1 Luce di Sincrotrone 1
1.1 Introduzione . . . 1
1.2 Proprietà della radiazione di Sincrotrone . . . 3
1.2.1 Potenza totale irraggiata . . . 3
1.2.2 Distribuzione angolare istantanea . . . 4
1.2.3 Distribuzione spettrale . . . 7
1.3 Aspetti applicativi della radiazione di sincrotrone . . . 10
1.3.1 Le sorgenti di LS . . . 10
1.3.2 Ottica dei canali di luce e monocromatori . . . 14
1.4 Ricerche con LS . . . 20
2 IXS 23 2.1 Confronto con INS . . . 24
2.2 Sezione d’urto . . . 25
2.3 Il problema dell’alta risoluzione . . . 29
2.4 La geometria di di¤usione all’indietro . . . 31
2.5 Funzionamento della beamline . . . 33
2.5.1 Sorgente di raggi X: l’ondulatore . . . 36
INDICE iii
2.5.2 Il doppio cristallo premonocromatore . . . 38
2.5.3 L’analizzatore costituito da cristalli sferici . . . 38
2.5.4 La risoluzione in energia . . . 39
3 I metalli liquidi 43 3.1 Cenni storici . . . 44
3.2 Aspetti dinamici . . . 48
3.3 Peculiarità dei metalli liquidi . . . 50
3.4 Proprietà …siche . . . 51
4 Dinamica di un liquido semplice 54 4.1 La funzione di correlazione delle ‡uttuazioni di densità . . . . 55
4.2 Il formalismo di Langevin . . . 56
4.3 Il modello viscoelastico nella rappresentazione data dalle fun-zioni memoria . . . 61
4.4 La forma di riga predetta dall’idrodinamica generalizzata . . . 63
4.5 Il modello a due rilassamenti . . . 69
4.6 La transizione da c0 a cinf . . . 70
4.7 La viscosìtà . . . 73
5 Il Silicio 74 5.1 Storia, caratteristiche, applicazioni . . . 74
5.2 Produzione e Puri…cazione . . . 77
5.2.1 Metodi …sici . . . 78
5.2.3 Cristallizzazione . . . 79
5.3 Il Silicio liquido . . . 81
5.3.1 Conducibilità e Suscettività . . . 82
5.3.2 Densità . . . 84
5.3.3 Ordine a corto range . . . 84
5.3.4 Mobilità . . . 86
5.3.5 Viscosità . . . 88
5.3.6 Pressione di vapore . . . 94
5.3.7 Proprietà termiche . . . 96
6 Setup ad alta temperatura 102 6.1 Problematiche legate alla progettazione della cella . . . 102
6.2 Descrizione della cella . . . 104
7 Il fattore di struttura dinamico 115 7.1 Il fattore di struttura statico . . . 115
7.2 Lo spettrometro . . . 117
7.3 Acquisizione dati . . . 119
7.4 Analisi dati . . . 124
7.5 Risultati . . . 134
Introduzione
Negli ultimi anni la dinamica dei metalli liquidi è stata oggetto di uno studio intenso volto a chiarire il ruolo dei meccanismi microscopici che regolano la propagazione dei moti collettivi all’interno di tali sistemi [11] [12] [13] [87].
Questi hanno infatti mostrato con chiara evidenza di poter sostenere la propagazione di moti collettivi su distanze spaziali ben al di sotto del lim-ite idrodinamico e che si spingono sino a lunghezze mesoscopiche dell’ordine della distanza tipica tra gli atomi primi vicini. Questa caratteristica li con-traddistingue nella categoria più ampia dei liquidi semplici cui appartengono. In questo contesto l’aggettivo semplice si riferisce alla relativa facilità con cui può essere descritta la struttura di tali sistemi, per i quali risultano soddis-fatte alcune ipotesi sul comportamento delle forze di interazione tra i loro costituenti; in particolare si assume che il potenziale interatomico nel liquido sia a simmetria sferica e a due corpi [2].
Proprio la possibilità di studiare per un liquido semplice la transizione da un comportamento di tipo essenzialmente idrodinamico ad uno non idrodi-namico, è motivo di grande interesse per lo studio della dinamica dei metalli liquidi; il tentativo di descrivere i processi microscopici coinvolti nella tran-sizione idrodinamica ha infatti determinato, negli ultimi anni, un migliora-mento delle tecniche spettroscopiche che ha permesso di coprire un intervallo di lunghezze d’onda sempre più ampio.
Lo studio della dinamica dei metalli liquidi, a causa della loro opacità alla radiazione visibile, è stata per molti anni dominio esclusivo della dif-fusione anelastica di neutroni (INS). A partire dai pionieristici esperimenti realizzati da Copley e Rowe sul rubidio liquido [14], la tecnica INS si è evo-luta aumentando sempre più l’accuratezza delle informazioni deducibili dagli spettri.
Diversi studi compiuti attraverso INS hanno rivelato la presenza di un tripletto Brillouin nel fattore di struttura dinamico di molti liquidi monoatomi-ci. In e¤etti con tale tecnica è stato possibile studiare le proprietà dinamiche di tutta la classe dei metalli alcalini [15] [16] [17] [18] [13] [19].
Questi esperimenti o¤rono una descrizione solo parziale della dinamica
ad alte frequenze che pertanto necessita il parallelo supporto di studi com-putazionali. Il parallelo utilizzo di queste due tecniche può contribuire al-la comprensione delal-la vera natura delle eccitazioni collettive che è ancora misconosciuta.
Più recentemente, l’avvento di sorgenti di radiazione di sincrotrone di nuova generazione ha permesso il pieno sviluppo della di¤usione anelastica dei raggi x (IXS). Questa tecnica, essendo sensibile solo alla dinamica coer-ente e permettendo lo studio in regioni di distanza cosiddette mesoscopiche (ovvero comparabili con le distanze dei primi vicini), ha ravvivato l’interesse verso questi sistemi e accresciuto il numero di esperimenti in tale campo. In e¤etti, al pari dell’INS, l’IXS permette di sondare la dinamica del liquido gra-zie all’accoppiamento della sonda con le ‡uttuazioni in densità del sistema. E infatti possibile, a partire dalla conoscenza della sezione d’urto del proces-so di di¤usione, ricavare il fattore di struttura dinamico S(Q; !) asproces-sociato alle ‡uttuazioni di densità atomica, avendo così accesso alla grandezza fon-damentale per la descrizione della dinamica del liquido, ossia alla funzione di correlazione densità-densità. In tali esperimenti particolare attenzione è stata rivolta all’indagine del comportamento di tali liquidi semplici in un intervallo di vettori d’onda scambiati (inversamente proporzionali alle lunghezze d’onda caratteristiche) in cui, pur essendo lontani dal limite idrodinamico, il liquido sembra supportare ancora eccitazioni collettive di tipo acustico.
Vale in…ne la pena di ricordare le restrizioni cinematiche, nella tecnica INS, dovute alla simultanea conservazione dell’impulso e dell’energia nello scattering anelastico. Tali limitazioni sono particolarmente penalizzanti in sistemi aventi velocità del suono comparabile con la velocità dei neutroni incidenti. Questi e¤etti sono assenti nel caso dell’IXS.
Infatti, detta v la velocità dell’eccitazione acustica in questione, si di-mostra che applicando le leggi di conservazione il processo è osservabile sper-imentalmente solo a patto che la velocità associata alla sonda utilizzata sia vprobe > v. Evidentemente questa restrizione è irrilevante nel caso di
radi-azione elettromagnetica (luce o raggi X) dove vprobe = c: Invece nel caso di
neutroni termici di energia 25meV si ha che vprobe 2200m=s, e ciò
pre-clude l’osservabilità dei picchi Brillouin in molti elementi leggeri dove, anche prescindendo da e¤etti di “dispersione positiva”, la velocità ordinaria del suono è elevata (cfr. Li liquido v = 4500m=s, Na liquido v = 2530m=s, etc.). Da un punto di vista teorico sono stati compiuti enormi progressi ver-so l’obiettivo di una teoria uni…cata della dinamica microscopica dei sistemi liquidi. Da un punto di vista sperimentale i sistemi più semplici disponibili sono stati diversi sistemi monoatomici come i ‡uidi di Van der Waals (He, Ne), i metalli liquidi alcalini (Li, Na, K) e alcuni metalli liquidi più complessi (Al, Ga). Per le sue caratteristiche è in quest’ultima categoria, come metallo
INDICE vii liquido, che si inserisce uno degli elementi più importanti di questo secolo: il Silicio. Paradossalmente tale elemento pur essendo uno dei più manipolati ed utilizzati nella nostra società, presenta alcune interessanti ed a¤ascinanti proprietà ancora molto poco chiare. Appena sopra la temperatura di melt-ing (Tm = 1683K) la sua densità cresce approssimativamente del 10% e la
sua struttura atomica, in coordinazione tetraedrica nel cristallo si modi…ca passando a una coordinazione media dei primi vicini compresa tra sei e sette atomi.
