Integrali con soluzione

INTEGRALI INDEFINITI / ESERCIZI PROPOSTI

L’asterisco contrassegna gli esercizi più difficili.

1. Calcolare i seguenti integrali usando la linearità dell’integrale:

a) x 2 − 3 x2+ 3 x5 dx.. . . log |x| + 9 4x4 + c b) x 2 − 4 x − 2dx. . . . 1 2x 2_{+ 2x + c} c) 3x 3 − 3 x − 1 dx. . . x 3₊3 2x 2_{+ 3x + c} d) x 1 + xdx. . . [x − log |x + 1| + c] e) x 3_{+ x}2_{+ 1} x − 1 dx. . . . 1 3x 3_{+ x}2_{+ 2x + 3 log |x − 1| + c} f) cos 2_x 1 + sin xdx. . . [x + cos x + c] g) tan2_{x dx. . . [tan x − x + c]} 2. Calcolare i seguenti integrali immediati usando la regola di integrazione per sostituzione:

a) esin xcos x dx. . . esin x+ c b) cos5_{x sin x dx. . . −}cos₆6x+ c

c) cos (log x) x dx. . . [sin (log x) + c] d) 1 x√log xdx. . . 2 √ log x + c e) √ 1 3x + 1dx.. . . . 2 3 √ 3x + 1 + c f) 1 cos2_{(5x + 9)}dx. . . . 1 5tan (5x + 9) + c g) x3sin x4 _{dx. . . −}cos x₄ 4 + c h) xe2x2−1dx. . . 1₄e2x2−1+ c i) x 1 + x2_{dx. . . .} 1 3 1 + x 2 √_{1 + x}2_{+ c} l) x 2 √ 1 − x3dx. . . − 2 3 √ 1 − x3_{+ c} m) x 1 + x4dx. . . . 1 2arctan x 2_{+ c} 1

3. Calcolare i seguenti integrali usando la regola di integrazione per parti:

a) x2log x dx. . . 1₃x3 _{log x −} 1 3 + c b) x2cos x dx. . . x2_{− 2 sin x + 2x cos x + c}

c) x2e2xdx. . . x2_{− x +}1 2

e2x 2 + c d) x cosh (3x) dx. . . 1_{3x sinh 3x −}1₉cosh 3x + c e) (x + 5) log x dx. . . x₂2 _{+ 5x log x −}x₄2 _{− 5x + c}

f) log x

x2 dx. . . − 1+log x

x + c g) _{arctan x dx. . . x arctan x −}1₂log 1 + x2 _{+ c} h) arcsin x dx. . . x arcsin x +√_{1 − x}2_{+ c} i) x cos2x dx. . . 1₂ x sin 2x₂ +cos 2x₄ +x₂2 + c l) e2xcos x dx. . . sin x+2 cos x₅ e2x_{+ c} 4. Calcolare i seguenti integrali di funzioni razionali:

a) x + 2 x2_{− 4x + 4}dx. . . log |x − 2| − 4 x−2 + c b) 2x + 5 x2_{+ 2x − 3}dx. . . . 7 4log |x − 1| + 1 4log |x + 3| + c c) x + 1 x2_{− 2x + 4}dx. . . . 1 2log(x 2_{− 2x + 4) +} 2 √ 3arctan x_√−1 3 + c d) x + 1 x2_{− x + 5}dx. . . . 1 2log(x2− x + 5) + 3 √ 19arctan 2x_√−1 19 + c e) 2x 2_{+ x} (x + 2) (x2_{+ 2x + 6)}dx. . . log |x + 2| + 1 2log x 2_{+ 2x + 6 −√}4 5arctan x+1_√ 5 + c f) 3x − 1 (x − 1) (x − 2)2dx. . . 2 log x−1 x−2 − 5 x−2 + c g) x 4_{− 5x}3_{+ 8x}2_{− 9x + 11} x2_{− 5x + 6} dx. . . . x3 3 + 2x − log |x − 2| + 2 log |x − 3| + c h) 1 (x2_{+ 1)}2dx. . . . 1 2 x 1+x2 +1₂arctan x + c i) 1 (x2_{+ 1)}3dx. . . . 1 8 3x3_+5x (x2₊₁₎2 +3₈arctan x + c l) x 2 (x + 1)4dx. . . − 1 3 3x2_+3x+1 (x+1)3 + c

5. Calcolare i seguenti integrali mediante opportune sostituzioni:

a) e x_{+ 1} e2x_{+ 1}dx. . . x − 1 2log e 2x_{+ 1 + arctan e}x_{+ c} b) (5e x_{+ 4) e}x (ex_{− 2) (e}2x_{+ e}x_{+ 1)}dx. . . 2 log (e x_{− 2) − log e}2x_{+ e}x_{+ 1 + c}

c) x√_{1 − xdx. . . .} 2_{5(1 − x)}2√_{1 − x −}2_{3(1 − x)}√_{1 − x + c} d) 1 + √ x x (1 +√3_x)dx. . . [6 6 √ x + log x − log (1 +√3 x) − arctan√6_{x + c]} e) 1 cos xdx. . . log 1+sin x cos x + c f) 1 2 sin x + cos x − 1dx.. . . . 1 2log tan(x/2) tan(x/2)−2 + c g) cos 2_x 1 − 2 sin2xdx. . . . 1 4log sin x+cos x sin x−cos x + 1 2x + c h) tan3x dx. . . 1 2tan 2_{x −}1 2log 1 + tan 2_{x + c} 6. Calcolare i seguenti integrali mediante la sostituzione suggerita a fianco:

