordando il pendolo) in maniera sincrona. Tuttavia dovete convenire con noi nel dire che è più semplice accorgersi che due fasori siano in fase dal diagramma di Figura 7.13, piuttosto che riconoscerlo dall’andamento temporale delle corrispondenti sinusoidi di Figura 7.14.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Corrente Tensione

ωt I₀ = 1

2 A R = 1

2 Ω

Figura 7.14: tensione e della corrente ai capi di un resistore.

• Per l’induttore, risulta (Figura 7.15) V = j ω L I = j XL I₀ ,

e, assumendo che il fasore della corrente sia diretto come l’asse reale positivo, il fasore che rappresenta la tensione punta nella direzione dell’asse immaginario positivo.

I due fasori formano un angolo mutuo di 90° e sono, pertanto, in quadratura. Più precisamente, usando, come abbiamo già fatto per la misura degli angoli, quale verso di riferimento quello antiorario, cioè il verso di rotazione opposto a quello delle lancette dell’orologio, diciamo pure che la tensione è in anticipo di 90°

rispetto alla corrente (o, se preferite, che la corrente è in ritardo di 90° rispetto

alla tensione). Rappresentando la tensione nella forma di sinusoide, e considerando che j = 1 ∠π/2, che la precedente relazione diventa:

v(t) = ω L I0 2 sen ωt + π 2 .

0

I V

ℜ ℑ

+ −

I

V X_L = ωL V = j X_L I

Figura 7.15: fasori che rappresentano tensione e corrente ai capi di un induttore.

L’andamento temporale della tensione e corrente è rappresentato, in un caso particolare, in Figura 7.16.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Corrente Tensione

ωt I₀ = 1

2 A ωL = 1

2 Ω

Figura 7.16: tensione e della corrente ai capi di un induttore.

Notate come la tensione assuma il suo valore massimo all’istante zero, mentre la corrente raggiunge il massimo solo qualche tempo dopo (nel grafico per ωt = π/2 = 1.57 ): la tensione, allora, è in anticipo rispetto alla corrente.

• Per il condensatore, risulta (Figura 7.17) V = - j

ω C I = - j X_C I₀ ,

e, assumendo, come d’abitudine, che il fasore della corrente sia diretto come l’asse reale positivo, il fasore che rappresenta la tensione punta nella direzione dell’asse immaginario negativo. I due fasori formano un angolo mutuo di 90° e sono, pertanto, in quadratura. Più precisamente, usando, come abbiamo già fatto per la misura degli angoli, quale verso di riferimento quello antiorario, diciamo pure che la tensione è in ritardo di 90° rispetto alla corrente (o, se preferite, che la corrente è in anticipo di 90° rispetto alla tensione).

0

I V

ℜ ℑ

+ −

I

V

X_C = 1/(ωC) V = - j X_C I

Figura 7.17: fasori che rappresentano tensione e corrente ai capi di un condensatore.

Rappresentando la tensione nella forma di sinusoide, e considerando che j = 1 ∠π/2, la precedente relazione diventa:

v(t) = 1

ω C I₀ 2 sen ωt - π 2 .

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Corrente Tensione

I₀ = 1 2 A ωC = 2 S

Figura 7.18: tensione e della corrente ai capi di un condensatore.

L’andamento temporale della tensione e corrente è rappresentato, in un caso particolare, in Figura 7.18. Notate come la tensione assuma il suo valore minimo all’istante zero, mentre la corrente ha già raggiunto il minimo qualche tempo prima (nel grafico per ωt = - π/2 = - 1.57 ): la tensione, allora, è in ritardo rispetto alla corrente.

Bene: a questo punto, vi attende una ... lieta sorpresa: i ‘trucchi’ sono finiti, e voi siete ormai in possesso di tutto ciò che vi serve per risolvere ‘a mano’ una rete in regime sinusoidale. Nel paragrafo seguente, vi spiegheremo come si fa, e ...

vedrete che è molto semplice.

