Metodi EMPIRIC

Sono metodi che si basano sostanzialmente sulla correlazione tra la profondità della galleria e le caratteristiche geotecniche dell’ammasso che la stessa deve attraversare. Sono procedimenti che si basano sul classificare gli ammassi attraversati attraverso punteggi definiti in base ad esempio alle caratteristiche meccaniche della roccia, all’orientazione e spaziatura delle eventuali fratture e alle condizioni idrauliche. Una volta stabilito il tipo di ammasso i metodi permettono di stimare i carichi agenti sul rivestimento della galleria.

Questi metodi, il più rappresentativo dei quali è quello definito da Bieniawski nel 1976, sono applicabili solo alle gallerie profonde realizzate in ammassi rocciosi.

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1.3.2 Metodi MONODIMENSIONALI

I modelli monodimensionali configurano il rivestimento come fosse una trave elastica alla De Saint Venant, reagente a: sforzo normale, taglio e momento flettente. I vari modelli monodimensionali differiscono nel modo con cui vanno a definire gli eventuali vincoli interni e l’interazione tra terreno e rivestimento che determina la modellazione dei vincoli esterni e l’azione dei carichi.

 Modello di Shultze e Duddeck (1964)

Uno dei più semplici modelli monodimensionali è quello sviluppato nel 1964 da Shultze e Duddeck che hanno ipotizzato il rivestimento monolitico e, nel caso di galleria profonda, immerso in un letto di molle elastiche indipendenti lungo tutta la circonferenza. Nel caso di galleria superficiale, ovvero per la quale il rapporto tra lo spessore della copertura rispetto alla sommità del rivestimento (H) e il diametro della galleria (D) è minore di 3 (H / D < 3), il modello viene adattato eliminando le molle in corrispondenza della corona del rivestimento, come in figura 6.

Figura 6 : schema statico adottato nel metodo di Shultze e Duddeck. [ Rif. 21 ]

La rigidezza delle molle può essere assegnata pari al rapporto tra il modulo edometrico del terreno ed il raggio medio del rivestimento (Duddeck e Herdmann, 1982). Operativamente le azioni sul rivestimento possono essere valutate utilizzando abachi, come quelli riportati in figura 7, validi nel caso in cui il coefficiente di spinta a riposo, k0,

17 Figura 7 : abachi di Shultze e Duddeck per il calcolo delle sollecitazioni nei rivestimenti.

[ Rif. 21 ]

Sulle ordinate sono ripotati i valori assunti da nf e mf, definiti in funzione dei

coefficienti di rigidezza relativa, α e β, dai quali si calcolano gli sforzi normali ed i momenti flettenti. Per questa valutazione si utilizzano le espressioni seguenti:

α = ( Eg ∙ r ) / ( E ∙ I ) β = ( Eg ∙ r ) / ( E ∙ A ) N = γ ∙ H ∙ r ∙ nf M = γ ∙ H ∙ r2 _{∙ m} f dove:

- Eg è il modulo elastico del terreno;

- r è il raggio medio della galleria; - E è il modulo elastico del rivestimento;

- I è il momento di inerzia della sezione trasversale dell’anello di rivestimento;

- A è l’area della sezione trasversale del rivestimento; - H è la profondità a cui si trova l’asse della galleria; - γ è il peso specifico del terreno.

 Modello di Takano (2000)

Altri modelli monodimensionali utilizzano espressioni in forma chiusa per il calcolo delle sollecitazioni sui rivestimenti, ottenute semplicemente imponendo l’equilibrio della

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struttura. Tra questi il più riconosciuto è quello di Takano (2000), recentemente pubblicato nelle linee guida della International Tunnelling Association, I.T.A., che è utilizzabile facendo l’ipotesi che il rivestimento sia un solido monolitico elastico sottoposto ad un sistema di carichi auto-equilibranti agenti come riportato nello schema sottostante dove i carichi agenti sulla struttura sono:

- pe1 e pe2 che rappresentano il carico indotto dallo stato tensionale

verticale efficace del terreno;

- qe1 rappresenta il carico indotto dallo stato tensionale orizzontale

efficace del terreno;

- pw1, pw2 e qw1 rappresentano il carico indotto dalle pressioni neutre,

valutate in condizioni idrostatiche;

- pk rappresenta la reazione del terreno alla deformazione del

rivestimento;

- pg rappresenta il peso proprio del rivestimento;

- po rappresenta un eventuale sovraccarico posto a piano campagna.

