C) La funzione che descrive la caratteristica statica non esiste, e non può quindi essere rappresentata da alcun grafico
6.10 Risposta al gradino del circuito RLC e altri esempi
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01
Tensione Corrente
t
Figura 6.27: tensione e corrente nel circuito RL.
e(t) = E u(t) = E , per t > 0 , 0 , per t < 0 .
(6.25)
Dato che la rete è a riposo per t < 0, possiamo assumere che sia la corrente dell’induttore i(t), sia la tensione sul condensatore vC(t) siano nulle, e, quindi, le due condizioni iniziali sono:
i(0) = 0 , vC(t) = 0 .
Scriviamo l’equazione differenziale che regola, ad esempio, la tensione ai capi del condensatore (discorso analogo potrebbe farsi per la corrente nell’induttore).
Applicando la LKT alla maglia, per t > 0, risulta:
- E + vR(t) + vL(t) + vC(t) = 0 . (6.26)
Notate che, invece della funzione e(t) definita dalla (6.25), abbiamo messo già il valore che questa tensione assume dopo la commutazione, cioè E. Inoltre, essendo la corrente legata alla tensione sul condensatore dalla relazione
i(t) = C d
dt vC(t) ,
utilizzando le caratteristiche dei diversi bipoli, possiamo scrivere:
vR(t) = R i(t) = RC d
dt vC(t) , vL(t) = L d
dt i(t) = LC d2 dt2
vC(t) , (6.27)
in cui il simbolo ‘d2/dt2’ indica la derivata seconda, cioè la derivata della derivata della funzione. Sostituendo le (6.27) nella (6.26), è
LC d2 dt2
vC(t) + RC d
dt vC(t) + vC(t) = E ,
che si può anche scrivere nella forma semplificata d2
dt2
vC(t) + R L d
dt vC(t) + vC(t) LC = E
LC . (6.28)
La soluzione della (6.28) richiede la conoscenza delle equazioni differenziali lineari. Noi ci accontenteremo della risposta che Spice ci fornisce, mostrando che, a seconda dei valori che assumono i diversi parametri del circuito, la soluzione può essere più o meno oscillante. Esaminiamo questo ultimo punto ricorrendo all’esempio:
R = 4 Ω , L = 1 mH , C = 1 mF , E = 2 V . Esempio 5
*Circuito RLC
R0 1 2 4
L0 2 3 1m IC=0
C0 3 0 1m IC=0
VE 1 0 2
.TRAN 0.01m 20m UIC
.PROBE .END
Il risultato della simulazione è riportato in Figura 6.29. Notate subito due cose: la scala dei tempi è in millisecondi e la tensione, dolcemente, si avvicina, al crescere del tempo, al valore di regime di 2 V.
0 0.5 1 1.5 2
0 5 10 15 20
vC(t)
t (ms) R ≥ 2 L
C
Figura 6.29: andamento temporale della tensione sul condensatore.
Come abbiamo indicato nella stessa figura, questo è un comportamento tipico ogni qual volta si verifica la disuguaglianza
R ≥ 2 L C .
Come poi questo fatto si giustifichi esula dalla trattazione elementare dei transitori che stiamo facendo. Ciò che a noi interessa è che riteniate che per certi valori dei parametri della rete l’andamento della tensione può essere non oscillante.
Se invece scegliamo i valori
R = 1 Ω , L = 1 mH , C = 1 mF , E = 2 V ,
in cui abbiamo abbassato il valore della resistenza da 4 Ω a 1 Ω, lasciando inalterati gli altri parametri, l’andamento della tensione può diventare oscillante, come mostrato in Figura 6.30. Come suggerito da questa figura, l’andamento della tensione può essere descritto da una funzione che, mentre oscilla attorno al valore di 2 V, si smorza ‘su esso’ sempre più al crescere del tempo.
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0 5 10 15 20
t (ms) R < 2 L
C vC(t)
Figura 6.30: andamento temporale oscillante della tensione sul condensatore.