Il silicio liquido ha un comportamento metallico, contrariamente agli sta-ti cristallino e vetroso, nei quali si comporta come un semiconduttore. Il fattore di struttura statico del silicio liquido, determinato sperimentalmente, di¤erisce fortemente da quello dei metalli liquidi semplici [12]. Il numero di coordinazione basso del silicio liquido indica la persistenza di legami di-rezionali covalenti. Inoltre, la dipendenza dalla temperatura di molte pro-prietà …siche del silicio liquido è anomala appena sopra il melting: oltre alla densità anche la tensione super…ciale, la viscosità e la conducibilità elettri-ca hanno un comportamento che suggerisce modi…elettri-cazioni rilevanti attorno al melting e nell’intervallo di temperatura tra 1683K e 1733K. Una pro-fonda comprensione di queste anomalie è importante sia dal punto di vista teorico che tecnologico. Un primo scopo di questa tesi è quello accrescere la comprensione di queste anomalie allargando quest’intervallo di temperature, arrivando sino a 1773K.
A causa della altissima reattività chimica del silicio liquido e delle di¢ -coltà precedentemente accennate dell’INS, l’IXS è l’unica tecnica sperimen-tale che permette indagare la dinamica microscopica del silicio liquido.
Le intenzioni di questa tesi sono quelle di dare un elemento di confronto sperimentale a tali informazioni studiando il fattore di struttura dinamico del silicio liquido. Tale studio è stato eseguito poco sopra la temperatura di melting usando la tecnica della di¤usione anelastica dei raggi x per accedere nel range di momento trasferito da 1 11nm 1e nel range di energia trasferita da 50meV a +50meV , range con una risoluzione di 1; 5meV .
Tali misure, per quanto di¢ cili, sono state possibili grazie alla proget-tazione ed alla realizzazione, da parte nostra, di un forno completo di celletta di contenimento del silicio liquido, versatile e a¢ dabile almeno …no a 2200K. La realizzazione di tale forno è stata particolarmente di¢ cile dato che si è avuto a che fare con un elemento particolarmente di¢ cile da trattare, ma la scelta accurata dei materiali e la sapiente attenzione dedicata alla proget-tazione del dispositivo stesso hanno permesso il raggiungimento dei risultati sperati.
della struttura di questo metallo liquido e al ruolo giocato dalla presenza dei sopra citati legami covalenti.
Attraverso la determinazione sperimentale della dinamica collettiva mi-croscopica, ottenuta in questa tesi, non solo si trova un buon accordo con i dati esistenti in letteratura [88], ma sopratutto si integrano gli stessi andando a sondare zone di momento scambiato, quelle dei bassi Q, non ancora stu-diate sperimentalmente. Questo darà la possibilità di avere …nalmente una comprensione completa delle eccitazioni collettive del silicio liquido.
Capitolo 1
Luce di Sincrotrone
1.1
Introduzione
Esistono vari oggetti celesti che irraggiano luce di sincrotrone (=LS). Per es-empio, la Nebulosa del Granchio, residuo di una supernova esplosa nel 1054 d.C., ha uno spettro di emissione dovuto in gran parte a elettroni di grande energia spiralizzanti nel debole campo magnetico nebulare di t 10 7T.
Anco-ra, l’emissione di radioonde di frequenza t 1GHz da parte di Giove è dovuta a elettroni intrappolati nelle fasce di Van Allen e distribuiti su distanze com-prese tra 30 e 100 raggi della super…cie del pianeta; la sonda spaziale Pioneer 10 ha rivelato (4 dicembre 1973) che questi elettroni hanno energie medie di circa 5M eV e sono sottoposti a campi magnetici di circa 10 4T; il raggio di
curvatura della loro traiettoria è compreso tra 100 e 200 m, e la pulsazione fondamentale di rotazione è !0 t 2 106rad=s.
In laboratorio la LS è prodotta da macchine acceleratrici a struttura circo-lare, elettrosincrotroni e anelli di accumulazione. Elettroni (o positroni) che percorrono una traiettoria curva, anche se dotati di velocità costante, sono soggetti all’accelerazione centripeta dovuta alla variazione istantanea della direzione di moto e perdono energia cinetica per irraggiamento elettromag-netico. A velocità prossime a quella della luce c, la maggior parte dell’energia è irraggiata a frequenze multiple di !0=2 . La distribuzione di energia tra
le varie armoniche è tale che la massima intensità irraggiata si trova in cor-rispondenza di una pulsazione critica !c t 3!0, dove = (1 2) 1=2, con
= v=c e v velocità dell’elettrone. Altre caratteristiche peculiari, che dis-tinguono la LS dalle altre sorgenti di radiazione, sono il suo con…namento in una stretta regione dello spazio tangente al piano orbitale, l’elevato grado di polarizzazione lineare e la struttura temporale a impulsi. Tutte queste
Figura 1.1: esperimenti nei laboratori della General Electric (1947).
prietà possono essere calcolate esattamente una volta noti i parametri della sorgente, ciò rende la LS una sorgente di calibrazione ideale.
La LS fu rivelata per la prima volta nel 1946 da J.P.Blewett al betatrone da 100M eV dei laboratori General Electric (Schenectady, N.Y., USA) e os-servata visivamente l’anno successivo da F.Haber, un tecnico del gruppo di H.C. Pollock, all’elettrosincrotrone di 70M eV degli stessi laboratori. Negli anni seguenti il gruppo di Pollock studiò con sistematicità le proprietà della LS, misurando la distribuzione dell’intensità nel visibile a varie energie degli elettroni. Nel 1953 F.A. Korolev, studiò le caratteristiche della LS e la sua interazione con il fascio di elettroni al sincrotrone FIAN di 250M eV dell’is-tituto Lebedev di Mosca. Nel 1956 D.H. Tomboulian e P.L. Hartman anal-izzarono la radiazione visibile e ultravioletta emessa dall’elettrosincrotrone di 320M eV della Cornell University di Ithaca (USA) e confrontarono i loro risultati con la teoria, ottenendo un ottimo accordo. Poco più tardi (1963) R. Madden e K. Codling utilizzarono l’elettrosincrotrone di 180M eV del Na-tional Bureau of Standards (Washington) per studi spettroscopici sui gas rari e furono i primi a dimostrare l’alta potenzialità spettroscopica della LS. Dagli anni ’60 si sono rapidamente moltiplicati i progetti di utilizzazione della LS nei campi della …sica atomica, della …sica dello stato solido e nella biologia. Dall’uso, per queste applicazioni, di elettrosincrotroni e anelli di
CAPITOLO 1. LUCE DI SINCROTRONE 3
accumulazione, costruiti principalmente per lo studio delle particelle elemen-tari si è passati, negli anni ’80, allo sviluppo di macchine acceleratrici (anelli di accumulazione) specialmente dedicate alla LS e dotate di vari dispositivi magnetici (wiggler e ondulatori ) per migliorare le caratteristiche del fascio fotonico emesso.
I primi studi teorici sull’irraggiamento di elettroni in moto su orbite cir-colari risalgono a G.A. Schott (1907), con il tentativo di spiegare la natura discreta degli spettri atomici, ma un’indagine teorica sistematica da parte di J. Schwinger negli USA (1946) e, indipendentemente, di D. Ivanenko e A. A. Sokolov nell’Unione Sovietica (1948), iniziò solo dopo l’osservazione sperimentale della LS. Come risultato di questi studi è disponibile un’analisi teorica dettagliata dello spettro irraggiato da elettroni relativistici nel limite sia classico, sia quantistico [8].
1.2
Proprietà della radiazione di Sincrotrone
1.2.1
Potenza totale irraggiata
La potenza istantanea P emessa da una particella in moto, di carica e, massa a riposo m, momento p ed energie E = (c2p2+ m2c4)1=2 è un invariante di
Lorenz ed è (p è un quadrimomento della particella):
P = 2e 2 3m2c3 2 dp dt dp dt = 2e2 3m2c3 2 " dp dt 2 1 c2 dE dt 2# (1.1)
dove = E=(mc2). Nel caso rilevante in cui la particella è costretta da un campo magnetico esterno, di induzione uniforme e costante B, a descrivere un’orbita circolare di raggio di curvatura R, il momento p cambia rapida-mente in direzione, mentre la perdita di energia per rivoluzione è piccola rispetto all’energia totale. Il termine (1=c2)(dE=dt)2 è trascurabile
rispet-to a (dp=dt)2 nella (1.1), che può essere scritta, approssimativamente (A. Liénard, 1898), in unità di Gauss:
P = 2e 2c 3R2 4 E mc2 4 (1.2)
Figura 1.2: sistema di coordinate per il calcolo del campo di radiazione di una particella carica in moto con velocità v e accelerazione _v.
La potenza totale irraggiata è dunque direttamente proporzionale alla quarta potenza dell’energia della particella ed inversamente proporzionale alla quarta potenza della massa a riposo. Per questa ragione l’emissione di LS è importante solo per elettroni (o positroni) e non per protoni della stessa energia totale. Per elettroni non relativistici, ! 0, la (1.2) si riduce al familiare risultato di Larmor:
P = 2e
2
3c3a 2
che descrive la caratteristica emissione di dipolo di una carica in moto con accelerazione a.
1.2.2
Distribuzione angolare istantanea
Il campo elettromagnetico irraggiato da un elettrone dotato di velocità rela-tivistica istantanea v ed accelerazione a = _v al tempo t e a distanza R dalla posizione istantanea della particella (…g. 1.2), si può calcolare a partire dai potenziali ritardati di Lienard-Wieckert [9]. Ponendo
= v c; x = 1 n ; _ = d dt ; n = R R (1.3)
CAPITOLO 1. LUCE DI SINCROTRONE 5
i campi elettromagnetici di radiazione sono: 8 < : E(r; t) = eh 2nx3R2 i rit +e c n ((n ) _) x3R rit B(r; t) = (n E)rit (1.4)
dove rit signi…ca valutato al tempo ritardato t0 = t R(t0)=c.
