Formule di matematica tutte!

FORMULARIO

DI

MATEMATICA

CONTENUTI

1.trasformazioni geometriche 2.piano cartesiano 3.retta 4.Parabola 5.Circonferenza 6.Ellisse 7.Iperbole 8.progressioni 9.logaritmi 10.calcolo combinatorio 11.limiti notevoli 12.trigonometria 13.derivate 14.integrali 15.volumi e superfici

1. TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

x '=xa

y ' = yb Traslazione di vettore v = (a;b)

x '=k x

y ' =k y Omotetia di centro l'origine e rapporto k

x '=−x

y ' = y Simmetria rispetto all'asse y

x '=x

y ' =−y Simmetria rispetto all'asse x

x '=−x

y ' =−y Simmetria rispetto all'origine

x '= y

y ' =x Simmetria rispetto alla bisettrice y=x

x '=2k −x

y ' = y Simmetria rispetto alla retta x=k

x '=x

y ' =2h− y Simmetria rispetto alla retta y=h

2. PIANO CARTESIANO

Distanza tra due punti A(xA;yA) e B(xB;yB) AB= (x_A − x_B)2 + (y_A − y_B)2

Punto medio M tra due punti A(xA;yA) e B(xB;yB) 

     + + = 2 ; 2 B A B A x y y x M

3. RETTA Equazione generale ax+ by+ c= 0 Equazione esplicita y= mx+ q Coefficiente angolare: ) ( ) ( B A B A x x y y m − − =

Retta per due punti:

B A B B A B y y y y x x x x − − = − − Rette parallele: 2 2 1 1 q x m y q x m y + = + = 2 1 m m = Rette perpendicolari: 2 2 1 1 q x m y q x m y + = + = 2 1 1 m m = −

Fascio di rette proprio di centro C(xC;yC): (retta per un punto)

(

)

C C C x x x x m y y = − = −

Fascio di rette improprio (rette parallele) parametro k fisso m k x m y 1 1 + =

Distanza di un punto A(xA;yA) da una retta r 0 = + + by c ax _a2 _b2 c by ax AH A A + + + = Asse AB _{( )}2 _{( )}2 _{( )}2 _{( )}2 B B A A y y x x y y x x− + − = − + −

Bisettrice dell’angolo tra due rette: r: a₁x+ b₁y+ c₁ = 0 s: a₂x+ b₂y+ c₂ = 0 22 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 b a c y b x a b a c y b x a + + + ± = + + +

4. PARABOLA Con asse parallelo all’asse y.

a0 ∪ concavità verso l ' alto

a0 ∩

concavità verso il basso

a a y direttrice a b x asse a a a b F fuoco ac b a a b V vertice c bx ax y 4 4 1 : 2 : 4 4 1 ; 2 : 4 4 ; 2 : 2 2 ∆ − − = − =      _{− −} ∆ − = ∆      _{− −} ∆ + + =

Con asse parallelo all’asse x.

istra sin verso concavità a destra verso concavità a ⊃ < ⊂ > 0 0 a a x direttrice a b y asse a b a a F fuoco ac b a b a V vertice c by ay x 4 4 1 : 2 : 2 ; 4 4 1 : 4 2 ; 4 : 2 2 ∆ − − = − =       ₋ ∆ ₋ − = ∆      ₋ ∆ ₋ + + = 5. CIRCONFERENZA Centro C(xC;yC) e raggio r

(

) (

)

0 : . . 2 2 2 2 0 ) 3 ) 2 ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥ − + − + = ⇒ − + = − = ⇒ − = − = ⇒ − = = + + + + = − + − = + c y x E C c y x r r y x c b y y b a x x a c by ax y x r y y x x r y x C C C C C C C C C C C C

6. ELLISSE Equazione con centro nell'origine ₂ 1

2 2 2 = + b y a x

se a > b i fuochi F1 e F2 sono sull’asse x OA: semiasse maggiore = a

OB: semiasse minore = b OF1: semidistanza focale = c

k = PF1 + PF2 = 2a

a2_=b2_+c2 _{eccentricità:} < ₁

a c

se a < b i fuochi sono sull’asse y

OB: semiasse maggiore = b OA: semiasse minore = a

k = PF1 + PF2 = 2b

b2_=a2_+c2 _{eccentricità:} c

b <1

Ellisse traslata di centro C(xC;yC)

(

) (

₂

)

1 2 2 2 = − + − b y y a x x _{C C} 7. IPERBOLE Equazione con centro nell'origine e fuochi