Figura 8 : carichi considerati nel metodo Takano. [ Rif. 21 ]

Il carico verticale pe1 può essere valutato utilizzando l’espressione di Terzaghi (1946),

secondo la quale la tensione verticale efficace può essere calcolata attraverso le espressioni seguenti:

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in cui c e φ sono rispettivamente la coesione e l’angolo di attrito del materiale, γ’ il peso specifico del terreno immerso, R il raggio medio del rivestimento e K0 il coefficiente di

spinta a riposo. L’espressione di σv riduce i carichi agenti sulla struttura poiché considera

la capacità autoportante della cavità grazie alla re-distribuzione delle tensioni intorno allo scavo.

Il carico pe2 è un carico verticale diretto verso l’alto pari alla somma di pe1 e del peso

del rivestimento, pg.

Le pressioni neutre verticali, pw1 e pw2; andrebbero calcolate secondo Takano in

condizioni idrostatiche, sempre alla stessa profondità. Inoltre l’Autore segnala che ai carichi indotti dalla tensione efficace del terreno e dalle pressioni neutre, agenti sulla metà inferiore della galleria vanno sommati i carichi derivanti dalla reazione del terreno e dal peso della galleria.

I carichi orizzontali indotti dalle tensioni efficaci del terreno, qe1, vanno calcolati

moltiplicando le tensioni verticali litostatiche per un coefficiente λ, compreso tra il coefficiente di spinta a riposo e il coefficiente di spinta attiva. A questo carico va sommato quello derivante dalla pressione neutra, qw1, e dalla reazione del terreno, pk, dipendente

dalla deformazione del rivestimento.

Questa ultima aliquota è rappresentata dal carico triangolare, che assume valore massimo, pk = k · δ, in corrispondenza delle imposta e valore nullo in corrispondenza delle spalle del rivestimento. Il parametro k rappresenta il modulo di reazione orizzontale del terreno cke ha le dimensioni fisiche di una rigidezza per unità di lunghezza e nelle linee guida I.T.A. è riportato che può essere valutato uguagliandolo alla rigidezza delle molle definita nel metodo di Shultze e Duddeck [1964], mentre δ rappresenta lo spostamento orizzontale dell’imposta causato dai carichi indipendenti dalle deformazioni del terreno.

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 Modello di Lee et alii (2002)

Né il metodo di Shultze e Duddeck, né il metodo proposto dall’I.T.A. possono essere applicati ai rivestimenti non monolitici, come quelli a conci prefabbricati. Tali metodi possono però essere adattati considerando un anello monolitico dotato di una rigidezza flessionale ridotta rispetto a quella della sezione trasversale del concio.

Indicazioni in merito alla valutazione del momento di inerzia equivalente dei rivestimenti costituiti da conci giuntati sono state date per primo da Wood (1975), che propone di considerare un modulo d’inerzia equivalente:

Ie = Ij ∙ ( 4 / n2 )

dove:

- Ij è il modulo di inerzia del concio se n ≤ 4 unità;

- Ij è il modulo di inerzia del giunto se n > 4 unità;

- n è il numero di conci costituenti l’anello.

Lee et alii (2002) hanno proposto un metodo che permette di considerare un rivestimento costituito da conci elastici collegati da molle flessionali anch’esse elastiche, sottoposto ad un carico simile a quello considerato da Takano (2000), tranne che per il carico indotto dalla reazione del terreno nella zona prossima alle imposte come si può notare nella figura 9.

Il metodo proposto è stato utilizzato dagli Autori stessi per eseguire un’analisi parametrica, con lo scopo di verificare la sensibilità del modello alla variazione dei parametri.

Le analisi effettuate hanno permesso di dimostrare che, nel modello, la variazione di rigidezza dei giunti influenza unicamente la distribuzione dei momenti flettenti e anche la loro disposizione influenza poco i momenti flettenti nel rivestimento, sia in termini di distribuzione della sollecitazione, sia in termini di valori assunti, e che il numero di giunti nell’anello di rivestimento ha un’influenza scarsissima, sensibile solo se la rigidezza dei giunti è molto ridotta.

