Problemi sulle transizioni di fase

Problemi

:

calore -transizioni di fase

1.

a) Quanto calore occorre per far passare del ghiaccio di massa m = 720 g e temperatura di -10 0_{C allo stato liquido alla temperatura di 15} 0_{C ?} b) supponete di fornire al ghiaccio un calore totale di solo 210 kJ.

Quali sono lo stato finale e la temperatura dell’acqua finale ?

Idea chiave:

Divido il processo in 3 stadi:

stadio 1: il ghiaccio non può fondere a T inferiore al punto di congelamento.

Q₁fornito innalza solo la temperatura da -10 a 0 0_C:

a)

a partire a 1 g di ghiaccio kJ J C C kg K kg J T T m c Q _ghiaccio ( _{f i}) [2220 /( )](0.720 )[00 ( 100 )] 15984 15.98 1 = − = ⋅ − − = ≈

stadio 2: finchè il ghiaccio non è tutto sciolto la temperatura non cambia:

Q₂ ceduto cambia lo stato della sostanza, da solido a liquido:

kJ kg kg kJ mL Q₂ = _F =(333 / )(0.720 )=239.8

stadio 3: calore Q₃ fornito innalza ora la temperatura acqua, fino a 15 0_C:

kJ J C C kg K kg J T T m c Q _acqua ( _{f i}) [4190 /( )](0.720 )[150 (00 )] 45252 42.25 3 = − = ⋅ − = ≈

Calore Q_totrichiesto:

kJ kJ Q Q Q Q_tot = ₁+ ₂ + ₃ =(15.98+239.8+45.25) ≈300

b)

Fornendo solo 210 kJporto il ghiaccio al punto di congelamento (uso 15.98 kJ) e mi resta Q _res= 210 kJ-15.98 kJ = 194 kJ. Non mi basta per fondereTUTTOil ghiaccio.

Idea chiave:

in fusione incompleta il processo termina a T = 00_C

con miscela di acqua e ghiaccio.

m = Q_res/L_F= 194 kJ/(333kJ/kg)=0.583 kg massa di ghiaccio fusa m_ghiaccio= 720 g – 583 g = 137 g massa di ghiaccio restante

2.

Un ferro di cavallo di 1.5 kg inizialmente a 600 0_{C è lasciato cadere in un secchio} contenente 20.0 kg di acqua a 25.0 0_{C. Quale è la temperatura finale ?}

[Trascurare il calore specifico del contenitore e assumere che solo piccola parte di acqua vaporizzi]

N.B.

c

_acqua

= 4186 J/(kg

0

_C)

c

_Fe

= 448 J/(kg

0

_C)

Il trasferimento di calore procede fino a che il ferro di cavallo e l’acqua arrivano alla stessa temperatura finale T.

L’energia persa dal ferro viene assorbita dall’acqua:

C C kg J kg C kg J kg C C kg J kg C C kg J kg c m c m C c m C c m T C T c m C T c m Q Q Fe Fe acqua acqua Fe Fe acqua acqua acqua acqua Fe Fe acqua Fe 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 . 29 ) / 448 )( 50 . 1 ( ) / 4186 )( 0 . 20 ( ) 600 )( / 448 )( 50 . 1 ( ) 0 . 25 )( / 4186 )( 0 . 20 ( ) 600 ( ) 0 . 25 ( 0 ) 25 ( ) 600 ( 0 = + + = + + = = − + − = +

N.B.

il calore specifico dell’acqua è 10 volte quello del Fe

e questo riduce le variazioni di temperatura dell’acqua

.

3.

Un proiettile di piombo di massa 3.00 g a 30.00_{C, alla velocità di 240 m/s, colpisce} un blocco di ghiaccio a 00_{C, rimanendovi conficcato.}

Quanto ghiaccio fonde ?

N.B.

c

_acqua

= 4186 J/(kg

0

_C)

c

_Pb

= 128 J/(kg

0

_C)

In un

sistema isolato

tutta l’energia cinetica iniziale e l’energia interna

del proiettile si trasformano in energia interna di fusione del ghiaccio,

la cui massa si determina dal calore latente di fusione.