I valori del campo elettrico e magnetico nel punto R e al tempo t sono determinati solo dalle condizioni cinematiche della sorgente radiante al tempo ritardato t0. Il campo magnetico è sempre perpendicolare a E e n. Il primo
termine nell’espressione del campo elettrico rappresenta il campo di velocità creato da una carica in moto uniforme. In un sistema inerziale solidale con la particella, questa è ferma e quindi non irraggia; il campo decresce come R 2e
per = 0la sua espressione si riduce alla ben nota legge di Coulomb. Si noti che il campo di velocità punta verso la posizione corrente della particella; lo spostamento tra il punto del campo e la posizione corrente della particella è infatti (n ) R(t0).
Il secondo termine della (1.4) descrive il campo di accelerazione, che de-cresce come R 1, è proporzionale all’accelerazione _ ed è perpendicolare a n.
Questo termine e il corrispondente termine magnetico costituiscono il vero campo di radiazione della particella. La dipendenza angolare è contenuta nel vettore n h(n ) _i, che si annulla allorché (n )k _ .
Per particelle relativistiche ( 1), il fattore x3 al denominatore della
(1.4) è preponderante e la direzione di emissione zero forma un piccolo angolo con quella della velocità della particella. Indicando con le parentesi angolari il valor medio, il cono di radiazione (cioè il lobo principale di radiazione, nel quale si trova la maggior parte della potenza irraggiata) ha semiapertura # data dalla relazione < #2 >1=2= 1 = (mc2) =E, che, per elettroni di 5GeV , dà # 0:1mrad(direzionalità della LS).
Al diminuire di (…g.1.3) la distribuzione angolare istantanea tende al-la ben nota distribuzione dipoal-lare di Larmor che si ha per = 0. Alla linea tratteggiata corrisponde intensità irraggiata nulla. Una frazione della potenza totale, residuo della distribuzione di dipolo, è irraggiata in direzione opposta a quella del lobo principale di radiazione (cono di radiazione). Per evidenziare i lobi di irraggiamento all’indietro, la loro intensità è moltiplicata nei vari casi per il fattore indicato.
Figura 1.3: distribuzione angolare della radiazione di sincrotrone nel piano or-bitale nel caso di accelerazione e velocità perpendicolari e per valori crescenti di .
CAPITOLO 1. LUCE DI SINCROTRONE 7
1.2.3
Distribuzione spettrale
Un osservatore il quale riceva la LS prodotta da un elettrone che percorre un arco di traiettoria sotteso da un angolo # = 2= , vede un impulso di radiazione di durata pari alla di¤erenza tra il tempo richiesto all’elettone per percorrere l’arco e quello richiesto dalla luce per attraversare la corda sottesa dall’arco: = R# v R# c R c 3 (1.5)
L ’impulso di luce contiene pulsazioni …no alla pulsazione critica !c
1= = c 3=R = !
0 3 (e¤etto Doppler relativistico). Poiché è tipicamente
dell’ordine del migliaio, e R del metro, !c cade nella regione dei raggi X
molli. Se le particelle hanno velocità distribuite statisticamente attorno ad un valore medio, le armoniche sono confuse in un continuo. Nei casi pratici lo spettro di LS irraggiato dagli acceleratori di particelle si può considerare continuo. Si dimostra che, per un ampio intervallo di energie degli elettroni, la distribuzione spettrale è approssimabile con una legge di potenza P (!) ! s. Ne consegue che la potenza emessa nell’unità di pulsazione ! è del tipo:
P (!) = CF ! !c
(1.6)
dove F è una funzione universale e C una costante. Il calcolo dettagliato della funzione F è dovuto a J. Schwinger (1949). La potenza istantanea irraggiata da un elettrone in ogni giro nella direzione (angolo azimutale misurato nel piano dell’orbita) a unità di angolo e di lunghezza d’onda, alla lunghezza d’onda è: d2P d d = 27 32 3 e2c R3 c 4 8 1 + ( )2 2 " K2=32 ( ) + ( ) 2 1 + ( )2K 2 1=3( ) # (1.7)
dove K2 1=3 e K
2
2=3 sono funzioni di Bessel modi…cate dell’argomento
adi-mensionale , esprimibile in termini della lunghezza d’onda ridotta = = c
e dell’angolo di emissione ridotto = ,
= c 2 1 + ( ) 2 3=2 = 1 2 1 + 2 3=2 (1.8)
con c lunghezza d’onda critica dello spettro di emissione,
c = 4 R 3 3 ; !c = 3c 2R 3 (1.9)
Integrando la (1.7) sull’angolo , si ottiene la potenza istantanea a unità di intervallo di lunghezza d’onda irraggiata da un elettrone in ogni giro sull’intero angolo solido (Schwinger, 1949):
P ( ) = 3 5=2e2c 16 2R3 7 c 3Z 1 c= K5=3( )d (1.10) La funzione: F (x) x Z 1 x K5=3( )d (1.11)
con x = c= = !=!c è la funzione universale cercata che descrive lo
spettro di potenza della radiazione di sincrotrone.
L’andamento asintotico di F (x) è: ( F (x) 31=24(1=3) x 2 1=3 , per x << 1 F (x) 2 1=2x 1=2exp( x), per x >> 1 (1.12)
dove rappresenta la funzione gamma. Per << c, F (x) diminuisce
CAPITOLO 1. LUCE DI SINCROTRONE 9
Figura 1.4: F (x)
degli elettroni. I due termini entro parentesi quadrata nella (1.7) sono le intensità irraggiate, con polarizzazione, rispettivamente, parallela e perpen-dicolare al piano orbitale. Il fattore davanti alla componente perpenperpen-dicolare assicura che nel piano orbitale la radiazione è polarizzata linearmente al 100%: sopra e sotto il piano orbitale la polarizzazione è ellittica con opposta ellitticità. la componente perpendicolare è sempre minore di quella parallela, eccetto che a grandi valori di .
La …g. 1.5 mostra la dipendenza angolare delle due componenti di polariz-zazione per varie lunghezze d’onda ridotte = c: si può osservare l’intensità
relativa della componente polarizzata parallelamente (curva continua) e perpendicolarmente (curva tratteggiata) al piano orbitale in funzione dell’an-golo verticale ridotto #, per diversi valori della lunghezza d’onda ridotta
= c. Ogni curva è normalizzata alla sua intensità nel piano orbitale.
Se si integra la (1.7) su e , si ottiene la potenza totale irraggiata dall’elettrone in un giro, cioè la (1.2). Nella tabella che segue sono raccolte le relazioni fondamentali della LS, espresse in unità SI [10].
Figura 1.5: dipendenze angolari.
Lunghezza d’onda critica: 0:5589( =E3) = 1:864=(E2B) [nm]
Energia cinetica: 2:22E3= = 0:665E2B [keV]
Angolo di emissione: 5:1 10 4=E [rad] Potenza irraggiata su tutta l’orbita: 88:5E
4l=
26:5BwE3=N
[kW] (magnete curvante) [kW] (wiggler N poli) Flusso a = c: '( c) = 1:6 1013=E [fotoni/(s mrad) 0.1% banda passante]
dove indica il raggio medio in m; E l’energia dell’elettrone in GeV ; B il campo di induzione magnetica in T ; l, l’intensità della corrente di elettroni in A.
1.3
Aspetti applicativi della radiazione di
sin-crotrone
1.3.1
Le sorgenti di LS
Come si è accennato nell’introduzione di questo capitolo, l’applicazione prat-ica della LS è stata possibile grazie allo sviluppo delle macchine acceleratrici di elettroni e positroni. Nella fase iniziale (anni ’50 - ’60) furono utilizzati gli elettrosincrotroni, in cui gli elettroni, iniettati da acceleratori lineari o da mi-crotroni a energie dell’ordine di alcune decine di M eV , erano accelerati …no a
CAPITOLO 1. LUCE DI SINCROTRONE 11
energie dell’ordine del GeV da un campo elettrico alternato a radiofrequenza e mantenuti su un’orbita stabile mediante un campo magnetico crescente du-rante il ciclo di accelerazione; alla …ne del ciclo di accelerazione, gli elettroni erano rimossi da opportuni bersagli (target) inseriti nella ciambella, il ciclo di accelerazione ripreso, e così di seguito. La LS era trasportata nel laborato-rio di utilizzazione tramite opportuni canali accoppiati all’acceleratore. Essa era ad impulsi, con lo stesso periodo del ciclo di accelerazione, tipicamente 50ms, e la sua qualità era mediocre, a causa delle instabilità spazio-temporali e della scarsa riproducibilità da ciclo a ciclo del fascio di elettroni accelerato. Dopo l’introduzione degli anelli di accumulazione (anni ’60 - ’70), svilup-pati originariamente per realizzare l’urto particella-antiparticella per lo stu-dio delle interazioni forti, queste macchine hanno praticamente soppianta-to gli elettrosincrotroni nelle ricerche con LS. Gli elettroni circolano nel-la macchina in pacchetti (bunch) quasi monoenergetici, in sincronismo con il campo a radiofrequenza applicato (alcuni M Hz), che rifornisce al fascio l’energia persa per l’emissione di LS. L’energia irraggiata varia da qualche keV =giro a bassa energia ( 0:5GeV), …no ad alcuni M ev=giro a energie dell’ordine del GeV . Addirittura nell’anello di accumulazione LEP (Large Electron-Positron) per elettroni e positroni del CERN, l’energia persa dalle particelle all’energia massima (130GeV ) è di circa 7GeV =giro. A queste en-ergie, il problema principale diventa il rifornimento di energia agli elettroni ed è necessario ricorrere a cavità a radiofrequenza superconduttrici.