7.4 La risoluzione di una rete in regime sinusoidale con il ‘metodo dei fasori’

Arrivati a questo punto, e cioè, una volta che abbiamo imparato come si opera con i numeri complessi, e abbiamo inoltre capito i due trucchi fondamentali escogitati da Steinmetz e Kennelly, siamo finalmente in condizioni di spiegarvi in dettaglio come si fa a risolvere ‘a mano’ una qualsiasi rete in regime sinusoidale. La cosa è in realtà molto semplice, perché si tratta, in ultima analisi, di ripercorrere passo dopo passo le stesse vie che si seguono in regime stazionario, con le sole seguenti differenze:

• ciascuna incognita della rete (tensione o corrente) è rappresentata da un numero complesso (e non da un numero reale) costante nel tempo;

• le LK vanno scritte allo stesso modo che in regime stazionario, a patto di scriverle fra i numeri complessi (e non reali) rappresentativi delle correnti e delle tensioni;

• la caratteristica di ciascuno resistore, induttore o condensatore ideale va scritta, con la convenzione dell’utilizzatore, nella forma statica

V = Z I , in cui si è posto

Z = R , per il resistore, (7.48)

Z = j ω L , per l’induttore, (7.49)

Z = - j 1

ω C , per il condensatore; (7.50)

• la caratteristica di un generatore sinusoidale di tensione è del tipo

V = E , (7.51)

essendo E un numero complesso noto, mentre la caratteristica di un generatore sinusoidale di corrente è del tipo

I = J , (7.52)

essendo J un numero complesso noto.

A parte le cose segnate in questa cornice, niente altro cambia rispetto alla risoluzione di una rete in regime stazionario. Ciò significa, in particolare, che la risoluzione della rete si riduce alla soluzione di un opportuno sistema di equazioni algebriche che hanno, come incognite, numeri complessi invece che numeri reali.

Per chiarire questo fondamentale aspetto della questione, facciamo ricorso subito a un semplice esempio.

Consideriamo la rete rappresentata in Figura 7.19, e proponiamoci di risolverla quando essa funziona in regime sinusoidale alla frequenza f = 50 Hz (cioè alla pulsazione ω = 2π ⋅ 50 rad/s), imposta dal generatore sinusoidale di tensione la cui f.e.m. vale:

e(t) = 100 2 sen ωt + π 4 .

+

− L

R

e(t)

Figura 7.19: circuito R-L funzionante in regime sinusoidale.

Per fissare le idee anche da un punto di vista numerico, assumiamo inoltre i seguenti valori per i parametri R e L: R = 10 Ω, L = 10 mH. Cominciamo, dunque, come al solito, a compiere le operazioni di rito, e cioè a battezzare tutte le grandezze fondamentali del circuito, come mostrato in Figura 7.20, in cui i nodi sono stati chiamati con 0, 1 e 2 per motivi che saranno chiariti alla fine del paragrafo.

+

−

L R

e(t)

+ −

+

− v_L(t) v_R(t)

i(t)

1 2

0

Figura 7.20: convenzioni per le tensioni e la corrente.

Applichiamo, ora, la LKC, la quale ci dice, ovviamente, che, essendo tutti i bipoli collegati in serie, esiste un’unica corrente i(t) circolante nel circuito.

Conformemente alle regole enunciate, consideriamo, come incognita, il numero complesso (costante nel tempo), che indicheremo, ad esempio, con I, al posto della funzione sinusoidale

i(t) = I 2 sen(ωt + α) ,

della quale, al momento conosciamo la sola pulsazione ω, mentre ignoriamo il valore efficace I e la fase α. Decidiamo pure di usare i radianti per misurare gli angoli per lo svolgimento di questo esempio; pertanto, controllate che anche le vostre calcolatrici misurino gli angoli in radianti, altrimenti rischiate di trovare risultati ... falsi.

Comportandoci in modo analogo per quel che riguarda le altre grandezze fondamentali del circuito, e cioè le tensioni, considereremo come incognite, in luogo delle funzioni sinusoidali

v_R(t) = V_R 2 sen(ωt + β) , vL(t) = V_L 2 sen(ωt + γ) ,

i numeri complessi (costanti nel tempo) che indicheremo rispettivamente con V_R e V_L. Indicheremo poi con E il numero complesso (anch’esso costante nel tempo) che rappresenta la funzione sinusoidale nota e(t) = 100 2 sen(ω t + π/4).