Per raggiungere l’equilibrio termico il proiettile deve raffreddarsi a 0

0

_C.

f Pb p p ghiaccio f ghiaccio Pb p p p ghiaccio p p L T c v m m L m T c m v m Q Q K ∆ + = = ∆ + = + ∆ 2 2 2 1 2 1 g kg kg J J J kg J C C kg J s m kg m_ghiaccio 294 . 0 10 94 . 2 / 10 33 . 3 5 . 11 4 . 86 / 10 33 . 3 ) 0 . 30 )( / 128 ( ) / 240 ( 2 1 ) 10 00 . 3 ( 4 5 5 0 0 2 3 = × = × + = × + × = − −

N.B.

la maggior parte dell’energia proviene dall’energia cinetica del proiettile

(88%), mentre l’energia interna del proiettile contribuisce solo per 12%.

4.

Un

adulto a riposodi dimensioni medie converte energia chimica del cibo in energia interna al tasso di 120 W, detto tasso metabolico basale.

Per rimanere a temperatura costante, il corpo deve trasferire energia all’esterno con la stessa rapidità. Vi sono vari processi di espulsione di energia dal corpo:

1) conduzione termica nell’aria a contato con la pelle esposta

(senza cappello si forma corrente di convezione verticale che parte dalla testa); 2) radiazione elettromagnetica;

3) espirazione di aria calda;

4) evaporazione nella traspirazione;

5) umidità emessa dall’alito[caso in questione] !!!

Supponiamo di compiere 22.0 respiri al minuto, ciascuno con un volume V=0.600 l. Assumiamo di inalare aria secca e di emettere aria a T = 37 0_{C, contenente}

vapore d’acqua con pressione p = 3.20 kPa

[N.B. il vapore proviene dalla evaporazione del liquido nel corpo]

Si assuma che il vapore sia un gas perfetto e che il suo calore latente di evaporazione a 37 0_{C sia lo stesso del suo calore latente di ebollizione a 100} 0_C.

Calcolare il tasso al quale si perde energia emettendo aria umida.

Cane

: contrasta aumento di temperatura non con sudore

5.

Una persona mangia a cena una quantità di cibo pari a 2000 Calorie di energia. Vuole fare un lavoro equivalente in palestra sollevando un oggetto di 50.0 kg. Quante volte deve sollevare il peso per spendere tutta questa energia ?

Supporre che l’oggetto venga alzato di h=2 m ogni volta.

Idea chiave:

Si vuole trasferire 2000 Calorie di energia dal corpo compiendo lavoro

sul sistema oggetto-Terra.

1 Cal = 10

3

_{cal = 1kcal}

_{[unità di misura del contenuto di energia del cibo]}

Calcolo il lavoro equivalente in Joule:

W = (2.00 10

6

_{cal)(4.186 J/cal) = 8.37 10}

6

_J

Il lavoro svolto quando si solleva l’oggetto di altezza h è mgh, quindi il

lavoro svolto per sollevare il peso n volte è

W = n mgh = 8.37

10

6

_J

da cui ricavo

Se si solleva il peso una volta ogni 5 secondi, il tempo impiegato è :

volte m s m kg J mgh W n 3 2 6 10 54 . 8 ) 2 )( / 8 . 9 )( 0 . 50 ( 10 37 . 8 _{= ×} = = h h s s s n t 12 3600 10 7 . 42 10 7 . 42 5 ) 10 54 . 8 ( 5 3 3 3 _{× = × =} × _≈ × = × =

Problemi

:

lavoro nelle trasformazioni

termodinamiche

6.

Un gas ideale si espande al doppio del suo volume iniziale V

_i

= 1 m

3

_{, in una}

trasformazione quasi-statica, in cui P = α V

2

_{, con}

_{α= 5.00 atm/m}

6

_{, come}

mostrato in figura.

Quanto lavoro compie il gas nell’espansione ?

Idea chiave:

Il lavoro fatto dal gas nell’espansione

e pari all’area sottesa dalla curva nel piano pV,

valutata fra gli stati iniziale e finale:

[ ]

3

(

3 3

)

2 3 1 3 1 i f V V V V V V if V V V dV V pdV W f i f i f i − = = = =

∫

∫

α

α

α

Sapendo che V

_f

= 2 V

_i

= 2(1.00 m

3

_{) = 2.00 m}

3

(

)

MJ J m m m Pa V V W_{if f i} 18 . 1 10 18 . 1 ) ) 00 . 1 ( ) 00 . 2 )(( / 10 013 . 1 00 . 5 ( 3 1 3 1 6 3 3 3 3 6 5 3 3 = × = − × × = − = α

7.