Un impulso di radiazione arriva all’osservatore ogniqualvolta un pacchetto di elettroni attraversa la porzione di orbita osservata. La durata dell’impulso è determinata dalla lunghezza dei pacchetti e varia dal decimo di ns ad alcuni ns. Il numero di impulsi nell’unita di tempo dipende dal numero di pacchetti accumulati (da 1 a 1000 nei più grandi acceleratori): nel modo a pacchetto singolo, esso corrisponde alla frequenza fondamentale della macchina, negli altri casi a una sua armonica.
Le grandezze piu importanti che caratterizzano una sorgente di LS sono il ‡usso di fotoni, la brillanza spettrale (o semplicemente brillanza) '!( ) e la brillanza della sorgente 's( ). Il ‡usso '( ), prodotto da un anello di
accumulazione, ha valori compresi tra 1012 e 1013f otoni=(s mrad) nel piano orizzontale in una banda passante = di 0.1 %: esso a dotato di elevata stabilità e diminuisce gradualmente, con costante di tempo dipendente dal tempo medio di decadimento del fascio accumulato (circa 10 ore). Durante il moto, gli elettroni eseguono piccole oscillazioni intorno all’orbita ideale (oscillazioni di betatrone e di sincrotrone), e quindi il fascio elettronico ha dimensioni …nite e una divergenza angolare intrinseca. La brillanza spettrale richiede piccole deviazioni standard angolari del fascio di elettroni dall’or-bita ideale 0
sorgente richiede anche una sorgente emittente di piccole dimensioni, cioè piccole deviazioni standard spaziali x e y. Per ottenere grandi brillanze
bisogna ridurre il valore dell’emittanza, de…nita come = i 0i con i = x; y, e
per questo si usa una particolare ottica elettronica in alcuni punti dell’anello di accumulazione. Un numero consistente di anelli di accumulazione per LS sono operanti, o in fase di costruzione, nel mondo (attualmente sono circa 50 i Sincrotroni in funzione nel mondo). Quello di Grenoble (ESRF), dove sono state fatte le misure di questa tesi, è un Sincrotrone di terza generazione, uno dei tre più grandi e potenti del mondo insieme a APS negli USA e Spring-8 in Giappone.
APS, USA ESRF, Europe-France Spring-8, Japan La qualità dei fasci di elettroni circolanti negli anelli di accumulazione ha permesso di sviluppare geometrie di accelerazione diverse da quelle dei mag-neti curvanti, che adattano le proprietà spettrali della LS alle richieste degli esperimenti. Mediante opportune strutture magnetiche periodiche inserite nelle sezioni diritte delle macchine è possibile spostare la distribuzione spet-trale della LS a energie più alte (con wiggler ), o concentrare 1’emissione entro un intervallo spettrale stretto (con ondulatori ). In pratica, questi elementi sono presenti in tutti i moderni anelli dedicati alla luce di sincrotrone.
Un wiggler a un apparato costituito da tre o più poli magnetici di polarità alternata. Se inserito in una sezione diritta, cioè libera dal campo magnetico, il wiggler produce una piccola oscillazione locale dell’orbita degli elettroni (tipicamente 1mm) senza de‡ettere l’orbita originaria in quanto l’integrale di campo è nullo.
Nel wiggler trasversale, il più comune, il campo magnetico è diretto per-pendicolarmente al piano orbitale degli elettroni, dato che l’apertura richi-esta da un fascio accumulato è minore in direzione verticale che in direzione orizzontale. Ciò riduce la separazione tra i poli e di conseguenza aumenta il campo magnetico. L’induzione magnetica del wiggler B! puo variare da
0:5 2T, se realizzato con magneti convenzionali o con blocchi di samario-cobalto (SmCo5), a 5 6T, se realizzato con magneti superconduttori. Se B! è maggiore (minore) del campo dei magneti curvanti, lo spettro spostato
verso le energie maggiori (minori). Poiché il raggio di curvatura è inversa-mente proporzionale a B! ciò permette di modi…care la pulsazione critica !c
CAPITOLO 1. LUCE DI SINCROTRONE 13
nella (1.9) senza cambiare l’energia degli elettroni, cioè . Tale dispositivo funge quindi da traslatore di lunghezza d’onda. La potenza irraggiata lungo l’asse da un wiggler di N poli è:
P = 4:22B!E3IN [W mrad] (1.13)
dove B! è espressa in T , I in Ampere ed E in GeV . A titolo di
esem-pio, il wiggler installato sull’anello di accumulazione ADONE ha N = 6 poli equivalenti, B! = 1:85T, e sposta l’energia critica da 1:5keV a 2:7keV , con
un guadagno di un ordine di grandezza sul ‡usso irraggiato. Al crescere del numero di poli e quindi di oscillazioni (da circa 20 a 100) si ha interferen-za tra i campi elettromagnetici emessi dagli elettroni in punti diversi della traiettoria.
Gli e¤etti di coerenza, trascurabili in un wiggler, sono importanti negli ondulatori in cui l’emissione risulta con…nata in bande strette. Gli ondu-latori hanno funzionamento simile ai wiggler e si distinguono in onduondu-latori deboli e forti a seconda del valore assunto dal parametro di de‡essione K. Se K << 1, l’elettrone esegue un moto armonico semplice puramente trasver-sale nel suo sistema di riferimento e pertanto 1’emissione è quella di dipolo; quest’ultima, per un osservatore esterno, è con…nata entro l’angolo 1= e assume la tipica forma a sigaro descritta nella …g. 1.3; il moto trasversale contiene solo armoniche dispari, con un massimo d’intensità irraggiata nel piano orbitale. Se K >> 1, l’angolo di de‡essione è dell’ordine di 1= ; la variazione della componente longitudinale della velocità non è trascurabile; il moto longitudinale contiene armoniche pari e la distribuzione angolare della LS emessa è quella tipica di una particella relativistica con v e _v paralleli, consistente in due lobi simmetrici lungo le direzioni formanti un angolo 1
con il piano orbitale nel sistema del laboratorio. Nel caso di un ondulatore forte di periodo spaziale 0 a un angolo di elevazione , l’emissione e quasi
monocromatica e distribuita sulle varie armoniche j di lunghezza d’onda:
j = 0 2j 2 1 + K2 2 + 2 (1.14)
con j = 1; 2; 3; :::. Secondo la (1.14), la lunghezza d’onda emessa dipende fortemente dall’angolo di elevazione. Sul piano orbitale, = 0, sono irrag-giate solo le armoniche dispari. In pratica, per fasci reali, che hanno di-mensioni trasversali e angoli di divergenza …niti, gli elettroni emettono fuori
asse e quindi sono presenti anche armoniche pari. In ogni caso il fascio di luce emesso è sempre altamente direzionale. L’ondulatore si può sintonizzare su una certa j agendo su K (ossia sul campo magnetico dell’ondulatore)
o sull’energia del fascio. Al crescere di K il numero di armoniche aumenta e la loro separazione diminuisce. Lo spettro emesso appare policromatico se raccolto su un’area piccola, mentre, se raccolto su un’area grande, tende a quello di un magnete uniforme moltiplicato per il numero di poli N. La brillanza spettrale della j-esima armonica dispari di un ondulatore a = 0 è, in f otoni=(s mrad2 0:1% banda passante):
' = d
3N
dtd ( = ) = 2:27 10
7N2 2IF
j(K) (1.15)
dove I è l’intensità della corrente di elettroni, in A, e Fj(K) è una
fun-zione di K, che è nulla per valori di j pari. La minima larghezza di riga (larghezza naturale), in opportune condizioni di dimensione e divergenza del fascio di elettroni, è , = j 1=(jN ) e la brillanza è approssimativamente
N2 volte quella di un magnete curvante con campo magnetico uguale al cam-po magnetico massimo dell’ondulatore. Per esempio, l’ondulatore di ADONE ha 0 = 11:6cm; K = 3:51; N = 40ed emette la prima armonica a 103:8nm,
con una brillanza di 9 1014 f otoni=(s mrad2 0:1% banda passante) all’en-ergia degli elettroni di 1GeV e I = 50mA. Questo valore è quasi tre ordini di grandezza maggiore dell’emissione nei magneti curvanti.