A questo punto, completato il battesimo di tutte le grandezze fondamentali del circuito, non ci resta che applicare la LKT e aggiungere le caratteristiche dei diversi bipoli che costituiscono la rete.

La LKT, applicata all’unica maglia esistente, è scritta subito nella forma:

- E + V_R + V_L = 0 . (7.53)

Con il simbolo 0 abbiamo indicato un numero complesso che ha sia la parte reale, sia quella immaginaria, nulle. La caratteristica dei diversi bipoli sono, d’altra parte:

V_R = R I , (7.54)

V_L = j ω L I , (7.55)

E = 100 ∠π/4 ≅ 70.71 + 70.71 j . (7.56)

Con ciò, come si vede, abbiamo terminato la scrittura di tutte le equazioni che governano il funzionamento della rete, e cioè le LK nonché le caratteristiche di tutti i bipoli. È bene notare ancora una volta che abbiamo fatto, quindi, le stesse cose che avremmo fatto in regime stazionario, con la sola differenza di considerare, come incognite, numeri complessi (costanti nel tempo), piuttosto che numeri reali.

Sostituendo le (7.54), (7.55) e (7.56) nella (7.53), otteniamo:

R I + j ω L I = E . (7.57) Adoperando, a primo membro, le usuali regole dell’Algebra elementare e la (7.56), possiamo scrivere (mettendo in evidenza I)

(R + j ω L) I = 100 ∠π/4 , (7.58)

e, sostituendo i valori numerici di R, L e ω, otteniamo:

(10 + j 2π ⋅ 50 ⋅ 10 ⋅ 10^-3) I = (10 + j π) I = 100 ∠π/4 . (7.59) Siamo, con ciò, arrivati a un’equazione algebrica lineare nella quale l’unica incognita presente è il numero complesso I. La soluzione di questa equazione, utilizzando ancora una volta le usuali regole dell’Algebra elementare, può essere scritta nella forma:

I = 100 ∠π/4

10 + j π , (7.60)

e cioè come rapporto tra due numeri complessi noti. Osserviamo subito, però, che, mentre il numeratore è scritto in forma polare (e cioè come fasore), il denominatore è scritto, invece, in forma algebrica. Per eseguire la divisione, allora, conviene trasformare i due numeri complessi nella stessa forma: in questo caso, conviene trasformare il denominatore in forma polare, in modo che l’incognita I, una volta calcolata, risulti espressa automaticamente anch’essa come fasore.

Ricordando la regola di trasformazione da forma algebrica a forma polare rappresentata dalla (7.36), possiamo scrivere:

mod(10 + j π) = 10² + π² ≅ 109.87 ≅ 10.48 , (7.61) e, esprimendo gli angoli in radianti,

arg(10 + j π) = arctan π

10 ≅ 0.30 . (7.62)

Riassumendo, possiamo scrivere, quindi:

10 + j π ≅ 10.48 ∠0.30 ,

e, sostituendo nella (7.60):

I ≅ 100 ∠π/4 10.48 ∠0.30 .

Ricordando, infine, che la divisione va fatta dividendo i moduli e sottraendo l’argomento del denominatore da quello del numeratore, otteniamo infine:

I ≅ 9.54 ∠0.48 ≅ 8.46 + 4.41 j . (7.63)

Abbiamo così trovato il valore (precedentemente incognito) del numero complesso I. Le (7.54) e (7.55) ci forniscono allora i valori di V_R e di V_L. Anche in questo caso, conviene prima trasformare i numeri complessi R e j ω L, scritti in forma algebrica, in forma polare per mezzo della regola (7.36):

R = 10 = 10 ∠0 , j ω L = 2π ⋅ 50 ⋅ 0.01 j = j π = π ∠π/2 .