Determinare il lavoro compiuto dal un fluido nell’espansione da i ad f

mostrata in figura.

Quanto lavoro è compiuto sul fluido se esso è compresso da f ad i ?

Idea chiave:

Il lavoro fatto dal gas nell’espansione

e pari all’area sottesa dalla curva nel piano pV,

valutata fra gli stati iniziale e finale.

Calcolo il lavoro come

somma

delle 3 aree sottese

da ciascun segmento della curva spezzata.

MJ J m Pa m Pa m Pa dV p dV p dV p pdV W V V V V V V V V if f i 0 . 12 10 0 . 12 ) 00 . 3 00 . 4 )( 10 00 . 2 ( ) 00 . 2 00 . 3 ( 2 10 00 . 2 10 00 . 6 ) 00 . 1 00 . 2 )( 10 00 . 6 ( 6 3 6 3 6 6 3 6 3 2 4 3 2 1 = × = − × + −       × + × + − × = + + = =

∫

∫

∫

∫

Il lavoro compiuto sul fluido nel percorso f → i è uguale ed opposto:

MJ pdV W f i V V fi =−

∫

=−12.0

Problemi

:

I principio Termodinamica

8.

Si consideri l’apparecchio di Joule mostrato in figura. Le due masse hanno valore m_p= 1.50 kg ciascuna ed il recipiente, termicamente isolato, contiene m_water=200 g di acqua.

Quale è l’aumento di temperatura dell’acqua dopo che le masse sono scese di h = 3.00 m ?

Idea chiave:

Applico il primo principio della termodinamica

al sistema termicamente isolato.

mgh U W W W W Q E Q pesi palette palette acqua 2 0 0 int = ∆ = = + = − = ∆ =

Infatti il lavoro fatto dai pesi è uguale al lavoro fatto dalle palette sull’acqua. Il lavoro di traduce in una incremento della energia termica dell’acqua.

C C J J C kg J kg m s m kg cm mgh T T cm E mgh acqua acqua 0 0 0 2 int 105 . 0 / 837 2 . 88 ) / 4186 ( 200 . 0 ) 00 . 3 )( / 8 . 9 ( 50 . 1 2 2 2 = = × = = ∆ ∆ = ∆ =

9.

1 kg di acqua liquida alla temperatura di 100 0_{C si trasforma in vapore alla stessa} temperatura bollendo a pressione atmosferica. Il volume passa da un valore iniziale di

1.00 10-3_m3_{dal liquido a 1.671 m}3_{di vapore.}

a) quanto lavoro viene compiuto dal sistema durante questo processo ? b) Quanto calore viene fornito al sistema durante il processo ?

c) quale è la variazione di energia interna del sistema durante il processo di ebollizione ?

kJ J m m Pa V V p dV p pdV W i f V V V V if f i f i 169 10 69 . 1 ) 10 00 . 1 671 . 1 )( 10 013 . 1 ( ) ( 5 3 3 3 5 = × = = ⋅ − × = − = = = −

∫

∫

a)

Idea chiave:

il sistema compie lavoro positivo

in quanto il volume aumenta

b)

Idea chiave:

La temperatura non cambia, dato che il processo è una

transizione di fase:

kJ

kg

kg

kJ

m

L

Q

=

_V

=

(

2260

/

)(

1

.

00

)

=

2260

c)

Idea chiave:

Applico la prima legge della termodinamica:

MJ

kJ

kJ

kJ

W

Q

E

_int

=

−

=

2260

−

169

≈

2090

=

2

.

09

∆

Ho trovato una variazione di energia positiva: ciò è dovuto al

lavoro interno compiuto per vincere le forze attrattive che le molecole

di H

₂

O esercitano fra loro nel liquido.

10.

Due moli di elio gassoso, inizialmente a T_i= 300 K e pressione p = 0.400 atm, subiscono una compressione ISOTERMA fino alla pressione di 1.20 atm.

