Potenze in regime sinusoidale

Per parlare compiutamente delle potenze in regime sinusoidale, cominciamo a ricordare la definizione di potenza istantanea. Considerato un bipolo e fatto su esso, ad esempio, la convenzione dell’utilizzatore, chiameremo potenza istantanea il prodotto:

p(t) = v(t) i(t) . (7.78)

Ora, dato che il bipolo funziona in regime sinusoidale, la tensione e la corrente saranno rappresentate da due sinusoidi con la stessa pulsazione e sfasate di un certo angolo che, per generalità, indicheremo con ϕ. In tal modo, possiamo scrivere:

v(t) = V 2 sen(ωt + ϕ) e i(t) = I 2 sen(ωt) ,

essendo, rispettivamente, V e I, i valori efficaci della tensione e della corrente e ϕ la fase della tensione, avendo supposto la corrente a fase nulla. In termini di fasori possiamo scrivere:

V = V , ϕ , I = I , 0 .

Per rendere più concrete le idee, supponiamo che la tensione V agisca su un’impedenza Z, di modo che

Z = V

I = V , ϕ I , 0 = V

I , ϕ , (7.79)

in cui la fase ϕ coincide pure con la fase dell’impedenza. Come abbiamo già evidenziato in precedenza, può accadere che questa fase ϕ sia:

• positiva, e in tal caso la corrente è in ritardo rispetto alla tensione e il bipolo avrà un carattere ohmico-induttivo;

• negativa, e in tal caso la corrente è in anticipo rispetto alla tensione e il bipolo avrà un carattere ohmico-capacitivo;

• nulla, e in tal caso la corrente è in fase rispetto alla tensione e il bipolo avrà un carattere puramente ohmico.

Comunque sia, la potenza istantanea (7.78) vale:

p(t) = 2 V I sen(ωt + ϕ) sen(ωt) . (7.80)

Ora, se consultate l’appendice trigonometrica posta alla fine di questo capitolo, scoprirete che il prodotto di due seni può scriversi nella forma equivalente:

cos(α - β) - cos(α + β) = 2 sen α sen β . Allora, la formula (7.80) diventa:

sen(ωt + ϕ) sen(ωt) = 1

2 cos ϕ - cos(2ωt + ϕ) . (7.81) Sostituendo la (7.81) nella (7.80), otteniamo:

p(t) = V I cos ϕ - V I cos(2ωt + ϕ) . (7.82)

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0 1 2 3 4 5 6 7

ωt p(t)/(VI)

ϕ = π 3

Figura 7.31: andamento temporale della potenza istantanea.

In altri termini, la potenza istantanea, in regime sinusoidale, è la somma di un termine costante, pari al prodotto del valore efficace della tensione per il valore efficace della corrente per il coseno dell’angolo ϕ tra i due fasori, più un termine oscillante di pulsazione 2ω.

La Figura 7.31 illustra chiaramente quanto detto nel caso particolare ϕ = π/3 cos ϕ = 0.5 : in essa abbiamo rappresentato la potenza istantanea (normalizzata al fattore V I) al variare del tempo (più precisamente della variabile adimensionale ωt). Il primo termine della formula (7.82), V I cos ϕ, è rappresentato dalla linea tratteggiata (che nel disegno è una costante pari a 0.5). Il secondo è una funzione sinusoidale, di pulsazione 2ω, che, come potete rendervene conto osservando con attenzione la Figura 7.31, oscilla un po’ al di sopra, un po’ al di sotto della costante 0.5: più precisamente, in un periodo

T = 2π ω ,

esso compie due oscillazioni complete, essendo il suo periodo pari a T ^* = 2π

2ω = π ω = T

2 .

Questo termine oscillante ha valor medio nullo. Per comprendere fino in fondo il significato di questa affermazione, sempre nel caso particolare ϕ = π/3, facciamo un grafico della sola parte oscillante.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0 1 2 3 4 5 6 7

−

ωt

+

ϕ = π 3 cos(2ωt + ϕ)

Figura 7.32: andamento temporale del solo termine oscillante.

In un periodo T, esso compie due oscillazioni complete, e le semionde negative sono uguali a quelle positive: l’area netta sottesa da un’onda completa è, dunque, nulla:

cos(2ωt + ϕ)

0 T

dt = 0 . (7.83)

Detta a(t) una qualsiasi grandezza periodica (di periodo T), si definisce valor medio il seguente integrale:

valor medio = 1

T a(t)

0 T

dt . (7.84)

Il valor medio di una grandezza sinusoidale (che noi abbiamo chiamato alternata) è pari a zero poiché, in un periodo, le semionde positive descrivono un’area uguale ed opposta a quella delle semionde negative.

