Metodi associati a MODELLI CONTINU

I modelli continui consentono di valutare le sollecitazioni sui rivestimenti schematizzando quest’ultimo come una trave e il terreno come un continuo deformabile. Alcuni di questi metodi forniscono soluzioni in forma chiusa che permettono di calcolare le sollecitazioni nel rivestimento nota la geometria e le caratteristiche meccaniche del terreno, questi metodi possono essere definiti analitici. Altri metodi, quelli cosiddetti

numerici, prevedono la discretizzazione geometrica del problema analizzato o la

discretizzazione matematica delle equazioni costitutive che regolano il problema come nel caso del Metodo delle Differenze Finite.

 Metodo di Wood (1975)

Il metodo analitico proposto da Wood nel 1975 può essere utilizzato come strumento di primo dimensionamento dei rivestimenti delle gallerie circolari. Nelle ipotesi di stato di deformazione piano, Wood analizza l’interazione tra un semispazio elastico, il terreno, ed un rivestimento circolare, modellato come una trave continua elastica. La variazione di tensioni nel terreno circostante a seguito dello scavo viene trascurata e quindi il carico inizialmente applicato alla struttura è lo stato tensionale litostatico totale. L’ipotesi chiave del metodo è che il rivestimento si deformi, assumendo una forma ellittica.

Come negli altri studi analitici relativi ai problemi di interazione, viene impostato e risolto un sistema di equazioni di equilibrio della struttura e di congruenza dei punti all’interfaccia terreno struttura.

Nell’ipotesi di assenza di attrito tra terreno e rivestimento è possibile calcolare il momento massimo utilizzando l’espressione seguente:

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dove:

- po è la differenza tra la tensione verticale litostatica agente sul

rivestimento nella parte inferiore e superiore rapportata alla tensione litostatica media orizzontale;

- ro è il raggio medio del rivestimento;

- η è il rapporto tra il raggio medio e il raggio di estradosso del rivestimento;

- RS è il rapporto di rigidezza rivestimento terreno e può essere calcolato

con la formula seguente:

RS = [ ( 3 ∙ E ∙ I ∙ ( 1 + υ ) ∙ ( 5 – 6 ∙ υ ) ] / ( EC ∙ υ ∙ η3 ∙ ro4 )

 Metodo di Einstein e Schawartz (1979)

Anche questo metodo analitico considera il rivestimento come una trave immersa in un continuo elastico soggetta ad uno stato di deformazione piano. Rispetto al precedente però non viene fissata alcuna ipotesi circa la forma della deformata assunta dal rivestimento.

Lo stato tensionale che agisce sulla frontiera del continuo elastico è riportata nella figura seguente:

Tesi di laurea di Angelo Papéra

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Gli autori forniscono le espressioni per valutare lo sforzo normale e il momento flettente nel rivestimento nelle due condizioni limite di perfetta aderenza tra rivestimento e terreno e di assenza di attrito all’interfaccia.

Nel caso di perfetta aderenza si hanno le formule seguenti:

N(θ) = [ 0.5 ∙ ( 1 + K ) ∙ ( 1 – a*0 ) + 0.5 ∙ ( 1 + K ) ∙ ( 1 – 2 ∙ a*2 ) ∙ cos( 2 ∙θ ) ] ∙ ( P ∙ R )

M(θ) = [0.5 ∙ ( 1 + K ) ∙ ( 1 – 2 ∙ a*2 ) ∙ cos( 2 ∙θ ) ] ∙ ( P ∙ R2 )

Mentre nel caso di assenza di attrito all’interfaccia si hanno le formule seguenti:

N(θ) = [ 0.5 ∙ ( 1 + K ) ∙ ( 1 – a*0 ) + 0.5 ∙ ( 1 – K ) ∙ ( 1 + 2 ∙ a*2 ) ∙ cos( 2 ∙θ ) ] ∙ ( P ∙ R )

M(θ) = [0.25 ∙ ( 1 – K ) ∙ ( 1 – 2 ∙ a*2 + 2 ∙ b*2 ) ∙ cos( 2 ∙θ ) ] ∙ ( P ∙ R2 )

I termini non noti utilizzati all’interno delle relazioni vengono definiti dagli autori con delle formule relativamente complesse che prendono in considerazione i seguenti aspetti:

- la rigidezza relativa flessionale tra terreno e rivestimento; - la rigidezza relativa estensionale tra terreno e rivestimento;

- il coefficiente di Poisson del terreno elastico equivalente e del materiale costituente il rivestimento.