Bisogna però ricordare che il metodo di Lee et alii non considera l’interazione tra anelli di rivestimento successivi che può anche essere apprezzabile considerando anche che gli

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anelli di rivestimento prefabbricato vengono posti in opera assicurandosi che i giunti di anelli successivi non siano mai allineati.

Figura 9 : carichi applicati al rivestimento nel metodo di Lee et al. [ Rif. 21 ]

 Modello di Blom (2002)

Per superare alcuni dei limiti dei metodi finora esposti, Blom (2002), propone un metodo che tiene conto sia dell’interazione tra anelli di rivestimento successivi composti da conci elastici giuntati, sia dell’interazione terreno struttura, modellando il terreno mediante un letto di molle continuo che circonda il rivestimento. Quest’ultimo è costituito da due serie di conci elastici dove ogni serie forma un anello circolare. Lo schema statico adottato da Blom è riportato nella figura seguente:

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22 Figura 10 : particolare dello schema statico adottato da Blom. [ Rif. 21 ]

I giunti longitudinali, ovvero quelli tra i conci di uno stesso anello, vengono modellati mediante molle flessionali di rigidezza cr, mentre i giunti trasversali, ovvero quelli tra

anelli successivi, vengono modellati con molle reagenti a taglio, ovvero che esplicano una forza di reazione proporzionale allo spostamento radiale differenziale tra i due punti ai quali sono applicate.

Nel modello di Blom gli anelli sono sottoposti ad un carico ellittico, che rappresenta lo stato tensionale litostatico totale intorno al rivestimento. Il carico viene scomposto in due aliquote: un carico radiale uniforme, σ0, che induce unicamente una compressione

omogenea del rivestimento, e un carico σ2 che induce invece l’ovalizzazione del

rivestimento.

Figura 11 : carico agente sul rivestimento nel metodo di Blom. [ Rif. 23 ]

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- compressione uniforme, causata dal carico σ0;

- ovalizzazione indotta dalla flessione del rivestimento causata dal carico σ2;

- ovalizzazione indotta dalla rotazione dei giunti, causata dal carico σ2.

Nei calcoli, i carichi vengono ridotti di un’aliquota dipendente dalla reazione del terreno circostante la galleria mediante funzioni valutate mediante un’analisi agli elementi finiti, in modo da portare in conto, anche se in maniera approssimata, l’interazione tra il terreno e il rivestimento.

Operativamente il metodo di Blom può essere schematizzato come segue:

1. Assegnato il carico, si calcolano gli spostamenti dei vari punti del rivestimento per effetto dell’inflessione dei conci trascurando la presenza delle molle, e poi per effetto della sola rotazione delle molle tra i conci dello stesso anello. Il calcolo degli spostamenti viene effettuato mediante il metodo del vincolo ausiliario, ovvero ipotizzando il rivestimento vincolato in maniera fittizia in corona con un incastro. L’entità degli atti di moto rigido soppressi viene calcolata a partire dagli spostamenti dei quattro punti cardinali del rivestimento ovvero i due estremi laterali, l’estremo superiore e l’estremo inferiore.

2. Calcolati gli spostamenti dei punti appartenenti al rivestimento, grazie alle funzioni dedotte mediante le analisi agli elementi finiti, viene calcolata la variazione dello stato tensionale nel terreno intorno alla galleria. In questa fase il terreno viene quindi modellato come un semispazio elastico.

3. Infine vengono calcolati gli spostamenti differenziali dei due anelli successivi nell’ipotesi che gli anelli siano inizialmente sottoposti al medesimo carico e che siano vincolati da molle reagenti a taglio disposte solo in corrispondenza dei giunti trasversali dei due anelli.

Utilizzando le equazioni ricavate ai punti 1,2 e 3 è possibile costruire un sistema che permette di stimare le caratteristiche delle sollecitazioni, nelle ipotesi di comportamento elastico lineare del materiale costituente il rivestimento stesso.

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La metodologia proposta da Blom appare ovviamente più completa di quella suggerita da Lee et alii (2002) o Takano (2000), sia perché considera l’influenza del terreno, e quindi affronta un vero problema d’interazione, sia perché prende in conto anche dell’influenza reciproca tra anelli contigui.