+

−

L R

+ −

+

− V_L E

V_R

I

E

V_R V_L y ≡ ℑ

x ≡ ℜ 0

E = V_R + V_L

Figura 7.21: verifica grafica della LKT.

Otteniamo, così:

V_R = R I ≅ 10 ∠0 ⋅ 9.54 ∠0.48 = 95.4 ∠0.48 ≅ 84.62 + 44.05 j , (7.64) V_L = jωLI ≅ π ∠π/2 9.54 ∠0.48 = 29.96 ∠2.05 ≅ - 13.81 + 26.59 j . (7.65) Possiamo anche verificare i risultati trovati sostituendo nella LKT (7.53) i valori calcolati:

- E + V_R + V_L ≅ - 70.71 - 70.71 j + 84.62 + 44.05 j - 13.81 + 26.59 j = = 0.1 - 0.07 j .

La somma delle tre tensioni, come c’era da aspettarsi, non è esattamente zero a causa delle approssimazioni introdotte nel calcolo delle funzioni trigonometriche.

Noi abbiamo sviluppato i calcoli approssimando i diversi numeri con due cifre decimali dopo la virgola; se provate a ripetere gli stessi calcoli con quattro cifre decimali dopo la virgola, troverete che la LKT è verificata con maggiore accuratezza dato che troverete un numero complesso ancora più vicino allo zero.

La Figura 7.21 suggerisce la stessa verifica, appena eseguita sviluppando le operazioni sui numeri complessi, rappresentando nel piano complesso i fasori corrispondenti alle tre tensioni E, V_R e V_L.

A questo punto, la rete è completamente risolta in termini di fasori rappresentativi delle diverse grandezze fondamentali. Non ci resta che utilizzare il trucco di Steinmetz in senso inverso, per ritornare dai fasori alle funzioni sinusoidali del tempo. Ricordando, allora, che il modulo del fasore altro non è se non il valore efficace della funzione sinusoidale, e l’argomento del fasore è la fase, concludiamo subito che

i(t) = 2 mod I sen ωt + arg I = 9.54 2 sen(ωt + 0.48) , (7.66) e, analogamente, che

v_R(t) = 95.4 2 sen(ωt + 0.48) , (7.67)

v_L(t) = 29.96 2 sen(ωt + 2.05) . (7.68)

E, con ciò, la rete è completamente risolta.

Possiamo, a questo punto, verificare la validità della LKT nel dominio del tempo, cioè controllare che, istante per istante, è:

- e(t) + v_R(t) + v_L(t) = 0 .

In Figura 7.22 abbiamo riportato gli andamenti temporali di queste tre tensioni, per una durata di due periodi (ricordate che T = 20 ms). Notate che l’istante generico, nella scala temporale scelta, è misurato in millisecondi (ms).

-150 -100 -50 0 50 100 150

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30

t (ms) e(t)

v_R(t)

v_L(t)

Figura 7.22: andamento temporale delle tre tensioni e(t), v_R(t) e v_L(t).

Osservate pure che l’asse dei tempi appare tratteggiato: abbiamo, infatti, disegnato pure la funzione F(t) = - e(t) + v_R(t) + v_L(t) che dovrebbe essere esattamente nulla ma che, per le approssimazioni introdotte nel calcolo dei numeri complessi, non è rigorosamente nulla. Tuttavia, nella scala delle ordinate scelta per costruire la Figura 7.22, la funzione F(t) appare schiacciata sull’asse dei tempi. Se ci riflettete un momento, questa funzione rappresenta proprio una misura dell’errore numerico commesso: se non commettessimo alcun errore di approssimazione, questa funzione sarebbe nulla in ogni istante, cioè F(t) = 0.

Provate voi a verificare che la funzione F(t) nei quattro istanti t = - 5 ms, t = 5 ms, t = 15 ms e t = 25 ms (segnati con delle crocette in figura), vale:

F(-5) = F(15) ≅ - 0.13421 , F(5) = F(25) ≅ 0.13421 .