I risultati di uno studio parametrico effettuato dagli stessi autori mostrano che: minore è la rigidezza relativa e più basse sono le sollecitazioni interne.

 Metodo delle Curve convergenza - confinamento

Il metodo analitico delle Curve convergenza - confinamento si propone di fornire una soluzione semplificata al problema dell’interazione terreno rivestimento, cercando di considerare anche effetti non direttamente riproducibili in ipotesi di stato piano delle deformazioni. Mediante l’introduzione del parametro “tasso di deconfinamento”, il metodo porta in conto anche gli spostamenti che avvengono nella sezione della galleria

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che si sta esaminando, prima che questa sia effettivamente realizzata. Lo scavo di una galleria, infatti, produce deformazioni nel piano della sezione oggetto dello scavo ma anche nella zona di terreno antistante il fronte di scavo. Il metodo ha dunque il merito di superare le trattazioni precedenti ed è adattabile a vari modelli costitutivi del terreno.

La corretta valutazione del tasso di deconfinamento nella sezione considerata risulta essere il passaggio chiave del metodo ed è anche quello in cui il progettista deve avvalersi maggiormente della propria sensibilità. Nel metodo della convergenza- confinamento si sostituisce al problema tridimensionale, un problema bidimensionale in cui lo stato di sforzo intorno allo scavo è ridotto secondo la legge:

σ = ( 1 – λ ) ∙ σ0

dove σ0 rappresenta lo stato tensionale in condizioni indisturbate e il parametro λ, detto

tasso di deconfinamento, è una misura del grado di rilassamento provocato dallo scavo in una sezione della galleria prima che questa venga effettivamente realizzata. Il valore che questo parametro può assumere varia tra 0 e 1, man mano che aumenta il rilascio tensionale intorno allo scavo. Nel caso di scavo effettuato con una TBM si assumere realisticamente λ = 0 visto lo scarso disturbo arrecato all’ammasso durante l’avanzamento dei lavori.

Secondo il metodo convergenza – confinamento le sollecitazioni nel rivestimento possono essere calcolate attraverso le seguenti espressioni:

N = 0.5 ∙ [ n1 ∙ ( 1 + K0 ) + n2 ∙ ( 1 + K0 ) ∙ cos( 2 ∙θ ) ] ∙ ( 1 – λd ) ∙ σ1,0 ∙ R

M = 0.5 ∙ m2 ∙ ( 1 - K0 ) ∙ cos( 2 ∙θ ) ∙ ( 1 – λd ) ∙ σ1,0 ∙ R2

I termini non noti utilizzati all’interno delle relazioni vengono definiti in questo caso con delle formule che prendono in considerazione i seguenti aspetti:

- il tasso di confinamento nel terreno nel momento in cui viene installato il rivestimento;

- il modulo di rigidezza estensionale e flessionale dell’anello; - il momento di inerzia della sezione trasversale del rivestimento - lo spessore dell’anello;

Tesi di laurea di Angelo Papéra

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- il raggio medio dell’anello di rivestimento della galleria; - il modulo di rigidezza tagliante del terreno;

- il coefficiente di Poisson del terreno elastico equivalente e del materiale costituente il rivestimento;

- eventuale sviluppo di attrito tra terreno e rivestimento.

 Metodo numerici

Il migliore risultato dei metodi numerici è sicuramente lo sviluppo dei software di calcolo utilizzati con successo per ogni tipo di analisi ingegneristica. I metodi numerici sono divenuti efficienti ed economici a partire dallo sviluppo dei calcolatori che in particolare nell’ultimo ventennio sono stati dotati di grandi capacità di calcolo e memoria a costi contenuti.

In generale questi programmi, tramite l’applicazione di metodi agli elementi finiti, consentono di eseguire modellazioni che possono considerare anche situazioni complesse come: presenza di altre strutture nelle vicinanze che possono interagire con lo scavo, presenza di falda, moti di filtrazione, stratificazioni complesse, ecc.