1.3.2
Ottica dei canali di luce e monocromatori
La richiesta principale nell’uso della LS è quella di massimizzare la potenza radiante che incide sul campione entro una data larghezza di banda spettrale. La larghezza di banda = oppure = è de…nita dal sistema di monocro-matizzazione ed è tipicamente 10 3. L’area irraggiata dipende
dall’esperi-mento, ma, in generale, è preferibile o necessario che il fascio sia focheggiato. Per esempio, nelle misure di fotoemissione risolta in angolo è necessario che un fascio monocromatico con < 0:2eV sia focheggiato su un’area di cir-ca 1mm2 con una convergenza < 3 . Nelle applicazioni biologiche e nella
microscopia con raggi X si richiedono larghezze focali 100 m2. Altre ap-plicazioni necessitano di fasci paralleli e monocromatori a cristallo. A causa del grande intervallo spettrale ricoperto dalla LS, è necessario adattare alle
CAPITOLO 1. LUCE DI SINCROTRONE 15
sorgenti vari tipi di monocromatori e con…gurazioni ottiche diverse, a secon-da della regione spettrale interessata. Il ‡usso monocromatico sul campione Nout( ) è legato al ‡usso della sorgente N ( ) per unità di angolo orizzontale
#x (integrato sull’angolo verticale), al coe¢ ciente di trasmissione della linea
ottica TB e al coe¢ ciente di trasmissione TM dell’ottica del monocromatore
dalla relazione:
Nout = N ( )#xTBTM (ax=0x)(ay=0y) (1.16)
dove axe aysono le accettanze angolari orizzontali e verticali del
monocro-matore e 0
x e 0y sono le emittanze orizzontali e verticali. Le emittanze x e y
della sorgente sono trasformate nelle 0
x e 0y dagli elementi ottici del canale
di luce. Per esempio, uno specchio focheggiante può modi…care l’emittanza verticale, diminuendo la dimensione verticale e aumentando la divergenza ver-ticale del fascio. Si vede dalla (1.16) che per ottenere il massimo ‡usso sulla fenditura d’uscita di un monocromatore è necessario adattare l’accettanza del monocromatore all’emittanza della sorgente e, nel contempo, massimizzare la trasmissione della linea ottica e del monocromatore.
Come si è detto nel paragrafo precedente, le più potenti sorgenti di LS hanno emittanze di circa 10 8 10 9m rad, dimensioni dei fasci
x e y
dell’ordine di 0:1mm e brillanze ' dell’ordine di 1013 f otoni=(s mrad2
0:1% banda passante) in un intervallo spettrale compreso tra 0:1 e 100keV . Con l’uso degli ondulatori, le brillanze aumentano di tre o quattro ordini di grandezza. Per assicurare un’elevata trasmissione TB, la linea ottica deve
accettare tutta la radiazione nel piano verticale e il maggior angolo soli-do orizzontale in mosoli-do compatibile con la distribuzione spaziale irraggiata come in …g. 1.3. Il progetto di tale linea deve comprendere gli elementi ottici ri‡ettenti (generalmente specchi), il loro pro…lo, la loro distanza dalla sor-gente e dall’immagine e l’angolo di incidenza della radiazione. Per ottenere ri‡ettività adeguate è necessario usare angoli di incidenza radente di pochi mrad(inferiori all’angolo critico), soprattutto nella regione dei raggi X molli ( < 30nm), e quindi diventa importante lo studio della geometria e della struttura microscopica delle super…ci ri‡ettenti, dei materiali che li ricoprono e delle aberrazioni geometriche. Gli specchi sferici o asferici di vetro ricoperti di vari metalli (Ag, Au, Pt), gli specchi di SiC, di vetro ceramico e di metallo sono di¤usi. La tecnica di produzione è molto avanzata, grazie alla loro vasta applicazione in campo astro…sico, nei telescopi a raggi X, attualmente si real-izzano super…ci con rugosità media di 1 2nm. Tramite l’uso di programmi di tracciamento di raggi (ray tracing) si può facilmente progettare l’intero
sistema ottico, simulare l’e¤etto di piccoli spostamenti degli elementi ottici e del degrado della loro qualità dovuto all’irraggiamento. Talvolta è preferibile il metodo dello spazio delle fasi, ampiamente usato nel progetto delle sorgen-ti di LS, che correla i parametri della macchina all’immagine della sorgente in vari punti della linea ottica. Poiché non esistono materiali trasparenti a lunghezze d’onda minori di 105nm, le linee ottiche sono accoppiate diretta-mente all’anello di accumulazione in ultravuoto (10 8 10 10torr). Esse sono
dotate di opportune valvole rapide, sezioni di pompaggio con pompe ioniche e turbomolecolari, e stopper per interrompere il fascio di luce. La lunghezza di tali linee ottiche è determinata da vari fattori quali, per esempio, il raggio di curvatura dei magneti curvanti, la distanza minima dei separatori di fascio (beam splitter ), i requisiti di sicurezza contro le radiazioni e le richieste degli esperimenti. Le lunghezze tipiche variano tra 10 e 30m dal punto di tan-genza. Talvolta wiggler e ondulatori impongono una distanza maggiore per i separatori di fascio. Spesso un singolo canale di luce alimenta più stazioni sperimentali o porte, con diversa accettanza angolare.
Di¤erenti tipi di monocromatori sono usati con la LS. Nella regione X-UV (10 1000eV) si utilizzano monocromatori a reticolo, a incidenza normale e a incidenza radente, dotati di reticoli convenzionali od ologra…ci. Sotto 40eV è facile adattare l’accettanza dei reticoli all’emittanza della sorgente, mentre a energie maggiori l’adattamento diventa di¢ cile a causa del piccolo valore dell’accettanza imposto dalla necessità di ottenere alta risoluzione. In questo intervallo di energie una piccola emittanza è molto importante. Nella regione dei raggi X duri (energie > 1000eV ) si usano monocromatori a cristallo. Le accettanze si possono adattare molto bene all’emittanza delle sorgenti e il ‡usso totale cresce in generale con l’accettanza angolare orizzontale. Lo sviluppo dei monocromatori per LS è in continua evoluzione, per cui risulta di¢ cile dare un quadro esauriente delle loro caratteristiche. Ci limiteremo pertanto alla descrizione sommaria di alcuni tipi di monocromatori tra i più di¤usi.
I monocromatori per ultravioletto da vuoto (VUV) utilizzati tra 6 e 40eV (200 30nm) sono dotati di reticoli di di¤razione concavi illuminati ad an-goli di incidenza compresi tra 0 e 30 e fenditure di ingresso e di uscita …sse. La scansione della lunghezza d’onda è realizzata ruotando il reticolo. Lo sfocheggiamento che ne consegue è minimizzato in modi diversi a seconda delle geometrie adottate. Le più comuni sono quelle di Seya-Namioka, di Wadsworth e simmetrica o loro adattamenti. Fra queste con…gurazioni la prima usa l’angolo di incidenza maggiore ( 35 ) e quindi presenta astigma-tismo. Quest’aberrazione viene generalmente corretta con opportuni specchi davanti al monocromatore o sostituendo il reticolo sferico con un reticolo toroidale o ellittico. La risoluzione dipende da vari fattori (reticolo, lunghezza
CAPITOLO 1. LUCE DI SINCROTRONE 17
Figura 1.6: monocromatori ad incidenza radente.
del monocromatore, fenditure, ecc.) ed è compresa tra 0:02nm e 0:2nm. Nel-l’intervallo spettrale 40 800eV (30 1:5nm) è necessaria un’ottica radente. Un monocromatore a incidenza radente con una singola super…cie ri‡ettente si può considerare la soluzione ideale, ma in pratica è necessario inserire al-tri specchi per eliminare gli ordini di di¤razione superiori e/o rifocheggiare la radiazione. Lo sviluppo dei reticoli ologra…ci ha aumentato la disponi-bilità dei reticoli con super…ci asferiche che forniscono alti ‡ussi e adeguata risoluzione. È conveniente classi…care i monocromatori a incidenza radente in tre categorie, secondo il tipo di reticolo usato: a reticolo piano, a reticolo sferico e a reticolo asferico. I monocromatori a reticolo piano e sferico hanno generalmente cinque super…ci ri‡ettenti, mentre quelli asferici ne hanno tre.
L’impiego di monocromatori a reticolo piano (PGM: …g.1.6) è conveniente se la distanza sorgente-monocromatore è grande. Essi non sono dotati di fenditura d’ingresso e quindi richiedono sorgenti di alta brillanza e stabilità. La scansione della lunghezza d’onda è e¤ettuata tramite rotazione del reti-colo. Per mantenere il fascio di uscita …sso, si utilizzano specchi davanti al reticolo il cui angolo di incidenza è scelto in modo da tagliare gli ordini su-periori. Generalmente, si sfrutta la piccola divergenza verticale della LS e il fascio incidente si considera parallelo. Tra le versioni più recenti ricordiamo il monocromatore FLIPPER sviluppato sull’anello di accumulazione DORIS
di Amburgo (FRG). Il ‡usso misurato con una fenditura di uscita di 200 m e ' = 6 106 f otoni=s a 100eV con l’anello funzionante a 3:3GeV e 100mA
di corrente.
Se è richiesta alta risoluzione si ricorre a monocromatori a reticolo sferico (RCM: …g. 1.6), in montaggio di Rowland. Questa con…gurazione ha lo svan-taggio che la direzione del fascio di uscita cambia con la lunghezza d’onda. Inoltre, l’astigmatismo del reticolo concavo produce una perdita considerev-ole di intensità. Il primo problema si supera impiegando una combinazione reticolo-fenditura per cambiare la direzione dei fasci entrante e uscente. La posizione delle fenditure rimane …ssa durante lo spostamento del reticolo sul cerchio di Rowland e quindi l’angolo tra i due raggi è …sso. La scelta di questo angolo dipende dall’esperimento a cui lo strumento è destinato e dall’inter-vallo spettrale di interesse. Il problema dell’astigmatismo si supera usando specchi toroidali. A causa dei complessi movimenti richiesti nel montaggio di Rowland è di¢ cile costruire un monocromatore RCM compatibile con l’ul-travuoto. Un’interessante versione di tale strumento, basata sulla geometria di Vodar, è stata realizzata negli ultimi anni ed è usata, in prevalenza, nella spettroscopia di fotoemissione ad alta energia (ESCA oppure XPS).