a) x2_{− 1 dx, x = cosh t.. . . .} x 2 √ x2_{− 1 −} 1 2cosh−1x + c b) x2_{+ 1 dx, x = sinh t. . . .} x 2 (1 + x2) + 1 2sinh−1x + c c*) 1 − x 1 + xdx, x = sin t. . . arcsin x + √ 1 − x2_{+ c} d) 1 (x2_{+ 1)}√_x2_{+ 1}dx, x = sinh t. . . . 1 √ x2₊₁+ c e) √ x2_{+ 1} x2 dx, x = sinh t. . . sinh−1x − √ x2₊₁ x + c f) √ x2_{− 1} x dx, t = x 2_{− 1. . . .} √_x2_{− 1 − arctan} √_x2_{− 1 + c} g*) x x2_{+ x + 1 dx, x =} 1 2 √ 3 sinh t − 1 . . . 1₃ x2+ x + 1 3/2₋1₈(2x + 1)√x2_{+ x + 1 −} 3 16sinh−1 2x+1_√ 3 + c 7. Per ciascuno degli integrali a) degli esercizi 1-6 precedenti, determinare la primitiva F (x) della

funzione integranda che si annulla nel punto x0= 1. 8. Calcolare i seguenti integrali:

a) √ x 1 − x4dx. . . . 1 2arcsin x 2 _{+ c} b) √ x x − 1dx. . . 2 √ x − 1 +23(x − 1) √ x − 1 + c c) _√ 1 x (√4_{x − 1)}dx. . . [4 4 √ x + 4 log |√4 x − 1| + c] d) _√ 1 1 − 4x2dx. . . . 1 2arcsin 2x + c e*) 9x2_{− 1dx. . . .} x 2 √ 9x2_{− 1 −} 1 6cosh−1(3x) + c f) 1 ex_{+ 1}dx. . . [x − log (e x_{+ 1) + c]} g) ex+exdx. . . eex+ c h*) √ex_{− 1dx. . . 2}√_ex_{− 1 − 2 arctan} √_ex_{− 1 + c}

i*) √ 1

e−2x_{− 1}dx. . . [arcsin (e x_{) + c]}

l) 1

x + x log xdx. . . [log |1 + log x| + c]

m) log x x 4 + 3 log2xdx. . . . 1 3 4 + 3 log 2_{x + c} n) log x_√ x dx. . . [2 √ x (log x − 2) + c] o) sin2x dx. . . x−sin x cos x

2 + c p) sin3x dx. . . cos3x

3 − cos x + c

q) 1

sin x cos xdx. . . [log |tan x| + c]

r) 1

sin2x cos2_xdx. . . [tan x − cot x + c]

s) cos x 3 − cos2_xdx. . . . 1 √ 2arctan sin x_√ 2 + c t) 4 sin x

4 cos2_{x − 8 cos x + 5}dx. . . [−2 arctan (2 cos x − 2) + c] u*) x arctan (1 + 16x) dx. . . x2 2 arctan (1 + 16x) + 1 512log 1 + (1 + 16x) 2 − x 32+ c 9. Per ciascuna delle seguenti funzioni definite a tratti (continue sul proprio dominio), calcolare tutte

le primitive F (x) e determinare quella che vale 1 in x0= 0: a) f (x) =    x + 2 x − 1 se x < 0 xe3x_{− 2 se x ≥ 0} . . . F (x) = x + 3 log |x − 1| + c se x < 0 x −1 3 e3x 3 − 2x + c + 1 9 se x ≥ 0 , c = 1 b) f (x) = −x 3_{sin π + πx}2 _{se x ≤ 1} x2_{− 8x + 7 se x > 1} . . . F (x) = sin(πx2) 2π2 − x2 cos (πx2) 2π + c se x ≤ 1 x3 3 − 4x 2_{+ 7x + c +} 1 2π− 10 3 se x > 1 , c = 1 c) f (x) = log 1 + 25x 2 _{se x ≤ 1} x log 26 se x > 1 . . . F (x) = x log 1 + 25x 2 _{− 2x +}2 5arctan 5x + c se x ≤ 1 log 26 2 x2+ c se x > 1 , c = 1 d) f (x) =    4x + 1 _{se x ≤ 0} 1 √ 4 − x − 3 se 0 < x ≤ 4 . . . F (x) = 2x 2_{+ x + c − 4 se x < 0} −2√4 − x − 6 log 3 −√4 − x + c se 0 < x ≤ 4 , c = 5

ALTRE SOLUZIONI. Esercizio 7.

a1) F (x) = log |x| + 9 4x4 −9₄

a2) F (x) = esin x_{− e}sin 1 a3) F (x) = 1₃x3 _{log x −}1 3 + 1 9 a4) F (x) = log |x − 2| − 4 x−2 − 4 a5) F (x) = x −1 2log e 2x_{+ 1 + arctan e}x_{− 1 +}1 2log e 2_{+ 1 − arctan e} a6) F (x) = x₂√x2_{− 1 −} 1 2cosh−1x