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ORDINAMENTO 2013 -
PROBLEMA 1
1)
dt
t
x
f
x∫
+
=
02
1
2
cos
)
(
; conx
∈
[ ]
0
;
9
. Per il teorema di Torricelli risulta2
1
2
cos
)
(
'
+
=
x
x
f
, quindif
'
(
π
)
=
21 ed 2 1)
2
(
'
π
=
−
f
2)
La funzione f ’(x) è periodica di periodo
π
4
π
2
1
2
=
=
T
ed il suo grafico si ottiene da quello della funzione di equazione y=cos(x/2) con una traslazione verso l’alto di ½.f(x)=cos(x) f(x)=cos(x/2) f(x)=cos(x/2)+1/2 -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 x f'(x)
f ’(x) ha il massimo assoluto in x=0 e vale 3/2, il minimo assoluto in x=
2
π
e vale – ½, un massimo relativo in x=9 che vale cos(9/2)+1/2≅
0.29. Il grafico di f ’(x) taglia l’asse x quando cos(x/2)+1/2=0, ossia quando2/3
cos(x/2)= - 1/2 , ossia quando
π
3
4
=
x
ex
=
38π
. f(x) cresce da x=0 aπ
3
4
=
x
e dax
=
38π
a 9 , dove la f ’(x) è positiva, decresce daπ
3
4
=
x
adπ
3 8=
x
, dove la f ‘(x) è negativa, quindi ha un massimo inπ
3
4
=
x
ed un minimo inx
=
38π
; in x=9 ha unmassimo relativo e presenta un minimo assoluto in x=0, dove vale 0 poiché
f
∫
t
dt
+
=
0 02
1
2
cos
)
0
(
.Poiché la derivata seconda f “(x) è positiva dove la f ‘(x) cresce e negativa dove decresce, deduciamo che la concavità della f(x) è rivolta verso il basso da 0 a
2
π
e verso l’alto da2
π
a 9; quindi in x=2
π
c’è un flesso. Valutando le aree delle regioni comprese tra il grafico di f ‘(x) e l’asse delle x, si puòqualitativamente notare che f(9)>0 , che
)
>
3
8
(
π
f
0 e che f(9)<)
3
4
(
π
f
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.4 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 4.4x
y
3/3
N.B8
.
3
3
2
1
)
2
/
(
2
2
1
2
cos
)
3
4
(
3 32 4 0 3 4 0≅
+
=
+
=
+
=
∫
π
π
π πt
t
sen
dt
t
f
5
.
2
3
2
1
)
2
/
(
2
2
1
2
cos
)
3
8
(
3 34 8 0 3 8 0≅
+
−
=
+
=
+
=
∫
π
π
π πt
t
sen
dt
t
f
6
.
2
2
/
9
)
2
/
9
(
2
2
1
)
2
/
(
2
2
1
2
cos
)
9
(
9 0 9 0≅
+
=
+
=
+
=
∫
t
dt
sen
t
t
sen
f
La funzione f(x), calcolando l’integrale, ha equazione
f
x
sen
x
x
2
1
)
2
/
(
2
)
(
=
+
3)
Il valor medio di f ‘(x) nell’intervallo
