Sviluppo del modello FEM strutturale per il calcolo delle deformazioni in campo elasto-plastico

Nel Capitolo 3 è già stato spiegato perché, nel corso di questa tesi, si è scelto di disaccoppiare l’analisi in campo elettro-termico da quella in campo strutturale, usando il

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risultato della prima (cioè il campo termico calcolato) come carico per la risoluzione della seconda. È questo il metodo che si è usato per calcolare le deformazioni della faccia frontale del catodo.

Per costruire un modello, bisogna partire dalle geometrie degli elementi che si considerano: nel nostro caso si è eseguita la semplificazione di considerare solo catodo e linea di trasferimento e supporre rigidi ed indeformabili gli elementi che sono a questi collegati. Si può comprendere come, per una descrizione precisa del sistema dal punto di vista del comportamento meccanico, bisogni includere nel calcolo il comportamento di tutti gli elementi che vanno ad alta temperatura. Si è però deciso di considerare soltanto catodo e linea di trasferimento. Per capire il senso di questa assunzione bisogna pensare a più aspetti: Ansys® permette di trasferire il carico termico proveniente da un analisi precedente attraverso un file di risultati (con estensione .rst) facendo riferimento ai nodi. Tuttavia l’analisi strutturale richiede un reticolo molto più fine rispetto all’analisi elettro-termica, perciò non si può usare questa tecnica. Si potrebbe considerare una temperatura media su ogni volume che compone il modello, ma l’approssimazione non sarebbe trascurabile. Una seconda via sarebbe riportare una serie di andamenti della temperatura in varie zone della geometria, e risolvere un modello accoppiando i campi fisici termico e strutturale; si capisce che per una geometria complessa come quella della sorgente FEBIAD tale procedura richiede molto tempo. Anche adottando una di queste strategie di risoluzione e considerando il modello completo, bisognerebbe considerare le proprietà dei materiali a temperature compatibili con quelle del sistema: per il Tantalio si è proceduto a estrapolare i dati di interesse dalle curve ricavate in letteratura (vedi Appendice C) fino a valori di temperatura superiori ai 2000°C. Per Molibdeno, Acciaio e Allumina i dati non erano disponibili, perciò si è preferito non considerare i componenti realizzati con questi materiali, poiché con il campo termico del sistema si dovrebbe almeno assicurarsi se il comportamento meccanico del materiale sia lineare elastico o diventi non lineare. È chiaro d’altra parte che i vincoli che saranno imposti al sistema come rigidi in realtà dipendono da componenti deformabili.

Una volta deciso che sono catodo e linea di trasferimento i componenti che saranno inclusi nel modello, si può passare alla fase di modellazione.

I componenti che si stanno analizzando sono a geometria assialsimmetrica; l’uso di elementi piani sarebbe dunque una grande semplificazione per la risoluzione del problema in campo non lineare. Per poter sviluppare il modello in questo modo si deve ipotizzare che anche il campo termico sia a simmetria assiale: nonostante il foro le

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temperature rispetto alla distanza radiale variano di molto poco, perciò l’ipotesi è accettabile, come mostra il Grafico 4.7.

Grafico 4.7: temperatura rispetto distanza radiale rilevata in quattro diverse direzioni sulla faccia frontale del catodo. La direzione in cui viene calcolata T1 coincide con quella della finestra di osservazione in senso radiale. Le direzioni di T2, T3 e T4 sono ottenute ruotando rispettivamente di 90°, 180° e

270° attorno all’asse centrale rispetto alla direzione di T1 in senso antiorario. Si nota che lo scostamento fra le

varie serie è minima, perciò il campo di temperatura può essere considerato assialsimmetrico.

Quindi, partendo dalle dimensioni dei componenti riportate nei modelli CAD si è potuto costruire in Ansys® lo schizzo della sezione del sistema formato da catodo e linea di trasferimento che rappresenta una sezione dei pezzi in un piano meridiano (piano passante per l’asse di simmetria, le geometrie sono rappresentate in Figura 4.18).

Figura 4.18: rappresentazione della geometria piana modella in Ansys®. Perché il programma riconosca la simmetria assiale, l’asse deve coincidere con la direzione y del sistema di riferimento assoluto. Sono inoltre indicati i vincoli che saranno applicati al modello (blocco dello spostamento in direzione y) ed è messo in evidenza un dettaglio della suddivisione adottata.