Assumendo che il gas si comporti come un gas perfetto determinare a) il volume finale del gas;

b) il lavoro compiuto sul gas;

c) l’energia trasferita tramite il calore.

Idea chiave:

applico equazione di stato dei gas perfetti

pV = nRT

ricordandomi che in una compressione isoterma il prodotto pV è costante

3 5

₎

0

.

123

10

013

.

1

400

.

0

(

)

300

)(

/

31

.

8

)(

00

.

2

(

m

Pa

K

K

mol

J

mol

p

nRT

V

V

p

V

p

i i f f i i

=

×

×

⋅

=

=

=

quindi:

3 3

₀

_.

₀₄₁₀

123

.

0

20

.

1

400

.

0

m

m

atm

atm

V

p

p

V

_i f i f

=

=

=

a)

b)

Il lavoro compiuto sul gas è:

kJ K K mole J moli V V nRT dV V nRT dV V nRT pdV W W i f V V V V V V gas gas sul f i f i f i 48 . 5 123 . 0 0410 . 0 ln ) 300 )( / 31 . 8 )( 00 . 2 ( ln 1 = ⋅ − = − = − = − = − = − =

∫

∫

∫

c)

Dal I principio della termodinamica:

J W Q W Q E gas gas 48 . 5 0 int − = = − = = ∆

11.

Una mole di gas idrogeno è riscaldata PRESSIONE COSTANTEda 300 K a 420 K. Calcolare:

a) energia trasferita al gas tramite il calore; b) incremento di energia interna;

c) lavoro svolto sul gas.

Idea chiave:

Poiché la trasformazione è a pressione costante:

T

n

c

Q

=

_p

∆

a)

Calcolo l’aumento di temperatura:

kJ

K

moli

K

mol

J

T

n

c

Q

K

K

T

p

(

28

.

8

/

)(

1

.

00

)(

120

)

3

.

46

120

)

300

420

(

=

⋅

=

∆

=

=

−

=

∆

b)

In una

qualunque

trasformazione vale la relazione:

quindi

T

n

c

E

=

_V

∆

∆

_int

kJ

K

moli

K

mole

J

E

_int

=

(

20

.

4

/

⋅

)(

1

.

00

)(

120

)

=

2

.

45

∆

c)

Dal I principio della termodinamica:

quindi

gas

W

Q

E

=

−

∆

_int

kJ

kJ

Kj

Q

E

W

12.

Un campione di 2.00 moli di gas perfetto con γ = 1.40 si espande lentamente e

ADIABATICAMENTE da pressione p_i= 5.00 atm e volume V_i= 12.0 l a

volume finale V_f = 30.0 l.

a) Quale è la pressione finale del gas ?

b) Quali sono le temperature finali ed iniziali ? c) Trovare Q, E e ∆E_int

[N.B. 1 litro = 1 l = 103_cm3 _{= 10}3 ₍₁₀-2₎3 _m3 _{= 10}-3_m3_]

Idea chiave:

In una trasformazione adiabatica

γ γ f f i i

V

p

V

p

=

a)

Determino la pressione finale del gas:

atm

l

l

atm

V

V

p

p

f i i f

1

.

39

0

.

30

0

.

12

)

00

.

5

(

40 . 1

=













=

















=

γ

b)

Determino le temperature utilizzando la legge dei gas perfetti:

K K mole J m Pa nR V p T i i i 365 ) / 31 . 8 ( 00 . 2 ) 10 0 . 12 )( 10 013 . 1 00 . 5 ( 5 3 3 = ⋅ × × = = − K K mole J m Pa nR V p T f f f _{2.00(8.31 / )} 253 ) 10 0 . 30 )( 10 013 . 1 39 . 1 ( 5 3 3 = ⋅ × × = = −

c)

In una qualsiasitrasformazione termodinamica:

in questo caso:

T

n

c

E

=

_V

∆

∆

_int R R R R c c R c R c c c V V V V V p 2 5 5 . 2 40 . 0 1 1 = = = − = + = + = = γ γ

gas biatomico

J

E

W

W

W

Q

E

Q

J

K

moli

K

mole

J

T

n

c

E

gas gas sul gas V

4660

0

4660

)

365

253

)(

00

.

2

)(

/

315

.

8

(

2

5

int int int

−

=

∆

=

−

=

⇒

−

=

∆

=

−

=

−

⋅

=

∆

=

∆

adiabatica

è il gas che compie lavoro

13.