Allora, la potenza media, detta anche potenza attiva, indicata con P, sarà:

P = 1

T p(t)

0 T

dt = V I

T cos ϕ - cos(2ωt + ϕ)

0 T

dt = V I cos ϕ . (7.85)

La (7.85) è conosciuta in letteratura come formula di Ferraris. Notate che il secondo termine nell’integrale (7.85), essendo a valor medio nullo, non contribuisce all’integrale per quanto detto in precedenza. La potenza attiva è sempre positiva dato tale è il coseno, nell’intervallo - π/2 ≤ ϕ ≤ π/2.

Il fattore cos ϕ viene detto fattore di potenza.

In effetti, il valore della potenza media (P) consente di calcolare agevolmente la quantità di energia (E), assorbita in un intervallo di tempo pari proprio al periodo T, come il prodotto della potenza media per l’intervallo stesso: E = P T.

Come è lecito attendersi, la potenza attiva si misura in watt, o nei suoi multipli e sottomultipli. Ci aspettiamo, pure, che per la potenza media valga, così come per l’energia, un teorema di conservazione: la potenza attiva fornita dai generatori deve essere eguale a quella utilizzata dagli utilizzatori.

Torna utile introdurre anche la cosiddetta potenza reattiva, indicata con Q, e definita dalla relazione:

Q = V I sen ϕ . (7.86)

Per la misura della potenze reattiva si usa una nuova unità: il volt-ampere-reattivo (simbolo VAr). In realtà, nella introduzione di questa nuova unità di misura per la potenza reattiva, non vi è nulla di magico: si tratta soltanto di un nuovo nome, adoperato per distinguere le potenze attive da quelle reattive. Badate bene, però, che, a differenza di quella attiva, la potenza reattiva può essere sia positiva che negativa poiché il seno, nell’intervallo - π/2 ≤ ϕ ≤ π/2, cambia segno.

Anche la potenza reattiva si conserva. Pertanto, la potenza reattiva erogata dai generatori presenti nella rete è uguale a quella assorbita dalle diverse impedenze che costituiscono il circuito. Il fatto che la potenza reattiva sia una grandezza che

si conservi può essere di grande utilità nella risoluzione delle reti. Si consideri, per esempio, il caso di due carichi in parallelo di cui siano note le potenze attive e reattive assorbite da ognuno di essi; si può affermare che il complesso dei due carichi è equivalente ad un unico carico che assorbe una potenza attiva e reattiva che sono la somma algebrica (la potenza reattiva può essere negativa!) delle rispettive potenze dei singoli carichi.

Come vedremo meglio quando studieremo i campi elettrici e magnetici, una potenza reattiva non nulla in una rete è indubbiamente indice della presenza di energie immagazzinate associate al campo elettrico o al campo magnetico.

In un resistore, la potenza reattiva assorbita è evidentemente nulla, mentre diversa da zero è la potenza attiva che è pari a VI, dato che cos ϕ = 1.

Per l’induttore ed il condensatore, invece, la potenza attiva assorbita è nulla, essendo cos ϕ = 0; le potenze, invece, reattive valgono rispettivamente VI e - VI.

La Tabella che segue riassume, per un resistore, induttore e condensatore, i valori di potenza attiva e reattiva.

Bipolo ϕ Potenza attiva P [W] Potenza reattiva Q [VAr]

Resistore 0 V I 0

Induttore π/2 0 V I

Condensatore - π/2 0 - V I

Per valutare simultaneamente la potenza attiva e reattiva relative a un bipolo, è utile introdurre una potenza complessa, che noi indicheremo con P, definita in maniera tale che la sua parte reale coincida con la potenza attiva, mentre la sua parte immaginaria sia proprio pari alla potenza reattiva, cioè

P = P + j Q . (7.87)

Sostituendo nella (7.87) le definizioni di P e Q, essa diventa:

P = P + j Q = V I cos ϕ + j sen ϕ = V I , ϕ . (7.88) Sostituendo la (7.79) nella (7.88) e ricordando la definizione di numero complesso coniugato, otteniamo una nuova semplice rappresentazione della potenza complessa:

V I ^* = V , ϕ I , 0 = V I , ϕ = A = P + j Q , (7.89) in cui abbiamo indicato con ϕ la fase della tensione ed abbiamo supposto la corrente a fase nulla come abbiamo fatto sin dall’inizio di questo paragrafo (ma la formula ottenuta è generale). Da questa ultima formula, poi, se ne può ricavare immediatamente un’altra assai comoda. Se ricordiamo che V = Z I per una generica impedenza Z e consideriamo che il prodotto tra un numero complesso e il suo coniugato è pari al modulo al quadrato del numero stesso, la (7.89) diventa

P = V I ^* = Z I I ^* = Z I² , (7.90a)

cioè la potenza complessa è pari al prodotto del numero reale I², per la quantità complessa Z. In maniera simile possiamo scrivere che

P = V I ^* = V V Z

*

= V V ^* Z ^*

= V² Z ^*

. (7.90b)

Separando la parte reale da quella immaginaria nella (7.90a) e supponendo che Z = R ± j X, otteniamo due ‘comode’ formule per la potenza attiva e per quella reattiva assorbite da un bipolo:

P = R I² e Q = ± X I² .

Dato che, come sottolineato in precedenza, sia la potenza attiva, sia quella reattiva si conservano, allora anche la potenza complessa si conserva: le potenze complesse erogate dai generatori sono, pertanto, pari a quelle assorbite dai carichi.

Le formule (7.90) mostrano che, anche nel calcolo delle potenze, tra corrente continua e corrente alternata esiste uno stretto legame. E sarà proprio questo legame a fornirci una maniera per interpretare in termini fisici il valore efficace di una grandezza sinusoidale. Consideriamo un resistore R che, in corrente continua, sia attraversato da una corrente di valore I. Come sappiamo, la potenza P = R I² assorbita dal resistore si trasforma in calore per effetto Joule. Se, invece, lo stesso resistore funziona in regime sinusoidale, valendo formalmente la stessa relazione in cui, però, I rappresenta il valore efficace, possiamo concludere che il valore efficace rappresenta il valore che ha una corrente continua che, circolando nello stesso resistore, genera, per effetto Joule, la stessa quantità di calore.

Infine, è abitudine diffusa indicare il prodotto VI col nome di potenza apparente, A, che si misura in volt-ampere. Si noti che tra le tre potenze, attiva P, reattiva Q ed apparente A, sussiste la relazione:

|P| = P² + Q² .

Tale relazione può utilmente essere rappresentata graficamente nel cosiddetto triangolo delle potenze, che mostra l’interessante relazione, che più volte adopereremo nel seguito:

Q = V I sen ϕ = V I cos ϕ sen ϕ

cos ϕ = P tg ϕ . (7.91)

P ϕ Q

|P| = P² + Q²

Figura 7.33: triangolo delle potenze.

Si badi bene che, in generale le potenze apparenti non si conservano.

Esempio 9 - La rete mostrata in figura opera in regime sinusoidale. Risolvere la rete e determinare le potenze attive, reattive e apparenti assorbite dai singoli bipoli e quelle erogate dal generatore. Infine si verifichino i teoremi di conservazione.

+

− e(t) R

i(t) C

j(t) +

− v₀(t) i_G(t)

1 2

0

Assumiamo che e(t) = E 2 sen(ωt), j(t) = - I 2 cos(ωt), E = 10 V, I = 2 mA, ω = 200 rad/s, R = 5 kΩ, C = 1 µF.

Cominciamo a calcolare la reattanza X_C = 1

ω C = 1

200 10^-6 = 5 kΩ ,

e a introdurre i fasori che rappresentano i due generatori e(t) = E 2 sen(ωt) → E = E ;

j(t) = - I 2 cos(ωt) = I 2 sen(ωt - π/2) → J = I, - π/2 = - j I .

Le LK applicate, rispettivamente al nodo 2 e alla maglia formata dal generatore di tensione, dal condensatore e dal resistore, sono sufficienti a risolvere la rete:

I - J - I_G = 0 nodo 2 ,

- E - j X_C I_G + R I = 0 maglia E - X_C - R .

Risolvendo questo sistema di due equazioni complesso, otteniamo immediatamente:

I = E - j X_C J

R - j X_C = 0 , I_G = E - R J

R - j X_C = 0.002 j .