F1e F2 sull'asse delle x 1 2 2 2 2 = − b y a x c2_=a2_+b2 eccentricità: > 1 a c asintoti: x a b y= ±

Iperbole traslata di centro C(xC;yC)

(

) (

)

1 2 2 2 2 = − − − b y y a x x _{C C}

Equazione con centro nell'origine e fuochi F1e F2 sull'asse delle y x2 a2− y2 b2=−1 asintoti: ax b y= ±

Iperbole equilatera _x2 _{− y}2 _{= a}2 _{asintoti: y}= ± _x Iperbole equilatera traslata

di centro C (xC;yC)

(

_{x x}

) (

2 _{y y}

)

2 _a2 c

c − − =

−

Iperbole equilatera riferita agli asintoti x

h y oppure h xy = =

(

)

(

h; h

)

F h ; h vertici 2 2 2 = ± ± = FUNZIONE OMOGRAFICA:

Iperbole equilatera riferita agli asintoti

traslata di centro C (xC;yC) _c a y c d x : assi gli con d cx b ax y oppure x x h y y c c = − = + + = − = −

8. PROGRESSIONI

a_n=a₁n−1 q n-esimo termine di una progressione aritmetica S_n=na1an

2 somma dei primi n termini di una progressione aritmetica

an=a1qn −1  n-esimo termine di una progressione geometrica

Sn=a1q n

−1

q−1 somma dei primi n termini di una progressione geometrica S_n=a₁ 1

1−q somma degli infiniti termini di una progressione geometrica con ∣q∣1

9. LOGARITMI definizione _{y=logbx  b}y =x  blogbx₌x Casi particolari n a a a a a a n n a log log 0 1 log 1 log = = = =

Proprietà dei logaritmi:

( )

(

)

loga 2 1 a log a log a log n a log b log b log b 1 og l b log a log b : a log b log a log ab log 2 1 n 1 -= = = − = = ⇒ = + =

Cambiamento di base logba= log_xa

10. CALCOLO COMBINATORIO

n fattoriale n!=nn−1n−2....2⋅1

Permutazioni semplici

di n oggetti Pn=n! Permutazioni di n

oggetti con ripetizioni q1, q2,... P= n! q₁!q₂!... Disposizioni semplici di n oggetti in k posti Dn ;k=n n−1 n−2....n−k 1 Disposizioni con ripetizione di n oggetti in k posti Dn ;k=n k Combinazioni semplici di n oggetti in k posti Cn ; k=



n k



= n n−1n−2 ....n−k 1 k ! = n! k ! n−k ! Potenza di un binomio abn =



n n



a n 



n n−1



a n−1_b



n n−2



a n−2_b2_...



n 1



ab n−1 



n 0



b n 11. I LIMITI NOTEVOLI 1 0 = → x senx lim x

( )

(

)

( )

1 0

( )

0 0 = = → → f x con lim f x x f sen lim x x x x 2 1 1 2 0 = − → x x cos lim x e x lim x x  =     + ∞ → 1 1

(

x

)

e lim _x x→ + = 1 01 0

(

1

( )

)

( )

0

( )

0 1 = = + → → f x e con lim f x lim x x x f x x

(

)

_{log e} x x log lim a _a x = + → 1 0

(

1

)

₁ 0 = + → x x ln lim x

( )

(

)

( )

1

( )

0 1 0 0 = = + → → f x con lim f x x f ln lim x x x x a ln x a lim x x = − → 1 0 1 1 0 = − → x e lim x x ( )

( )

1 1 0

( )

0 0 = = − → → f x con lim f x e lim x x x f x x

(

)

α _α = − + → x x lim x 1 1 0

12. TRIGONOMETRIA ADDIZIONE E SOTTRAZIONE α β − β α = β − α α β + β α = β + α cos sen cos sen ) sen( cos sen cos sen ) sen( β α + β α = β − α β α − β α = β + α sen sen cos cos ) cos( sen sen cos cos ) cos( β α + β − α = β − α β α − β + α = β + α tg tg 1 tg tg ) ( tg tg tg 1 tg tg ) ( tg α − β + β α = β − α β + α − β α = β + α tg co g cot 1 g cot g cot ) ( g cot tg co g cot 1 g cot g cot ) ( g cot DUPLICAZIONE 2 2 2 2 2 α α α α α α cos sen sen cos sen sen = = 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − = − = − = − = − = − = α α α α α α α α α α α α α α cos cos cos cos sen cos sen cos sen cos cos sen cos cos tg tg tg α α α ₂ 1 2 2 − = g g g α α α cot 2 1 cot 2 cot 2 ₋ = BISEZIONE 2 cos 1 2 α α _{= ±} − sen 2 2 cos 1 2_{α =} − α sen 2 cos 1 2 cosα = ± + α 2 2 cos 1 cos2_{α =} + α α α α α α α α sen sen tg 1 cos cos 1 cos 1 cos 1 2 − ± = + ± = + − ± = α α α α α α α sen sen g 1 cos cos 1 cos 1 cos 1 2 cot = ± + − ± = − + ± = PARAMETRICHE t t sen ₂ 1 2 + = α 2 tg t = α con α ≠ π + 2πk t t 2 2 1 1 cos + − = α 2 tg t = α con α ≠ π + 2πk t t tg ₂ 1 2 − = α 2 tg t = α con α ≠ π + πk e α ≠ π + πk 2 2 2t t g 2 1 cot α = − 2 tg t = α con α ≠ π + πk PROSTAFERESI