Un campione di gas perfetto monoatomico occupa 5.00 l a pressione atmosferica e a 300 K (punto A in figura ). Esso è riscaldato a volume costante fino a 3.00 atm (punto B). Poi si espande isotermicamente fino a 1.00 atm (punto C) e infine è compresso

isobaricamente fino allo stato iniziale. a) Quale è il numero di moli del campione ?

b) Trovare la temperatura nei punti B e C ed il volume in C

c) Assumendo che il calore specifico non dipenda da T (E_int=3/2 nRT), trovare l’energia interna nei punti A, B, C.

d) Trovare Q, W e ∆E_intper le trasformazioni A→B, B → C, C → A; e) trovare Q, W e ∆E_int per l’intero ciclo.

[N.B. 1 litro = 1 l = 103_cm3 _{= 10}3 ₍₁₀-2₎3 _m3 _{= 10}-3_m3_]

a)

Calcolo il numero di moli dalla equazione di stato dei gas perfetti:

moli K K mole J m Pa RT pV n 0.203 ) 300 )( / 315 . 8 ( ) 10 00 . 5 )( 10 013 . 1 ( 5 3 3 = ⋅ × × = = −

b)

Trovo la temperatura: K T T K K atm atm T p p T T T p p nRT V p nRT V p B C A A B B B A B A B B B A A A 900 900 300 1 3 = = = = = = ⇒    = =

A→B

isocora

B→C

isoterma

Trovo il volume in C: l l K K V T T V T T V V nRT V p nRT V p A A C C C A C A C C C A A A 0 . 15 00 . 5 300 900 ₌ = = = ⇒    = =

c)

Calcolo le energie interne:

kJ K K mole J moli nRT E E J K K mole J moli nRT E B C B A A 28 . 2 ) 900 )( / 315 . 8 )( 203 . 0 ( 2 3 2 3 760 ) 300 )( / 315 . 8 )( 203 . 0 ( 2 3 2 3 int, int, int, = ⋅ = = = = ⋅ = =

d)

Trovo Q, W e ∆E_intnei vari tratti del ciclo:

A

→B [isocora]:

W=0 kJ kJ E E

E_int = _int,B − _int,A =(2.28−0.760) =1.52 ∆ kJ E Q W Q E_int = − ⇒ =∆ _int =1.52 ∆

B

→C [isoterma]:

kJ W E Q kJ l l K K mole J moli V V nRT dV V nRT dV V nRT pdV W E B C V V V V V V C B C B C B 67 . 1 0 67 . 1 00 . 5 0 . 15 ln ) 300 )( / 315 . 8 )( 239 . 0 ( ln 1 0 int int + = + ∆ = = ⋅ = = = = = = = ∆

∫

∫

∫

C

→A [isobara]:

kJ kJ kJ W E Q kJ m Pa V V p dV p pdV W kJ kJ E E E C A V V V V C A A C A C 53 . 2 01 . 1 52 . 1 013 . 1 ) 10 )( 00 . 15 00 . 5 ( 10 013 . 1 ) ( 52 . 1 ) 28 . 2 760 . 0 ( int 3 3 5 int, int, int − = − − = + ∆ = − = − × = − = = = − = − = − = ∆ −

∫

∫

e)

Trovo Q, W e ∆E

_int

per l’intero ciclo, sommando i contributi

relativi ai vari tratti:

kJ kJ kJ kJ Q Q Q Q kJ kJ kJ W W W W kJ kJ E E E E CA BC AB CA BC AB CA BC AB 656 . 0 53 . 2 67 . 1 52 . 1 656 . 0 013 . 1 67 . 1 0 52 . 1 0 52 . 1

0 int, int, int,

int = − + = + + = = − + = + + = − + = ∆ + ∆ + ∆ = = ∆

Problemi

:

II principio Termodinamica

15.

Una macchina di Carnot oper a tra due sorgenti di temperatura T₁ = 850 K e T₂= 300 K.