Notate pure come, nell’intervallo 0 ÷ 5 ms, la tensione sul condensatore superi il valore di 2 V, valore che assumerà quando il transitorio sarà concluso: proprio queste oscillazioni che superano i valori attesi di regime creano quelle sovratensioni (o sovracorrenti) che durante il transitorio, provocato dalla chiusura o dalla apertura di un interruttore, possono danneggiare alcuni componenti del circuito: ciò mostra l’importanza dello studio delle reti in regime dinamico.
Come per il caso precedente, ci interessa riteniate che, se R < 2 L
C ,
le grandezze del circuito tendono ai valori di regime oscillando.
Prima di concludere questo paragrafo, vi riportiamo due esempi per mostrarvi come sia semplice trattare con Spice generatori che impongono tensioni descritte da funzioni più complicate e come si simuli un circuito in cui sia presente un doppio bipolo accoppiamento mutuo. Se siete interessati ad altri tipi di tensione oppure a particolari bipoli o doppi bipoli, è il caso che consultiate dei manuali più specialistici di Spice.
Consideriamo il circuito schizzato in Figura 6.31. Si tratta di un circuito R - C forzato con una tensione a forma di ‘onda quadra’, un tipo di generatore molto diffuso nella pratica tecnica e che, spesso, incontrerete nei vostri studi. Per t < 0, la tensione è nulla; per t > 0, la tensione è rappresentata da una funzione che si ripete periodicamente assumendo il valore ‘E’ nell’intervallo 0 < t < T, il valore
‘0’ nell’intervallo T < t < 2T, poi di nuovo ‘E’ nell’intervallo 2T < t < 3T, e così via fino all’infinito.
+
−
R
e(t)
+ −
+
− i(t)
1 2
0
C vC(t)
0 t E
e(t)
T 2T 3T
Figura 6.31: circuito RC con forzamento a onda quadra.
Il listato che di qui a poco commenteremo mostra come il circuito si possa simulare per mezzo di Spice, nel caso in cui il periodo di ripetizione dell’onda quadra è cinque volte più grande della costante di tempo del circuito, cioè T = 10 ms > RC = 2 ms, avendo scelto R = 2 kΩ e C = 1 µF.
La tensione sul condensatore, come mostrato in Figura 6.32, nel primo periodo si carica, tendendo al valore E = 2.5 V che praticamente raggiunge; nel secondo periodo si scarica ritornando a zero. Questa operazione di carica e scarica si ripete ogni volta che la tensione del generatore commuta alla tensione ‘E’ e da questa a
‘0’.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
vC(t)
t
Figura 6.32: carica e scarica periodica in un circuito RC.
Esempio 6
*Circuito RC con forzamento a onda quadra
R0 1 2 2k
C0 2 0 1u
VE 1 0 PULSE(0 2.5 0 1n 1n 10m 20m)
.TRAN 0.1m 100m
.PROBE .END
L’istruzione nuova è quella che introduce il generatore di tensione
VE 1 0 PULSE(0 2.5 0 1n 1n 10m 20m)
in cui, tenendo sottocchio la Figura 6.33, il primo valore dopo la parola chiave
‘PULSE’ è 0 e rappresenta il valore iniziale ‘V1’, 2.5 quello di picco ‘V2’, il terzo valore impone che ‘TD = 0’; il terzo e quarto campo scelgono, rispettivamente, i valori di ‘TR = 1n’, il tempo di salita, e di ‘TF = 1n’, il tempo di discesa. Infine,
‘PW = 10m’ rappresenta il tempo in cui la tensione si mantiene costante al valore V2, e ‘T = 40m’ è il periodo totale.
t e(t)
0 T
PW
TR TF
TD V1
V2
Figura 6.33: impulso periodico.
Notate (Figura 6.32) che mettendo 1n per il tempo di salita e 1n per quello di discesa praticamente abbiamo un’onda quadra ‘perfetta’.
Nel caso riportato in Figura 6.34, per il quale T = 0.4 ms < RC = 2 ms, in ciascun periodo la tensione sul condensatore non ‘ha il tempo’ per caricarsi o scaricarsi e, pertanto, abbozza solo un debole salita verso ‘E’ oppure una incerta discesa verso
‘0’. Il risultato è che l’andamento temporale risulta completamente diverso da quello mostrato in precedenza e, dopo un certo tempo, la tensione sembra
‘oscillare’, in maniera più o meno lineare, tra due valori intermedi compresi tra
‘0’ e ‘E’.
