Nella trattazione della funzione di correlazione fatta sino ad ora, si è visto come le proprietà di evoluzione temporale e spaziale di C(t) siano ricon- ducibili alle caratteristiche della funzione memoria adottata nell’equazione (4.13), in cui modelli relativamente semplici possono portare a risultati anche quantitativamente soddisfacenti.
Si può a questo punto sperare di poter riprodurre le caratteristiche spet- trali delle forme di riga ottenute dagli spettri acquisiti nell’esperimento di di¤usione anelastica dei raggi X avvenuto a diversi valori di Q scambiato.
Dalla conoscenza di (4.13) si ottiene l’espressione di S(Q; !) in termini di parte reale ed immaginaria della funzione memoria [1] secondo la relazione:
S(Q; !) = 1 Re[ ~F (Q; z = i!)]
Con qualche sostituzione posso anche scrivere
S(Q; !) = S(Q) ! 2 0M0(Q; !) (!2 !2 0(Q) + !M0(Q; !))2+ (!M00(Q; !))2 (4.17)
Dall’espressione (4.17) si può ricostruire lo spettro della corrente longitu- dinale CL(Q; !), ossia la grandezza su cui si centrerà l’interesse nello studio
sperimentale della dinamica collettiva del silicio liquido; CL(Q; !) è infatti
direttamente legata alle caratteristiche della S(Q; !). Si de…niscono corrente longitudinale [2], e la sua componente di Fourier:
j(r; t) = N X i=1 ui(t) (r ri(t)) jQ(t) = N X i=1 ui(t)e iQ ri(t)
dove ui(t)è la velocità della particella i-esima. Sia j(r; t) che jQ(t)possono
inoltre essere divisi in una componente longitudinale, parallela a Q ed in una trasversa , perpendicolare a Q.
Scegliendo l’asse z parallelamente alla direzione di Q si può scrivere la funzione di auto correlazione della parte longitudinale e di quella trasversa [2] come: CL(Q; !) = Q2 N < j z Q(t)j z Q(t) > (4.18) CT(Q; !) = Q2 N < j x Q(t)jxQ(t) >
CAPITOLO 4. DINAMICA DI UN LIQUIDO SEMPLICE 65
La corrente longitudinale soddisfa anch’essa l’equazione di continuità:
:
Q(t) + iQ jQ(t) = 0
sostituendo questa in (4.18) si ottiene:
CL(Q; t) = 1 N < : Q(t) : Q(t) >= @F (Q; t) @t2 (4.19)
se si considera la parte reale della rappresentazione spettrale della re- lazione (4.19), si ottiene il legame cercato tra CL(Q; !) e S(Q; !):
CL(Q; !) =
!2
Q2S(Q; !) (4.20)
La relazione (4.20) implica che le due funzioni di correlazione, quella delle correnti e quella delle ‡uttuazioni, abbiano lo stesso contenuto di informazioni sulla dinamica del sistema.
Tuttavia appare particolarmente vantaggioso esplorare l’evoluzione dei modi longitudinali e quindi compiere un’analisi di CL(Q; !); la sua forma
matematica infatti enfatizza la parte inelastica di S(Q; !), rendendo visi- bili anche quelle strutture che, a causa dei processi di attenuazione, sono di¢ cilmente rintracciabili nello spettro di S(Q; !).
La centralità della funzione memoria, nell’espressione del fattore di strut- tura dinamico e quindi nella sua evoluzione al variare di Q e t, fa sì che proprio essa tenga conto di tutti i fenomeni di rilassamento presenti nel sistema.
Si possono quindi convenientemente separare i diversi canali di decadi- mento delle ‡uttuazioni di densità, utilizzando per ciascuno di questi una diversa funzione memoria.
La linea guida per compiere tale separazione dei diversi contributi è quella dell’idrodinamica generalizzata in cui, partendo dalle equazioni dell’idrodi- namica ordinaria e quindi dall’espressione della funzione intermedia di scat- tering Fhyd(Q; t)valida in questo caso per Q = 0 si reinterpreta Fhyd(Q; t)a
mezzo della rappresentazione di Mori, identi…cando le varie grandezze come il limite per Q ! 0 della funzione memoria.