Tra i monocromatori a reticolo asferici i più noti sono quelli che impie-gano reticoli toroidali (TGM: …g. 1.6). Questi strumenti sono caratterizzati da relativa semplicità meccanica e hanno una risoluzione media. Essi si pos-sono considerare uno sviluppo del montaggio Seya-Namioka, in cui è notevol-mente aumentato (da 70 a140 160 ) l’angolo tra la direzione d’incidenza e quella di di¤razione. Il monocromatore può lavorare a energie maggiori, ma aumentano le aberrazioni. Il maggiore astigmatismo è corretto dal reti-colo toroidale e lo sfocheggiamento, a una data lunghezza d’onda, è ridotto ottimizzando le lunghezze dei bracci d’entrata e d’uscita. Dato che il reti-colo toroidale è l’unico elemento ottico che disperde e focheggia, è possibile ottimizzare lo strumento solo su un intervallo spettrale ristretto. Fortunata-mente l’accettanza angolare è piccola e quindi le aberrazioni sono tollerabili. I monocromatori TGM sono di¤usi e ne esistono esemplari con caratteris-tiche simili in molti laboratori. L’intervallo spettrale tipico è compreso tra 10eV e 150eV , ma sono stati sviluppati strumenti che coprono intervalli tra 200eV e 700eV (TGM senza fenditure). Il ‡usso di fotoni raccolto entro una banda passante dell’ 1% è di circa 1012 f otoni=s con risoluzioni tipiche di
0:2 0:5eV. A 100eV un monocromatore TGM fornisce un ‡usso di fotoni equivalente a un RCM e a un PGM operanti nelle stesse condizioni; tuttavia, a energie maggiori, la superiorità degli ultimi due è rilevante. L’uso principale dei TGM è nella spettroscopia di fotoemissione a bassa energia (UPS).
Oltre gli 800eV ( < l:5nm) i monocromatori a reticolo hanno bassa trasmissione e un alto livello di luce di¤usa, a causa dei piccoli angoli di
CAPITOLO 1. LUCE DI SINCROTRONE 19
incidenza usati. Si ricorre perciò a monocromatori che impiegano come el-ementi disperdenti cristalli di opportuna costante reticolare d per coprire l’intervallo spettrale 0:01 = 2nm. La di¤razione della radiazione da parte di un cristallo è governata dalla nota legge di Bragg, n = 2d sin #B, dove #B
è l’angolo tra la direzione dei raggi X incidenti e il piano ri‡ettente. Nella regione dei raggi X duri è abbastanza facile trovare cristalli con costanti reti-colari utili, mentre nella regione dei raggi X molli la scelta è limitata perché i materiali devono essere compatibili con l’ultravuoto e non venire danneggiati dalla radiazione. La risoluzione in energia,
= = (h )=(h ) = # cot #B (1.17)
è determinata dalla divergenza angolare # e dall’angolo di Bragg #B.
Due fattori contribuiscono a #, la divergenza angolare del fascio incidente e la divergenza intrinseca del cristallo. La prima dipende dalla geometria dell’esperimento, cioè dalla divergenza angolare della sorgente e dalla sua distanza dal cristallo, la seconda dalla perfezione del reticolo cristallino. Per cristalli perfetti la teoria dinamica della di¤razione dà larghezze intrinseche di Bragg di alcuni secondi d’arco e ri‡essività vicine al 100 %. La risoluzione energetica dipende da vari fattori, quali il piano cristallino ri‡ettente (tramite il fattore di struttura Fhkl e la distanza tra i piani dhkl) e dal grado di
po-larizzazione, ed è in buona misura indipendente dall’energia del fotone. Per raggiungere alte risoluzioni in energia ( E=E 10 5 10 7) si usano
cristal-li perfetti di germanio, sicristal-licio, quarzo e calcite con indici di Miller elevati. Poiché nella regione dei raggi X la LS è linearmente polarizzata parallela-mente al piano orbitale, …g. 1.5, i monocromatori a cristallo hanno il piano disperdente perpendicolare al piano orbitale. Per produrre focheggiamento i cristalli vengono curvati. Generalmente, i monocromatori a cristallo sono sep-arati dall’ultravuoto dell’anello di accumulazione da una sottile ( 100 m) …nestra di berillio e, quindi, gli esperimenti sono eseguiti in elio o in vuoto modesto (10 6torr). I tipi più semplici di monocromatori a cristallo non focheggianti utilizzano la ri‡essione di una coppia di cristalli perfetti in con-…gurazione simmetrica. Spesso i cristalli sono tagliati da un blocco monolitico per aumentare il parallelismo delle super…ci ri‡ettenti. Tali monocromatori, denominati channel-cut, hanno moderata risoluzione e l’ovvio vantaggio che il fascio monocromatizzato esce sempre parallelo al fascio incidente. Durante la scansione, il fascio monocromatico trasla parallelamente a sé stesso ed è quindi necessario un meccanismo di inseguimento automatico con precisione meccanica dell’ordine del m. Sono state realizzate versioni con coppie di
cristalli rotanti in senso opposto per non dar luogo a spostamenti laterali del fascio durante la scansione. In molti casi il monocromatore si trova a più di 10m dalla sorgente. A tale distanza il fascio di raggi X ha una sezione di 100 200mmin orizzontale e circa 10mm in verticale. In questo caso è oppor-tuno raccogliere fotoni su un ampio angolo e focheggiarli su un’area piccola, e quindi si ricorre a cristalli curvi con varie simmetrie (Johann, Johansson e a spirale logaritmica). Di solito la sorgente è esterna al cerchio di Rowland e quindi l’immagine è impiccolita. I cristalli di quarzo, di silicio o germanio sono curvati elasticamente con controllo a distanza e montati in geometria di Johann o a spirale logaritmica. Talvolta si usano cristalli mosaico o cristalli con doppia curvatura.
Un problema importante nei raggi X è la soppressione delle armoniche di lunghezza d’onda =2, =3, ecc. A tal …ne si utilizzano …ltri assorbenti, specchi a ri‡essione totale, ri‡essione di due cristalli identici leggermente dis-allineati e ri‡essioni multiple da cristalli di¤erenti. Il fattore di soppressione è tipicamente 103per la seconda armonica e un ordine di grandezza maggiore
per le altre armoniche. Talora e preferibile cambiare l’energia degli elettroni nell’anello di accumulazione senza agire sul sistema ottico.
1.4
Ricerche con LS
Da alcuni anni l’impatto della LS sulla ricerca nella …sica, nella chimica, nella biologia e nelle scienze applicate è considerevole. L’interazione di questa radiazione con la materia presenta aspetti molteplici, dovuti sia alla varietà dei sistemi che si possono studiare, sia all’ampio intervallo spettrale, che si estende dall’infrarosso ai raggi X duri. Ci limiteremo a una breve sinossi di carattere generale, descrivendo le ricerche rese possibili in vari settori dalla peculiarità della LS escludendo da questa prima panoramica la tecnica IXS da noi utilizzata.
Tra i primi studi con LS nella …sica atomica, ricordiamo quelli sulla fo-toionizzazione dell’elio e di altri gas nobili eseguiti al National Bureau of Standards. La distribuzione spettrale della LS consente di variare con con-tinuità l’energia dei fotoni e quindi di produrre transizioni elettroniche dallo stato fondamentale di un atomo a vari stati eccitati legati, risonanti (autoion-izzati) o situati sopra il livello di vuoto. In tal modo sono state determinate le energie di legame degli elettroni nei vari orbitali atomici, le sezioni d’urto di fotoassorbimento e la loro dipendenza dall’energia del fotone su un ampio intervallo di energia. L’alto ‡usso di fotoni ha consentito di eccitare con-temporaneamente più elettroni e di studiarne l’interazione tramite l’analisi
CAPITOLO 1. LUCE DI SINCROTRONE 21
dei pro…li di riga. In…ne, la direzionalità e la polarizzazione della LS hanno permesso studi della distribuzione angolare dei fotoelettroni in funzione della direzione del vettore elettrico della radiazione.
Gli studi di fotoionizzazione e i processi inversi (ricombinazione) sono stati anche estesi alla …sica molecolare. Variando simultaneamente l’energia dei fotoni e quella degli elettroni fotoemessi in modo che la loro di¤eren-za rimanga costante e uguale a quella di un particolare orbitale molecolare (spettroscopia a stato iniziale costante), si misura la sezione d’urto parziale di eccitazione, lo spettro vibrazionale e la natura legante o antilegante di questo orbitale. La comprensione di questi processi è fondamentale per un gran nu-mero di fenomeni, come la catalisi, i trasferimenti di energia tra molecole e gruppi molecolari, le reazioni fotochimiche e per lo sviluppo delle tecniche spettroscopiche nella ricerca applicata (per esempio nei laser). La …sica dei solidi e delle super…ci è un altro campo di grande interesse e di ricerca atti-va. Le prime applicazioni hanno riguardato la spettroscopia di assorbimento e di emissione. Attualmente, le tecniche impiegate sono principalmente la fotoemissione e la luminescenza. Negli esperimenti di fotoemissione la dis-tribuzione continua e la direzionalità della LS hanno reso versatile la tecnica, permettendo l’analisi di fotoelettroni di ben de…nito stato iniziale o …nale in funzione del momento angolare e/o dell’energia dei fotoni (fotoemissione parziale). Gli e¤etti di risonanza nelle sezioni d’urto dei fotoelettroni e la dispersione delle bande di valenza nei solidi cristallini sono tra gli aspetti più interessanti e moderni studiati con questa spettroscopia. La spettroscopia di luminescenza, che è un mezzo diretto per studiare il decadimento di un sistema eccitato, è stata inizialmente utilizzata con luce visibile o nel vicino ultravioletto. La LS ha ampliato l’indagine all’ultravioletto da vuoto. Es-sendo a impulsi, essa è ideale per misure di luminescenza risolta in tempo. L’intensità degli impulsi e la loro forma quasi gaussiana sono completamente riproducibili da impulso a impulso, perché ogni impulso è generato dallo stes-so pacchetto di elettroni circolante. Si posstes-sono pertanto ottenere misure di tempi di vita dell’ordine di 1=100 della durata dell’impulso eccitatore, cioè compresi tra il picosecondo e alcuni nanosecondi.