Pertanto, le potenze complesse erogate dai due generatori valgono:

P_E = E I_G ^* = - 0.02 j , P_J = V₀ J ^* = 0 .

Invece le potenze assorbite dal condensatore e dal resistore valgono:

P_C = - j X_C I_G² = - 0.02 j , P_R = R I² = 0 .

Ora, si verifica facilmente la conservazione delle potenze complesse P_E + P_J = P_C + P_R ,

che, come detto in precedenza, comporta la conservazione delle potenze attive e reattive.

Continuate da soli a lavorare sull’idea della conservazione delle potenze in regime sinusoidale adoperando il file Spice, qui di seguito riportato. Notate che per i valori massimi della tensione e della corrente dei due generatori e per la frequenza di lavoro sono state introdotte i seguenti valori approssimati:

E 2 ≅ 14.142 V , I 2 ≅ 2.8284 mA , f = ω

2π ≅ 31.83 Hz .

Cambiate i valori di resistenza e capacità, risolvete ‘a mano’ l’esercizio, controllate i risultati con il codice riportato (opportunamente adattato ai nuovi dati), e, infine, verificate che le potenze complesse si conservano.

L’istruzione

.PRINT AC VM(1) VM(2)

richiede la stampa nel file di uscita dei moduli delle sue tensioni V₁ e V₂ (sempre riferite al potenziale di riferimento).

Esempio 9

*Conservazione delle potenze

C0 1 2 1u

R0 2 0 5k

VE 1 0 AC 14.142 -90

IJ 0 2 AC 2.8284m 180

.AC LIN 1 31.83 31.83

.PRINT AC VM(1) VM(2)

.END

Controllate con cura i risultati ottenuti nel file di uscita; il modulo VM(2) non è rigorosamente nullo, a causa dei dati approssimati che abbiamo immesso, ma quasi!

Ancora due relazioni che ci torneranno più volte utili nel seguito.

Consideriamo un condensatore. Come sappiamo, esso assorbe una potenza reattiva pari a

Q_C = - V²

X_C = - ω C V² .

Ora, la quantità C V² rappresenta il valore massimo dell’energia elettrica immagazzinata dal condensatore. Nel Capitolo 6, infatti, abbiamo visto che l’energia immagazzinata in un condensatore vale (α è la fase, peraltro generica, della tensione):

U_C(t) = 1

2 C v²(t) = 1

2 C 2 V² sen²(ωt + α) .

Come per la funzione seno, anche la funzione seno al quadrato assume un valore massimo che è pari ad uno. Allora, il valore massimo di energia è dato da

U_C-max = C V² , ed allora

Q_C = - V²

X_C = - ω C V² = - ω UC-max .

Quest’ultima relazione mostra che la potenza reattiva assorbita da un condensatore è proporzionale al massimo valore di energia immagazzinata.

In maniera simile, per un induttore, si potrà scrivere:

Q_L = ω L I² = ω UL-max ,

e la potenza reattiva assorbita da un induttore è proporzionale massimo valore di energia immagazzinata.

Vale la pena notare, a conclusione di questo lungo paragrafo, che la misura della potenza attiva P può essere realizzata per mezzo di un wattmetro. Nel primo capitolo abbiamo mostrato come questo strumento a quattro morsetti si inserisca su un carico per misurarne la potenza. Per la verità, in quella sede, dicemmo che il wattmetro misurava la potenza istantanea; questa affermazione non è del tutto corretta dato che, per motivi che saranno chiariti più compiutamente quando studieremo le misure, il dispositivo non riesce a seguire le variazioni istantanee della p(t) e, pertanto, la misura si attesta sul suo valore medio, cioè la potenza media.

+ + W +

− V

I I = 5 A

P = R I² = 1 ⋅ 5² = 25 W Z = 1 + 2 j

Figura 7.34: inserzione di un wattmetro in corrente alternata.

Per questa ragione, un wattmetro completa le informazioni che ci servivano per descrivere il comportamento di una assegnata impedenza in corrente alternata, consentendoci di sapere quanto valga la fase ϕ.

La Figura 7.34 mostra un esempio di inserzione e la susseguente indicazione del wattmetro. Vi ricordiamo solo che i due morsetti amperometrici andavano collegati in serie al carico di cui si vuole misurare la potenza attiva, mentre i due voltmetrici andavano messi in parallelo.

Nel documento Circuiti elettrici in evoluzione dinamica (pagine 139-150)