Ad ogni ciclo, della durata di 0.25 s, eroga 1200 J di lavoro.

a) quale è il rendimento del motore ?

b) quale è la potenza media del motore ?

c) quanto vale il calore Q

₁

fornito dalla sorgente calda durante il ciclo ?

d) quanto vale il calore Q

₂

ceduto alla sorgente fredda ?

a)

In un ciclo di Carnot il rendimento

dipende solo dalle temperature:

%

65

647

.

0

850

300

1

1

1

1 2 1 2 1 2 1 1

≈

=

−

=

−

=

−

=

−

=

=

K

K

T

T

Q

Q

Q

Q

Q

Q

L

η

b)

La potenza è data da L/t

kW

W

s

J

t

L

P

4800

4

.

8

25

.

0

1200

₌

₌

=

=

c)

Il rendimento è definito come il rapporto fra

il lavoro fatto ed il calore assorbito:

J

J

L

Q

Q

L

1855

647

.

0

1200

1 1

=

=

=

⇒

=

η

η

d)

Il lavoro compiuto equivale alla differenza di calore scambiato:

J

J

J

L

Q

Q

Q

Q

L

655

1200

1855

1 2 2 1

=

−

=

−

=

−

=

16.

Quanto lavoro deve compiere un frigorifero ideale di Carnot per trasformare

0.500 kg

di acqua potabile a 10.0

0

_C

_{in ghiaccio a -20}

0

_C

_?

Si assuma che lo scomparto del frigorifero sia mantenuto a -20.0

0

_C

_{e che il}

frigorifero ceda energia a una stanza a 20.0

0

_C.

N.B.

c

_acqua

= 4186 J/kg

0

_C

_{calore specifico acqua}

L

_F

= 333 kJ/kg

calore latente di fusione

c

_ghiaccio

= 2090 J/kg

0

_C

_{calore specifico ghiaccio}

Per trasformare l’acqua in ghiaccio devo seguire 3 stadi:

1)

Raffreddamento acqua a 0

0

_C;

2)

Trasformazione in ghiaccio a 0

0

_C,

3)

Raffreddamento del ghiaccio a -20 0C.

calore che deve essere prelevato da sorgente fredda

per trasformare acqua in ghiaccio:

J

C

C

C

kg

J

kg

kg

kJ

kg

C

C

C

kg

J

kg

T

mc

mL

T

mc

Q

Q

Q

Q

ghiaccio F acqua f 5 0 0 0 0 0 0 3 2 1

10

08

.

2

)

0

20

)(

/

2090

)(

500

.

0

(

)

/

333

)(

500

.

0

(

)

10

0

)(

/

4186

)(

500

.

0

(

×

−

=

−

−

+

−

−

=

∆

+

+

∆

=

+

+

=

f c f f c f f

T

T

T

Q

Q

Q

W

Q

svolto

lavoro

estratta

energia

COP

−

==

−

=

=

=

kJ

K

C

C

J

T

T

T

Q

W

f f c f

32

.

9

)

273

0

.

20

(

))

0

.

20

(

0

.

20

)(

10

08

.

2

(

5 0 0

=

+

−

−

−

×

=

−

=

17.

Nel 1827 Robert Sterling inventò il “motore a Sterling”, che ha trovato

fin da allora numerose applicazioni.

Il carburante viene bruciato esternamente per riscaldare uno dei due cilindri

della macchina. Una quantità fissa di gas inerte si muove ciclicamente fra

i cilindri, espandendosi in quello caldo e comprimendosi in quello freddo,

secondo il ciclo termodinamico rappresentato in figura.

Date n moli di gas perfetto monoatomico che compie un ciclo reversibile

fra le isoterme a temperatura 3T

_i

e T

_i

, e due trasformazioni a volume

costante, determinare

a) l’energia trasferita tramite il calore al gas, in funzione di n, R e T;

b) il rendimento della macchina.

a)

In un processo isotermico

quindi:

In un processo a volume costante:

quindi:

Il calore complessivo trasferito al gas è quindi:

i f V V V V V V nRT V dV nRT pdV W Q W Q E f i f i ln 0 int = = = = = − = ∆

∫

∫

2 1 ln 2 ln 2 ln 3 2 ln ) 3 ( 3 1 i i i i i i i i nRT V V nRT Q nRT V V T nR Q = = = =