La LS ha rivitalizzato un gran numero di tecniche classiche per l’analisi strutturale di solidi, liquidi e materiali biologici, quali, per esempio, la dif-frazione dei raggi X. Nella biologia, un fattore limitante è l’intensità delle sorgenti convenzionali. I campioni hanno spesso dimensioni ridotte, di¤ran-gono debolmente la radiazione, essendo per lo più costituiti di atomi leggeri, e alcuni fenomeni interessanti, come la contrazione di un muscolo, sono di natura transiente. La LS ha tutti i requisiti utili per superare queste dif-…coltà: l’alta brillanza permette esposizioni brevi e la struttura temporale rende possibile lo studio della dinamica di nervi e muscoli con l’ausilio di
tecniche di rivelazione basate sull’impiego di rivelatori sensibili alla posizione e all’energia.
Si può aumentare, se necessario, la di¤usione di un atomo particolare in una molecola complessa scegliendo le lunghezze d’onda dei raggi X prossime a quelle di una soglia di assorbimento dell’atomo nella matrice (di¤usione anomala). Inoltre, la tecnica della di¤usione a basso angolo (< 5 ) viene ampiamente usata per misurare ‡uttuazioni della densità elettronica con pe-riodicità maggiore di 2nm. In…ne, la spettroscopia EXAFS, che è tra le più potenti tecniche moderne di analisi strutturale, ha ricevuto un enorme impulso dagli sviluppi recenti di sorgenti di LS nella regione dei raggi X.
Capitolo 2
IXS
Lo studio delle proprietà dinamiche del silicio liquido è stato e¤ettuato uti-lizzando la tecnica spettroscopica di Di¤usione Anelastica dei Raggi X. (IXS = Inelastic X-ray Scattering).
Questa tecnica permette di sondare la dinamica ad alta frequenza nei liquidi e nei sistemi disordinati e di avere accesso allo studio dei moti collettivi della materia, tradizionalmente prerogativa della spettroscopia neutronica.
La peculiarità dell’IXS è infatti quella di utilizzare come sonda i fotoni, ciò fa sì che non esistano, come per altre tecniche, restrizioni cinematiche alla sonda nel coprire lo spazio energia-impulso.
Questa di¤erenza, rispetto ad altre spettroscopie, risulta determinante nello studio dei sistemi disordinati poiché in essi si può avere accesso ad informazioni sulla dinamica collettiva solo attraverso misure compiute in una limitata regione di momenti scambiati che non sono a volte accessibili per altre tecniche.
Il vantaggio di tale tecnica …n qui descritto rappresenta una delle moti-vazioni principali che hanno spinto alla realizzazione della spettroscopia di di¤usione anelastica dei raggi X, nonostante di¢ coltà evidenti ed intrinseche presenti in questa metodologia di indagine delle proprietà della materia.
Se infatti si considera come sonda utilizzata, nello studio delle proprietà dinamiche collettive di un sistema, un fotone di = 0:1nm, esso risulta avere un’energia di 12keV mentre le eccitazione fononiche che deve sondare hanno energie tipiche dei meV ; risulta quindi che il potere risolutivo E= E, necessario per questo genere di studio, è dell’ordine di 107.
La caratteristica fondamentale della tecnica IXS è quindi quella di dover realizzare una misura con una risoluzione elevatissima, tale necessità ha lega-to lo sviluppo di questa spettroscopia a quello delle sorgenti di luce di sin-crotrone; queste infatti, grazie alle peculiarità di collimazione e
maticità del ‡usso di fotoni che possono fornire, hanno reso possibile il raggiungimento della risoluzione necessaria.
2.1
Confronto con INS
L’osservabile sperimentale sotto osservazione è il fattore di struttura dinamico S(Q; E), che è la trasformata di Fourier, nello spazio e nel tempo, della funzione di correlazione densità-densità.
I neutroni, usati nella tecnica dell’INS, sarebbero particolarmente appro-priati per essere utilizzati come particelle-sonda dato che:
1 - la sezione d’urto di scattering neutrone-nucleo è su¢ cientemente de-bole per permettere una grande profondità di penetrazione;
2 - l’energia dei neutroni, con lunghezze d’onda dell’ordine delle distanze internucleari, è dell’ordine dei 100meV , quindi comparabile con le energie delle eccitazioni collettive, associate alle ‡uttuazioni di densità, come i fononi. 3 - l ’impulso del neutrone permette di sondare la zona di dispersione per molti A 1, rispetto alle tecniche di di¤usione anelastica della luce come
lo scattering Brillouin e quello Raman, che possono solo determinare i modi acustici e ottici, rispettivamente, a valori di momenti scambiati molto piccoli. Ci sono situazioni, però, dove l’utilizzo dei fotoni è ancora più vantaggioso rispetto ai neutroni. Un caso speci…co si basa sulla considerazione generale che non è possibile studiare le eccitazioni acustiche che si propagano con una velocità del suono vs usando una particella-sonda con una velocità v più
piccola di vs.
Questo limite non è particolarmente rilevante negli studi di spettroscopia neutronica di campioni cristallini. In tal caso l ’invarianza traslazionale ci permette di studiare le eccitazioni acustiche in zone di Brillouin di più alto ordine, superando, dunque, i limiti cinematici, prima accennati, su branche fononiche con ripide dispersioni.
Al contrario la situazione diviene molto di¤erente per sistemi con disor-dine topologico come liquidi, vetri e gas.
In questi sistemi, di fatto, l’assenza di periodicità impone che le ecci-tazioni acustiche devono essere misurate a piccoli valori di momento scam-biato. I neutroni termici hanno una velocità dell’ordine di 1000m=s e, solo nei materiali disordinati con una velocità del suono più bassa di tale valore
CAPITOLO 2. IXS 25
Figura 2.1: di¤usione anelastica dei raggi x.
(principalmente ‡uidi di atomi pesanti e gas a bassa densità) la dinamica acustica può essere e¤ettivamente studiata.
Un altro vantaggio della tecnica IXS rispetto alla INS risulta dal fatto che attualmente si possono ottenere fasci di radiazione con dimensioni trasversali molto ridotte con i sincrotroni di terza generazione. Questo permette di studiare sistemi con dimensioni ridottissime (anche sotto a 10 6mm3) e grazie
a ciò poter fare misure sul campione in condizioni termodinamiche estreme, come altissime pressioni. Attualmente vi sono quattro beamline dedicate a IXS nel mondo: due a ESRF in Francia, una a APS negli Stati Uniti ed una a Spring-8 in Giappone.
2.2
Sezione d’urto
La cinematica di un processo di di¤usione anelastica da raggi X è illustrata dal seguente schema:
Un fotone di energia iniziale Ein, vettore d’onda kin, e polarizzazione in arrivando sul bersaglio è di¤uso nell’angolo solido d , centrato su
l’an-golo #, il fotone di¤uso avrà un’energia …nale Eout, vettore d’onda kout, e
Se de…nisco per comodità i valori in ingresso con il pedice 0 e quelli in uscita con il pedice 1, dalla legge di conservazione del momento e dell’energia risulta che il momento e l’enegia scambiata dalla sonda con il sistema di¤usore sono rispettivamente ! = E0 E1 e Q = k0 k1.
Nel caso in cui ! << !0, i vettori d’onda k1 e k0 hanno sostanzialmente
lo stesso modulo e conseguentemente il momento scambiato è direttamente connesso all’angolo di di¤usione tramite la relazione:
Q = 2k0sin(#=2) (2.1)
L’intensità del segnale di¤uso è determinata dalla sezione d’urto doppio di¤erenziale @ @!@2
1 che predice la probabilità del processo di di¤usione in un
angolo solido d intorno alla direzione de…nita da k1 con una frequenza !1.
Questa sezione d’urto, funzione dell’energia e del momento trasferito al sistema di¤usore, può essere calcolata considerando l’hamiltoniana di in-terazione H che accoppia il campo elettrico dei fotoni con gli elettroni del bersaglio.
Nel limite debolmente relativistico H è scritta come somma di 4 termini; i primi due prendono in considerazione l’accoppiamento magnetico (termine di Thompson) e quello paramagnetico (termine di assorbimento) tra la corrente di elettroni ed il campo elettrico dei fotoni, gli altri due termini descrivono invece l’accoppiamento dello spin degli elettroni con il campo magnetico dei fotoni, e l’interazione spin-orbita in presenza del campo magnetico.
Gli ultimi due termini sono molto più deboli dei primi due per energie dei fotoni minori dell’energia della massa a riposo dell’elettrone (mc2).