Anche in questo caso le due parti che formano i due diversi componenti sono stati considerati come saldate insieme. Per la discretizzazione delle aree è stata usata una suddivisione di tipo mappato (mesh MAPPED) che permette la creazione di elementi

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regolari e di forma quadrangolare; l’unica zona in cui si è fatto ricorso ad elementi triangolari è quella vicino alla faccia frontale sul canale di passaggio dei gas da ionizzare, dove la geometria consentiva solo la discretizzazione con un reticolo libero (mesh FREE). I vincoli sono stati applicati impedendo la traslazione in senso assiale delle facce alla base della linea di trasferimento e della flangia di supporto del catodo, come si vede in Figura 4.18. Per il grado di libertà in senso radiale sul catodo, è stato anch’esso vincolato poiché si è ritenuto che il fissaggio eseguito con la ghiera di supporto impedisse eventuali spostamenti in tale direzione, mentre la linea di trasferimento è stata lasciata libera (si è verificato comunque che le differenze fra modelli con e senza vincolo radiale sono minori di 0.1 mm per quanto riguarda gli spostamenti in direzione assiale).

Per l’assegnazione del campo di temperatura ai corpi si è usato il seguente metodo: si è scelto come tipo di elemento il PLANE223, che permette analisi accoppiate nei campi elettrico, termico e strutturale. Attivando le corrette impostazioni, i nodi di tutti gli elementi sono stati dotati di tre gradi di libertà, di cui due sono di tipo strutturale (gli spostamenti in direzione assiale e radiale) e uno è termico (la temperatura). Dal modello tridimensionale in campo elettro-termico quindi, si sono ricavati gli andamenti di temperatura lungo diversi percorsi sui corpi considerati, oppure si sono presi i valori su vari spigoli per poi assegnarli ai vari punti; quindi sono state create delle tabelle per assegnare le corrette condizioni al contorno vincolando il grado di libertà termico sui vari lati del modello sviluppato. In questo modo si considera il solo flusso termico per conduzione all’interno dei materiali, che essendo un problema di tipo lineare non incide molto sul tempo di calcolo, mentre il materiale (Tantalio) viene considerato in campo elasto-plastico. In questo modo si evita di dover risolvere il problema del flusso termico radiativo e si possono sfruttare le soluzioni già ottenute dalle analisi precedenti. I punti e gli andamenti di temperatura assegnati al modello piano sono visibili in Figura 4.19.

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Figura 4.19: la rappresentazione mostra gli andamenti di temperatura che sono stati calcolati attraverso il modello tridimensionale e usati come condizione al contorno per il modello piano strutturale. Per riportare la temperatura sui singoli punti (segnati d cerchietti rossi in figura) è stata fatta la media delle temperature dei nodi appartenenti alle linee di bordo del modello solido.

Perciò, il campo di temperatura che si assegna al modello piano è del tutto simile a quello del modello solido elettro-termico. A questo punto non resta che calcolare le deformazioni; tuttavia in qualche caso il catodo usato poteva aver subito precedentemente delle deformazioni plastiche e la faccia frontale poteva presentare delle deformazioni iniziali a freddo, causate o da precedenti riscaldamenti o da deformazioni in campo plastico avvenute in fase di montaggio. Perché il modello fosse congruo con la realtà sperimentale, invece di bloccare la base della linea di trasferimento nella posizione iniziale, si è assegnato uno spostamento iniziale che, attraverso il campo di tensioni esercitato sul sistema, portasse la faccia frontale ad una condizione simile a quella del catodo reale deformato plasticamente già prima del riscaldamento (la deformazione plastica iniziale è spiegata nel paragrafo successivo). La deformazione iniziale da assegnare alla linea di trasferimento è stata calcolata per tentativi, imponendo vari valori fino a che lo spostamento del bordo frontale avesse un valore pari a quello misurato sull’oggetto.

La Figura 4.20 rappresenta la soluzione del modello FEM con deformazione a freddo imposta di 0.58 mm.

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Figura 4.20: soluzione dell’analisi strutturale. Sull’immagine, che rappresenta la deformata, sono riportati i valori degli spostamenti lungo l’asse di simmetria centrale per correnti riscaldanti di 370 A.

I dati ottenuti in questo modo potranno quindi essere confrontati con le prove sperimentali eseguite con il catodo caldo, per poter capire quanto è affidabile il modello numerico. Infatti sappiamo che ci sono varie approssimazioni nel codice FEM sviluppato che potrebbero portare ad un calcolo errato delle deformazioni: oltre ai vincoli, considerati infinitamente rigidi quando invece sappiamo che i componenti che sostengono catodo e linea di trasferimento sono anch’esse deformabili e soggette a dilatazioni termiche, non sono stati considerati i fenomeni dipendenti dal tempo, in particolare lo scorrimento viscoso; inoltre si è già accennato come le proprietà del materiale (Tantalio) per temperature superiori ai 2000°C non siano state trovate direttamente attraverso prove sperimentali ma siano state estrapolate dalle curve presenti in letteratura (in particolare tale procedimento è stato eseguito per le curve vere σ-ε).