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5.2 Multivibratori astabili
Una interessante applicazione dei circuiti appena studiati senza dubbio è il multivibratore astabile. Esso è un generatore di forma d’onda quadra, au-tooscillante. Il nome astabile deriva dal fatto che il circuito ha due soli stati di
Vi Vi Vu Vu VS1 VS1 VS2 VS2 VOH VOH VOL VOL VR VR
Figura 5.6: Transcaratteristica dei comparatori di soglia con isteresi. In alto quella dell’invertente e in basso quella del non invertente.
+ + V′ OL V′ OH RP U I0
Figura 5.7: Modello circuitale della sola parte di uscita di un generico comparatore di soglia trovabile in commercio.
funzionamento, nessuno dei quali è definitivamente stabile: il circuito rimane per uno degli stati solo per il tempo per il quale dura la stabilità, saltando poi repentinamente nell’altro stato, dove si rimarrà per un certo tempo, e continuare ad oscillare tra uno e l’altro.
Quello che ci serve è dunque un circuito tale per cui, dopo un certo tempo, si abbia una commutazione automatica di stato (autooscillazione). Un’idea, dunque, potrebbe essere la seguente: utilizzando elementi circuitali in grado di accumulare energia, raggiunto un certo livello energetico costringono una certa circuiteria a commutare di stato, passando in una condizione di fun-zionamento in cui l’energia accumulata si scaricherà, fino a far ri-commutare lo stato. Conosciamo elementi in grado di fungere da accumulatori energetici? Certamente: qualsiasi elemento reattivo è in grado di immagazzinare, sotto forme diverse (carica, campo magnetico) energia; dal momento che gli indut-tori non ci stanno molto simpatici, poichè difficili da realizzare, si può intuire che sceglieremo i condensatori.
Si parla di commutazione di stati quando si è raggiunto un certo livello di accumulo energetico, quindi possiamo immaginare che la circuiteria alla base del “misuratore di energia” sarà semplicemente un comparatore di soglia. In particolare sarà invertente: comparando la tensione ai capi di un conden-satore, si riesce a quantificare l’energia presente in esso, dunque a stabilire l’istante della commutazione.
A questo punto possiamo prendere in considerazione e analizzare il fun-zionamento del circuito dello schema 5.8. Come al solito, abbiamo sul
morset-+VAL −VAL Vu VC C R R1 R2
Figura 5.8: Schema circuitale del multivibratore astabile: si nota una certa somiglianza con il comparatore di soglia.
to invertente una corrente pressochè nulla, dal momento che gli stadi di in-gresso di un operazionale hanno o la base di un BJT o ancor peggio il gate di un MOSFET. Dunque, R e C sono in serie: su di essi vi è la stessa corrente! I possibili livelli delle tensioni di uscita del circuito sono come nel com-paratore di soglia: VOH e VOL; il riferimento di tensione è infine collegato a 0 V, dal momento che VR = 0 V (essendo R1 collegata al potenziale di riferimento).
Come funziona questo sistema? Cerchiamo di capirlo, in modo qualitativo, prima di passare al matematichese: una volta acceso il dispositivo, l’uscita si troverà in uno dei due stati, VOLo VOH; supponiamo per ipotesi che lo stato iniziale sia VOH, supposizione che non ci provoca problemi di alcun tipo: i conti son del tutto analoghi, supponendo che l’uscita sia bassa, al momento dell’accensione. Se Vu = VOH, il condensatore tenderà a caricarsi, con un transitorio di tipo esponenziale fino al raggiungimento della tensione VOH, che per lui sarà una sorta di traguardo d’arrivo, ossia, livello di regime V∞. Il fatto che Vu = VOH, dunque, costringe il condensatore a tendere al suddetto livello di tensione, fino a quando non interviene VS1, ossia la tensione di soglia alta, che, appena raggiunta, farà commutare lo stato del circuito, portando l’uscita ad un livello pari a Vu = VOL; il condensatore, vedendo il cambio di tensione, cambia direzione e viaggia verso il traguardo di partenza (!) svuotandosi e
0 Vu VC VOL VOH VS1 VS2 V t T 2 T 3 2T
Figura 5.9: Andamento delle tensioni Vu e VC rispettivamente in blu e rosso. cercando a questo punto di raggiungere un nuovo livello di regime, divenuto
VOL. la storia si ripete: il transitorio esponenziale del condensatore tende a raggiungere questo nuovo punto fino al raggiungimento della soglia VS2, che farà commutare il circuito, la cui uscita tornerà a raggiungere il livello
VOH. Attenzione: la tensione sul condensatore, dunque, ha un andamento a dente di sega (fig. 5.9) ma, quello della Vu, è un’onda quadra (a causa del comparatore di soglia built-in)!