Esempio 7
*Circuito RC con generatore a onda quadra
R0 1 2 2k
C0 2 0 1u
VE 1 0 PULSE(0 2.5 0 1n 1n 0.4m 0.8m)
.TRAN 0.01m 10m
.PROBE .END
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01
t vC(t)
Figura 6.34: carica e scarica periodica in un circuito RC.
Non possiamo qui riportare tutti i tipi di forme d’onda che Spice consente di trattare. Tuttavia, se avete ben compreso i semplici esempi riportati, avete tutti gli elementi per risolvere qualsiasi transitorio vi si presenterà nella pratica professionale.
L’ultimo esempio che vogliamo discutere è il transitorio legato alla chiusura di un interruttore su doppio bipolo accoppiamento mutuo. Per i diversi parametri scegliamo i seguenti valori:
E = 6 V , L1 = 3 mH , L2 = 0.2 H , M = 20 mH , R1 = 1 Ω , R2 = 200 Ω .
+
−
L1 L2
M
v1(t) v2(t)
i2(t) i1(t)
+
− t = 0
+
− E
1 2
0
R1
R2
3
Figura 6.35: transitorio con un doppio bipolo accoppiamento mutuo (M > 0).
Notate subito che, per ragioni legate al simulatore Spice, abbiamo collegato tra loro i due bipoli scegliendo il nodo ‘3’ comune alle due maglie, quella di ingresso e quella di uscita.
Calcoliamo per prima cosa il coefficiente di accoppiamento k = M
L1 L2
= 0.816496581 .
Esempio 8
*Circuito con un mutuo induttore (M > 0)
VE 1 0 DC 6
L1 1 3 3m IC=0
L2 2 3 0.2 IC=0
KC L1 L2 0.8165
R1 3 0 1
R2 2 3 200
.TRAN 0.01m 20m UIC
.PROBE .END
Notate che, se non altrimenti specificato, gli elementi a memoria vengono supposti scarichi in Spice e, pertanto, non è nemmeno necessario usare ‘UIC’ nel comando
‘.TRAN’.
L’andamento della corrente di uscita i2(t) è riportato in Figura 6.36. Si tratta, in ultima analisi, di un processo di carica, diverso però da quelli esaminati. La scala dei tempi è in millisecondi.
Un’ultima considerazione che ci aiuti a simulare il caso in cui il fattore di accoppiamento è negativo.
-0,15 -0,1 -0,05 0
0 5 10 15 20
i2(t)
t (ms)
Figura 6.36: andamento temporale della corrente i2(t).
Consideriamo il circuito mostrato in Figura 6.37 che è del tutto equivalente a quello appena esaminato tranne che per la posizione dei ‘pallini’ che, come certamente ricorderete, impongono una mutua induttanza negativa. Usiamo, allora, i seguenti dati per la simulazione:
E = 6 V , L1 = 3 mH , L2 = 0.2 H , M = - 20 mH , R1 = 1 Ω , R2 = 200 Ω .
+
−
L1 L2
M
v1(t) v2(t)
i2(t) i1(t)
+
− t = 0
+
− E
1 2
0
R1
R2
3
Figura 6.37: transitorio con un doppio bipolo accoppiamento mutuo (M < 0).
Il risultato è qualitativamente simile a quello illustrato in Figura 6.36 con la sola differenza che, questa volta, la corrente cambia segno. Provate voi a verificare
questo risultato usando il listato Spice che cambia come di seguito riportato, in cui la sola differenza è rappresentata dalla riga
KC L1 L2 -0.8165
in cui si cambia segno al coefficiente di accoppiamento.
Esempio 9
*Circuito con un mutuo induttore (M < 0)
VE 1 0 DC 6
L1 1 3 3m IC=0
L2 2 3 0.2 IC=0
KC L1 L2 -0.8165
R1 3 0 1
R2 2 3 200
.TRAN 0.01m 20m UIC
.PROBE .END
Quanto detto può bastare sui transitori: è tempo, ora, di passare all’esame del regime sinusoidale.