L’espressione esplicita di H è la seguente:
Hi = e2 2mc2 X j A(rj; t)A(rj; t) e mc X j A(rj; t)pj(rj; t) e mc X j sj(r A(rj; t)) e2 2m2c4 X j sj( _A(rj; t) A(rj; t))
Qui la somma è realizzata sugli elettroni del sistema di¤usore, e e m sono rispettivamente la carica e massa dell’elettrone, c è la velocità della luce, p è l’operatore quantità di moto dell’elettrone di¤uso, s è l’operatore spin ed A il potenziale vettore del campo elettromagnetico.
CAPITOLO 2. IXS 27
Assumendo la validità della teoria della risposta lineare nella quale si considera un debole accoppiamento del fascio con il sistema, la sezione d’ur-to doppio di¤erenziale non dipende dall’intensità del fascio incidente e le proprietà del campione sono sondate come se il sistema fosse imperturbato.
Utilizzando il più basso ordine della teoria delle perturbazioni, nell’ipotesi che lo stato iniziale e …nale del fotone siano onde piane, la sezione d’urto può essere espressa come:
@2 @ @!1 = re2!1 !0 X I;Ff D F X je iQrj I E ( 0 1) i !0 mc2 D F X je iQrjs j I E ( 0 1) 1 m X N[ D F X j[ 1pj (k1 1) sj] e ik1rj N E EN Ei !0 i N=2 D N X j[ 0pj (k0 0) sj] e ik0rj I E + + D F X j[ 0pj (k0 0) sj] e ik0rj N E EN Ei !1 D N X j[ 1pj (k1 1) sj] e ik1rj I E ]g2 (EF EI !)
dove re è il raggio classico dell’elettrone, m la sua massa, j Ni è la
fun-zione d’onda che descrive lo stato generale per il sistema di elettroni che di¤ondono con energia EN, e N è proporzionale all’inverso del tempo di
vita dello stato j Ni.
Se l’energia incidente Ei è molto maggiore di !0 è possibile trascurare
EF Ei nel denominatore degli ultimi due termini della precedente
espres-sione, possiamo così riscrivere la sezione d’urto come:
@2 @ @!1 = re2!1 !0 X I;Ff D F X je iQrj I E ( 0 1) i !0 mc2 F X je iQrj iQ rj k2 0 C + sjD I g2 (EF Ei !) dove C = ( 0 1) e D = ( 0 1) + (k1 1)(k1 0) (k0 0)(k0 1) (k1 1) (k0 0).
Qui k0 e k1 rappresentano l’indice rispettivamente del vettore incidente e
di¤uso.
Il primo termine della sezione d’urto rappresenta il termine di di¤usione Thompson ed il secondo è il termine di di¤usione magnetica.
Quest’ultimo termine ha un andamento proporzionale a !0
mc2
2
rispetto al termine Tompson e quindi, per un fotone di energia pari a 10KeV, il termine magnetico è fortemente depresso (intorno a 5 10 4).
Da questa espressione della sezione d’urto che contiene in modo implicito la funzione di correlazione della densità atomica, si può giungere ad una forma che contiene direttamente il fattore di struttura dinamico associato ai moti atomici, grazie alle seguenti considerazioni:
i) si assume la validità dell’approssimazione adiabatica che permette di fattorizzare gli stati del sistema in stati elettronici i quali dipendono solo parametricamente dalle coordinate nucleari jSi = jSei jSni.
Tale approssimazione trascura ogni interazione tra gli elettroni di di¤er-enti atomi e tra gli elettroni di un atomo con il nucleo di un’altro atomo, essa è particolarmente buona per energie scambiate piccole rispetto alle energie di eccitazione degli elettroni negli stati legati che si assume costituiscano la maggior parte degli elettroni sull’atomo considerato.
ii) si considera il caso in cui lo stato elettronico del sistema rimane in-variato nel processo di di¤usione per cui la di¤erenza tra jIi = jIei jIni e
jF i = jFei jFni è unicamente dovuta alle eccitazioni associate alle ‡uttuazioni
di densità atomiche. Utilizzando queste ipotesi si ottiene quindi
@2 @ @!1 = re 0 12 k1 k0 X I;FpI D F X jfj(Q)e iQrj I E 2 (EF Ei !)
dove fj(Q) è il fattore di forma atomico dell’atomo j.
Nell’ipotesi che le unità componenti il sistema siano tutte uguali, questa espressione può essere ulteriormente sempli…cata fattorizzando il fattore di forma ed introducendo il fattore di struttura dinamico
S(Q; !) =X I;F pI D F X je iQrj I E 2 (EF Ei !)
CAPITOLO 2. IXS 29 @2 @ @!1 = re 0 12 k1 k0 jf(Q)j 2 S(Q; !) (2.2)
jf(Q)j corrisponde alla trasformata di Fourier della distribuzione spaziale degli elettroni sull’atomo considerato, che è fornita da:
fl(Q) = Z l(r1::::rz) X l eiQrl l(r1::::rz)dr1::drz
Nel limite di Q ! 0, f(Q) è il numero di elettroni Z dell’atomo l esimo, quando Q aumenta f (Q) diminuisce esponenzialmente, riducendo fortemente l’intensità del segnale inelastico; a grandi valori di Q il suo decadimento è de-terminato in modo predominante dalla trasformata di Fourier degli elettroni interni.
Se il valore di Q è confrontabile con l’inverso della distanza di sepa-razione tra le particelle ed ! è nell’intervallo di energia delle eccitazioni fonon-iche, è possibile avere informazioni sulla di¤usione dalle eccitazioni atomiche collettive.
2.3
Il problema dell’alta risoluzione
Un metodo per ottenere un segnale monocromatico per raggi X può es-sere basato sulla di¤razione di Bragg da un cristallo perfetto, la cui legge è rappresentata da
2dhsin B = h k = h
2 cos 0
ove dh è lo spazio tra i piani del cristallo di ri‡essione con (h; k; l)2 =a,
essendo a il parametro reticolare, h, k, l gli indici di Miller. B è l’angolo
di Bragg tra il raggio incidente ed il piano di di¤razione, è la lunghezza d’onda del raggio di¤ratto, h = 2 =dh è il vettore del reticolo reciproco,
k = 2 = è il vettore d’onda del fotone e l’angolo 0 = =2 B esprime la
Ad un dato ordine di di¤razione la risoluzione in energia relativa ( E=E)h
è una proprietà intrinseca del cristallo, questa quantità è inversamente pro-porzionale al numero di piani coinvolti nel processo di ri‡essione; dalla teoria dinamica della di¤razione da raggi X otteniamo infatti:
E E h = 4red2h VpbCjFhj e M = p2dh btext
dove re è il raggio classico dell’elettrone, V la cella unitaria di volume,
C è il fattore di polarizzazione, b il fattore di simmetria, Fh il fattore di
struttura del cristallo, text è la lunghezza di estinzione ed e M il fattore di
temperatura.
La risoluzione intrinseca di una ri‡essione di Bragg varia al variare di Fh
e dh mentre risulta essere indipendente dall’angolo di Bragg; tale dipendenza
dai parametri Fh e dh, fa si che il potere risolutivo sia legato al numero di
piani cristallini coinvolti nella determinazione delle condizioni di interferenza tra i fotoni incidenti e quelli ri‡essi.
Questo numero di piani è determinato a sua volta dalle probabilità di rif-lessione e trasmissione di un singolo piano, una quantità che non può dipen-dere dalla geometria della di¤usione, ma solo dalle proprietà intrinseche della ri‡essione, ossia dal fattore di forma calcolato per il valore di Q corrispon-dente alla ri‡essione in considerazione, Qh = (2 =a)(h2+ k2 + l2)1=2 ed alla
distanza tra i piani dh = a=(h2+ k2+ l2)1=2.
Si spiega così perché la risoluzione aumenti con l’ordine della ri‡essione e sia inversamente proporzionale alla lunghezza di estinzione text.
Quest’ultima grandezza è infatti proporzionale al numero di piani che contribuisce ai processi di di¤razione, il comportamento di Fh risulta inoltre
essere strettamente connesso al fattore di forma atomico f (Q); il comporta-mento di quest’ultimo è mostrato in …g. 2.2:
Dalla …gura è chiaro che all’aumentare di Qh, e quindi considerando un
ordine maggiore nella ri‡essione, il fattore di forma atomico, che può essere visto come il coe¢ ciente di ri‡essione del campo elettrico, decresce rapida-mente, permettendo così al ‡usso di fotoni di penetrare di più nel cristallo. Le considerazioni qui su riportate valgono tuttavia per un cristallo ideale, ed assumendo che il processo di assorbimento fotoelettrico sia piccolo.
Infatti se l’assorbimento fotoelettrico è rilevante, la lunghezza di pene-trazione dovuta all’assorbimento tabs diviene più piccola della lunghezza di
CAPITOLO 2. IXS 31
Figura 2.2: f (Q):
Nel caso del silicio queste due lunghezze diventano confrontabili a Qh =
30A 1, come conseguenza per valori di Q
h più grandi la risoluzione ideale
non può essere raggiunta poiché la penetrazione teorica del fascio di fotoni nel cristallo è limitata dalla lunghezza di assorbimento.
2.4
La geometria di di¤usione all’indietro
La geometria di di¤usione all’indietro, è utilizzata essenzialmente per due motivi:
i) permette l’utilizzo e¢ ciente del ‡usso di fotoni ad alti ordini di ri‡es-sione.
ii) permette di minimizzare il contributo geometrico alla risoluzione totale dello strumento.
Ogni ordine di ri‡essione possiede una caratteristica accettanza ango-lare chiamata larghezza di Darwin !d. Questa quantità è una diretta