T

nR

Q

W

Q

E

=

−

=

=

∆

∆

2

3

int ) 3 ( 2 3 2 3 ) 3 ( 2 3 2 3 4 4 int, 4 2 2 int, 2 i i i i T T nR T nR E Q T T nR T nR E Q − = ∆ = ∆ = − = ∆ = ∆ = 2 ln 2 3 3 2 1 ln 2 ln 3 4 3 2 1 i i i i i nRT nRT nRT nRT nRT Q Q Q Q Q = + − + = + + + =

b)

Il rendimento della macchina è

ove L = Q (trasformazione ciclica)

e Q

_c

è la somma dei contributi positivi a Q:

c

Q

L /

=

η

% 3 . 27 273 . 0 ) 1 2 (ln 3 / 2 ln 2 ) 3 2 ln 3 /( ) 2 ln 2 ( ) /( / _{1 4} = = + = = + = + = =Q Q_c Q Q Q nRT_i nRT_i nRT_i

η

Problemi

:

entropia

18.

Una mole di azoto si trova confinata nella parte sinistra di un recipiente.

Dopo avere aperto il rubinetto il volume del gas raddoppia.

Quale è la variazione di entropia per questa trasformazione irreversibile ?

[N.B. Supporre che l’azoto si comporti come un gas ideale]

Idea chiave:

Determino la variazione entropica del processo irreversibile riferendola ad un altro processo reversibile che opera tra gli stessi stati termodinamici.

Dato che la temperatura non cambia nell’espansione libera di un gas, utilizzo una

espansione isoterma reversibile:

da cui:

Questa è anche la variazione di entropia per l’espansione libera e per qualunque altra Trasformazione tra i medesimi punti iniziali e finali.

i f V V V V V V nRT V dV nRT pdV W Q W Q E f i f i ln 0 int = = = = = − = ∆

∫

∫

K J K mole J moli V V nR T V V nRT T Q S i f i f rev / 76 . 5 2 ln ) / 315 . 8 )( 00 . 1 ( ln ln + = = = = = ∆

K

J

S

S

_irrev

=

∆

_rev

=

+

5

.

76

/

∆

19.

Determinare la variazione di entropia quando 0.30 kg di piombo fondono a

327

0

_C

_{, assumendo per il piombo un calore latente di fusione}

L

_F

= 24.5 kJ/kg

.

Idea chiave:

Suppongo che il processo di fusione avvenga così lentamente da poter

essere considerato reversibile. In questo caso la temperatura è costante e

pari a T

_f

=327

0

_C.

La quantità di calore richiesta dal processo di fusione è quindi:

a cui corrisponde una variazione di entropia:

F

mL

Q

=

K

J

K

kg

J

kg

T

mL

T

Q

dQ

T

T

dQ

S

f F f rev f rev

/

25

.

12

)

273

327

(

)

/

10

5

.

24

)(

30

.

0

(

1

3

=

+

×

=

=

=

=

=

∆

∫

∫

20.

Una mole di gas perfetto monoatomico, inizialmente alla pressione

di 1.00 atm e volume 0.025 m

3

_{, viene riscaldata fino allo stato finale che ha}

pressione di 2.00 atm e volume 0.040 m

3

_.

Determinare la variazione di entropia del gas.

In ogni processo termodinamico, ad ogni step infinitesimo posso applicare

il I principio:

Se il processo è reversibile:

Dalla equazione di stato dei gas perfetti si ha inoltre:

da cui segue:

V dV nR T dT nc T dQ V dV nRT dT nc pdV dT nc dW dE dQ dW dQ dE V V V + = + = + = + = − = int int ) ln( ) ln( ) ( i f i f V f i V f i rev V V nR T T nc V dV nR T dT nc T dQ S + = + = = ∆

∫

∫

i f i i f f f f f i i i T T V p V p nRT V p nRT V p = ⇒    = = K J m m K mole J moli m atm m atm K mole J moli V V nR V p V p R n V V nR T T nc S i f i i f f i f i f V / 4 . 18 ) 025 . 0 040 . 0 ln( ) / 315 . 8 )( 00 . 1 ( ) 025 . 0 00 . 1 040 . 0 00 . 2 ln( ) / 315 . 8 ( 2 3 ) 00 . 1 ( ) ln( ) ln( 2 3 ) ln( ) ln( 3 3 3 3 = ⋅ + × × ⋅ = = + = + = ∆