Appendice: transitori in circuiti con generatori controllati
Consideriamo la rete mostrata in Figura A.1: un condensatore carico alla tensione v(0) = v0, si scarica su due resistori posti in parallelo R1 e R2 in presenza di un generatore di tensione controllato in corrente.
C
i(t) v(t)
t = 0
R1 R2
i1(t) i2(t) α i1(t)
+ −
1
0 2 +
−
Figura A.1: transitorio in un circuito con generatore controllato.
Nella rete assegnata è presente, dunque, un generatore di tensione controllato in corrente (α ha le dimensioni di una resistenza) e il condensatore è stato caricato (non ci interessa come) ad una valore di tensione non nulla.
Se provate a formulare il problema delle determinazione della tensione v(t), troverete che essa soddisfa l’equazione differenziale
d
dt v(t) + v(t)
τ = 0 ,
in cui abbiamo introdotto la costante di tempo τ = CR2 R1 - α
R1 + R2 .
Basta una rapida occhiata a questa costante di tempo per convincersi che essa è positiva per R1 > α, ed è negativa per R1 < α. Il fatto che la costante di tempo possa diventare negativa comporta, come vedremo in dettaglio tra un momento, che la corrente in esame, al trascorrere del tempo, aumenti. Tutti i transitori finora sviluppati ci hanno abituato a dinamiche convergenti (o a zero, o a un certo valore) e dinamiche ‘esplosive’ ci spaventano un poco. La realtà è che nessun circuito può produrre indefinitamente tali dinamiche dato che, prima o poi, interverranno dei fenomeni di saturazione, tipici di ciascun componente: quando le
tensioni e le correnti diventano troppo elevate, il funzionamento dei componenti non è più lineare e diventano importanti effetti non lineari che arrestano la crescita esponenziale.
La soluzione del problema differenziale (la cui dimostrazione esula dagli scopi della nostra trattazione) vale
v(t) = v0 e-t/τ per t ≥ 0 .
e rappresenta una funzione esponenziale smorzata se τ è positivo, un esponenziale
‘che esplode’ per valori negativi di τ. In altri termini se R1 > α, allora τ > 0 e la dinamica è del tipo smorzato;
se R1 < α, allora τ < 0 e la dinamica è del tipo esplodente.
Più che delle formule ci preme mostrarvi la Figura A.2 in cui alcune dinamiche della tensione v(t) per valori, positivi e negativi, della costante di tempo vengono presentate.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
t τ = - 2
τ = 1 τ = 0.2 τ = 0.1
v(t) v0
Figura A.2: dinamiche in un circuito con generatore controllato.
Osservate dalla Figura A.2 come, per t < 0, la tensione si mantenga costante al valore v0 e che, non appena l’interruttore collega il condensatore al resto del
circuito, comincia il transitorio che o fa evolvere rapidamente la tensione verso valori molto elevati, oppure, dopo qualche costante di tempo, rende praticamente nulla la tensione.
Il fatto che la tensione possa crescere col passare del tempo non deve turbarci più di tanto: se la tensione cresce, vuol dire che nella rete deve essere presente una sorgente di energia da qualche parte. Questa sorgente è certamente il generatore controllato dato che, come certamente ricorderete, i generatori pilotati sono dispositivi attivi.
Provate a convincervi fino in fondo delle dinamiche fornitevi usando Spice per i due seguenti casi:
a) v0 = 10 V, R1 = R2 = 1 Ω, C = 4 mF, α = 0.5 Ω;
b) v0 = 10 V, R1 = R2 = 1 Ω, C = 4 mF, α = 1.5 Ω.
Per il caso a) troverete una costante di tempo positiva e pari a τ = 1 ms; per il caso b) la costante di tempo è negativa e vale τ = - 1 ms.
Cosa dobbiamo imparare dall’esempio appena discusso?
Abbiamo imparato che, essendo i generatori controllati doppi bipoli attivi, le dinamiche che si instaurano in un circuito in cui siano presenti generatori di questo tipo possono essere non convergenti col passare del tempo.