Le equazioni dell’idrodinamica linearizzata predicono [3] un’espressione della funzione intermedia di scattering in cui vi è nel ‡uido la presenza di moti propaganti, detti acustici, associati alle ‡uttuazioni di pressione ad entropia costante, e la presenza di un modo termico di¤usivo che risulta dalle ‡uttuazioni di entropia a pressione costante secondo l’espressione:
Fhyd(Q; t) = Fhyd(Q; 0)f[
1
] exp[ Q2( k CP
)t]+1exp( Q2 t)[cos(csQt)+bQ sin(csQt)]g
(4.21) dove cs = ( xt )1=2; = CP CV ; 1 2[( 1)( k CP ) + L m]; b 1 cs [3 L m]; L 4 3 + V;
La velocità adiabatica del suono nel liquido è rappresentata da cs, CP
il calore speci…co a pressione costante, CV quello a volume costante, la
densità, L rappresenta il coe¢ ciente di viscosità longitudinale frutto della combinazione dei coe¢ cienti di viscosità di shear e di bulk, k la conducibilità termica del sistema, xt la compressibilità isoterma.
La rappresentazione della (4.21) in termini di trasformata di Laplace [1] è: Fhyd(Q; t) = Fhyd(Q; t = 0)[z + (vTQ)2 z + 2 Q2+ ( 1)(vTQ)2 z+( k CV )Q2 ] 1 (4.22)
CAPITOLO 4. DINAMICA DI UN LIQUIDO SEMPLICE 67
Figura 4.1: spettro di futtuazioni in densità nel limite idrodinamico, come predetto dala formula (4.22)
dove v2 T =
kBT
mS(Q=0) è la velocità isoterma e k
CV = DT indica il valore della
di¤usività termica.
L’espressione (4.22) è rigorosamente vera nel limite di Q ! 0; tuttavia essa è il punto di partenza per costruire una forma della funzione intermedia di scattering valida al di fuori del limite idrodinamico che può realizzarsi gra- zie ad un’estensione per valori di Q diversi da 0 di alcune grandezze coinvolte nella (4.22).
Il valore della velocità isoterma può infatti essere naturalmente general- izzato ad una dipendenza in Q secondo l’espressione
vT = kBT mS(Q) 1=2 = !0(Q) Q (4.23)
in cui S(Q = 0) è stato sostituito da S(Q); analogamente si può pensare di sostituire nella (4.22) a Fhyd(Q; t = 0) il valore di S(Q).
L’espressione (4.22) così generalizzata, a valori di Q diversi da zero, può essere confrontata con la rappresentazione di Mori in termini di frazioni con-
tinue, tale confronto implica che nel regime idrodinamico Q ! 0, M(t) debba valere: M (Q! 0; z) = 2 Q2+ ( 1)! 2 0(Q) z + Ck V Q 2 (4.24) M (Q! 0; t) = 2 L mQ 2 (t) + ( 1)!2 0(Q) exp k CV Q2t (4.25)
Dalle (4.24) e (4.25) risulta quindi naturale dividere la funzione memoria in due contributi, una legata all’accoppiamento della densità con le ‡ut- tuazioni termiche, ed un’altra invece associata ai modi longitudinali
M (Q; t) = ML(Q; t) + Mth(Q; t)
Per quanto riguarda il contributo longitudinale possiamo estendere il comportamento in Q di ML ricorrendo al modello viscoelastico (4.16).
Il parametro risulta de…nito nel limite Q ! 0 secondo la (4.25) dalla relazione:
(Q! 0) = L
(Q! 0)
dove (Q ! 0) è l’ampiezza della funzione memoria, per valori di Q diversi da zero rappresenterà quindi il parametro che regola la scala tem- porale su cui avvengono i processi di rilassamento tenuti in considerazione da ML(Q; t).
Risulta quindi che, su una scala di tempi t >> ossia per perturbazioni lente, ML(t)! (t), il sistema assume un comportamento viscoso per cui esso
ha tutto il tempo di arrangiarsi verso uno stato di equilibrio locale. Per tempi t << , il liquido risponde invece istantaneamente con un comportamento di tipo elastico.
Se consideriamo il contributo termico della funzione memoria, la sua generalizzazione può essere scritta a partire dalla (4.25) come:
Mth(Q; t) = (Q)e
t th(Q)
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th(Q) =
k CV
Q2 = DtQ2
Analogamente a quanto discusso per il contributo longitudinale, la rispos- ta del sistema di tipo elastico o viscoso sarà regolata dal valore di th, ma
contrariamente al caso longitudinale, la risposta viscosa sarà presente ad alti Q mentre quella elastica a bassi Q.
Il processo di rilassamento termico, segna quindi la transizione da un regime di tipo adiabatico ad uno isoterma.
Nel primo le ‡uttuazioni in densità decadono per mezzo del canale ter- mico senza trasferimento di calore, mentre nel limite isoterma le ‡uttuazioni evolvono permettendo il trasferimento di calore.