Prima di concludere questo paragrafo, vogliamo mostrarvi un primo esempio di sintassi Spice per una rete che funzioni in regime sinusoidale. Lo scopo è di convincervi che, dopo le istruzioni che avete imparato alla fine del regime stazionario e quelle che codificano un induttore e un condensatore, studiate nel Capitolo 6, avete bisogno veramente di poco per adoperare il simulatore anche in corrente alternata.

Pertanto, qui di seguito trovate il file di ingresso da dare a Spice per realizzare la rete di Figura 7.20. Come d’abitudine, la prima riga assegna un nome al file, mentre la seconda è un commento.

Esempio

* Primo esempio di circuito in alternata

R1 1 2 10

L1 2 0 10m

VE 1 0 AC 141.42 - 45

.AC LIN 1 50 50

.END

La terza e la quarta riga dovrebbero esservi familiari: esse codificano un resistore, tra i nodi 1 e 2, e un induttore, tra i nodi 2 e 0, di valore 10 Ω e 10 mH, rispettivamente.

La quinta linea stabilisce che tra i nodi 1 e 0 vi è un generatore sinusoidale (AC) di tensione di ampiezza 100 2 V ≅ 141.42 V e fase - 45°. Va bene per l’ampiezza, ma la fase assegnata è + 45° = π/4; da dove salta fuori il segno meno? Per comprenderlo sino in fondo, bisogna sapere che Spice assume la seguente funzione per realizzare un generatore sinusoidale:

e(t) = E_M cos(2πf t + α) .

L’ampiezza vale E_M; Spice, però, invece di usare la funzione seno, adopera la funzione coseno. Noi siamo abituati ad usare la funzione seno. Come sono collegate le funzioni seno e coseno? È facile: nella appendice trigonometrica posta alla fine di questo capitolo, troverete la formula che risolve il nostro problema

sen x = cos x - π 2 .

In tal modo, il generatore assegnato può anche scriversi nella forma equivalente e(t) = 100 2 sen ωt + π

4 = 100 2 cos ωt + π 4 - π

2 = 100 2 cos ωt - π 4 , che, dando come di consueto un nome che inizia con V al generatore, può codificarsi per mezzo della seguente riga:

VE 1 0 AC 141.42 - 45 .

La sesta linea del pacchetto di istruzioni ‘.AC’ richiede a Spice di eseguire una analisi in regime sinusoidale del circuito per un sol valore della frequenza (1 è il terzo termine nell’istruzione in questione) pari a 50 Hz. Per esaminare compiutamente l’istruzione, scriviamola in generale:

.AC LIN NP FSTART FSTOP .

Essa informa il programma che desideriamo venga effettuata un’analisi in regime sinusoidale a partire dalla frequenza iniziale FSTART, fino a raggiungere la frequenza finale FSTOP, e questa analisi va ripetuta NP volte. Esemplifichiamo questa istruzione con un esempio:

.AC LIN 5 10 50 .

Essa richiede che l’analisi in regime sinusoidale di un certo circuito vada ripetuta 5 volte, a partire dalla frequenza di 10 Hz, fino alla frequenza di 50 Hz, e cioè per le cinque frequenze: 10 Hz, 20 Hz, 30 Hz, 40 Hz e 50 Hz.

Se vogliamo esaminare la rete per una sola frequenza (come è nel nostro caso) basterà porre NP = 1 e far coincidere la frequenza iniziale con quella finale, come abbiamo fatto noi scrivendo due volte 50 Hz.

La parolina ‘LIN’ informa Spice che vogliamo che, nel caso la rete vada esaminata per diverse frequenze, esse dovranno variare linearmente dal valore iniziale a quello finale, secondo una spaziatura costante data dalla formula:

SPAZIATURA = FSTOP - FSTART NP - 1 .

Più avanti, studiando la risonanza, discuteremo meglio questo punto.

Come per i circuiti in regime stazionario, Spice fornisce in uscita il potenziale dei due nodi 1 e 2, assumendo quale riferimento per le tensioni il nodo indicato con 0.

Le tensioni vengono riportate come numeri complessi espressi sia in forma algebrica, sia in forma polare, come vedremo tra breve.

Nel documento Circuiti elettrici in evoluzione dinamica (pagine 102-122)