13. DERIVATE

FUNZIONE: y=f(x) FUNZIONE DERIVATA: y' = f(x)

y=k y ' =0 y=x y ' =1 y=∣x∣ y ' =∣x∣ x y=x y ' = x−1 y=



x y ' = 1 2



x y=ax _{y ' =a}x_{ln a} y=ex _{y ' =e}x y=lg_ax y ' =1 xlgae y=lnx y ' =1 x y=sen x y ' =cos x y=cos x y ' =−sen x y=tg x y ' =1tg2x oppure y ' = 1 cos2_x y=cotg x _{y ' =−1−cotg}2 x oppure y ' = −1 sen2x y=arc sen x y ' = 1



1−x2 y=ar cos x y ' = −1



1−x2 y=arctg x y ' = 1 1x2 REGOLE DI DERIVAZIONE y= f  xg  x  y ' = f '  xg '  x y=k⋅f  x  y ' =k⋅f '  x  y= f  x⋅g  x y ' = f '  x⋅g  x  f  x ⋅g '  x y= 1 f  x  y ' = − f '  x  f2 x  y= f  x  g  x  y ' = f '  x  g  x − f  x  g '  x  g2x  y= f  g  x  y ' = f '  g  x ⋅g '  x 

14. INTEGRALI INDEFINITI INTEGRALI INDEFINITI

FONDAMENTALI INTEGRALI INDEFINITI GENERALIZZATI

∫

a dx=axk

∫

x dx= x 1 1k con ≠−1

∫

f  x  f '  x  dx=f1x 1 k con ≠−1 se=−1 

_∫

x dx=

_∫

1 xdx=ln∣x∣k

∫

f '  x f  x  dx=ln∣ f  x∣k

∫

sen x dx =−cos xk

_∫

sen  f  x  f '  x  dx=−cos f  xk

∫

cos x dx=sen xk

_∫

cos f  x  f '  x dx=sen f  x k

∫

1tg2x dx=

_∫

1 cos2x=tg xk

∫

1tg 2 f  x  f '  x dx =tg  f  xk

∫

1cotg2_{x dx =}

∫

1

sen2x=−cotg xk

∫

1cotg

2 f  x f '  x  dx=−cotg  f  x k

∫

ex_dx=ex k

_∫

ef x_{f '  x dx=e}f x k

∫

axdx= a x ln ak

∫

a f x f '  x dx=a f x ln ak

∫

1



1−x2dx=arc sen x k

∫

f '  x



1− f2x dx =arc sen f  x k

∫

1 1x2dx=arctg xk

∫

f '  x 1 f2xdx=arc tg  f  xk

15. VOLUMI E SUPERFICI PRISMA RETTO

Areatotale=Pbase⋅h2⋅Abase Volume=Abase⋅h PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO

Areatotale=Pbase⋅h2⋅Abase

Area_totale=2 abacbc 

Volume=A_base⋅h

Volume=abc Diagonale=



a

2

b2c2

CUBO

Areatotale=6 l2 Volume=l3 Diagonale=l



3

PIRAMIDE RETTA

Areatotale= 1

2Pbase⋅apotemaAbase Volume= 1

3 Abase⋅h ap=



h2r2 CILINDRO RETTO

Area_totale=P_base⋅h2⋅A_{base Volume=r}2

⋅h

CILINDRO EQUILATERO: h = 2r

Areatotale=6 r2 Volume=2  r3

CONO RETTO

Areatotale=r⋅ap r

2 _Volume=1

3r 2

⋅h

CONO EQUILATERO: apotema = 2r

Areatotale=3 r2 Volume=



3

3 r 3

SFERA

Areasuperficie sferica=4 r2 Volume=

4 3r