Abbiamo spiegato come funziona il circuito, passiamo al matematichese: a partire dal calcolo della tensione sul condensatore, vC(t), coerentemente con il discorso precedente si considera t = 0 l’istante della seconda commutazione, quella da livello basso a livello alto dell’uscita. Supponendo che le soglie siano equidistanti dal potenziale di riferimento di 0 V, possiamo dire che il periodo del multivibratore astabile sarà il doppio di uno dei due semiperiodi. Dopo la commutazione le tensioni “notevoli” saranno: V∞ = Vu = VOH, V0+ = VS2 e l’impedenza vista dalla capacità C, sarà semplicemente la resistenza R ad essa in serie; ricordiamo dunque la formula del transitorio:
vC(t) = (V0+− V∞) e−τt + V∞
Riepologando tutto ciò che abbiamo finora detto, avremo che:
Quindi:
vC(t) = (VS2− VOH) e−RCt + VOH
Dopo un semiperiodo, t = T
2, dove ovviamente T è il periodo di oscil-lazione del circuito multivibratore (nonchè periodo dell’onda quadra in usci-ta!), si sarà raggiunta, a partire dalla tensione VS2, la tensione VS1, poichè il condensatore si sarà caricato a sufficienza da provocare la commutazione di stato; si può dunque dire che:
VS1 = (VS2− VOH) e−2RCT + VOH
Dal momento che vogliamo trovare T , invertiamo la formula, ottenendo:
e−2RCT = VS1− VOH
VS2− VOH
Calcolandone il logaritmo naturale:
T = −2RC lnVS1− VOH
VS2− VOH
Usando la proprietà del logaritmo, portiamo il “-1” all’esponente, inver-tendo la frazione, e ottenendo l’espressione operativa di T :
T = 2RC lnVS2− VOH
VS1− VOH
Dato che le varie espressioni delle tensioni si potrebbero estrarre dal datasheet dell’amplificatore operazionale in uso, tuttavia è possibile ripren-dere le equazioni ricavate nello studio dei comparatori di soglia, e veripren-dere che: VS1 = VOH R1 R1+ R2; VS2 = VOL R1 R1+ R2
Invertendo e sostituendo, imponendo VOH = −VOL, si trova che:
VOH− VS1 = VOH 1 − R1 R1+ R2 = VOH R2 R1+ R2 VOH− VS2 = VOH 1 + R1 R1+ R2 = VOH 2R1+ R2 R1 + R2 Sostituendo nell’espressione di T : T = 2RC ln VOH2R1+R2 R1+R2 VOHR1R+R2 2 = 2RC ln2R1+ R2 R2
0 t s(t)
Figura 5.10: Esempio di segnale triangolare nel dominio del tempo. Siamo così riusciti ad eliminare la dipendenza dalle tensioni di alimen-tazione, ottenendo una funzione delle sole resistenze della retroazione.
Visto che abbiamo sempre solo parlato di circuiti con ingressi e uscite, ci si potrebbe chiedere qual’è l’ingresso del multivibratore astabile.
Uhmmm... guardiamo il secondo nome del circuito: generatore di onda
quadra. Questo sistema genera, non amplifica o riproduce o attenua o altro!
In quanto generatore, non ha ingressi (a meno dell’alimentazione, che però non è un segnale in ingresso!), dunque non bisogna assolutamente stupirsi del fatto che esso abbia ingressi. Al contrario, esso viene soprattutto usato come ingresso, per circuiti di altro tipo.