Estremo Superiore e Inferiore di un Insieme Numerico..>

ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE DI UN INSIEME NUMERICO

Definizione 1

Siano 0  AR e LR. si dice che il numero L è un maggiorante dell’insieme A se risulta La a A

  . Si dice che l’insieme A è limitato superiormente quando è dotato di maggioranti.

Analogamente si dice che l’insieme A è limitato inferiormente quando è dotato di minoranti cioè se l R

  : l a   . Un insieme 0  Aa A _{R si dice limitato quando risulta limitato sia} superiormente sia inferiormente e cioè l L, : l a L  a A  .Un insieme 0  AR si dice non limitato quando non risulta limitato superiormente, oppure inferiormente, oppure non risulta limitato ne superiormente ne inferiormente.

Osservazione 1

Sia 0  AR e supponiamo che A sia dotato di massimo. Ciò significa che esiste un numero reale :

MA M  a Aa   .

Osserviamo che M è caratterizzato dalle seguenti due proprietà. I) M è maggiorante di A;

II) Non esistono maggioranti di A minori di M.

Conseguentemente M è il più piccolo dei maggioranti di A e analogamente, il minimo di A è il più grande dei minoranti di A.

Osserviamo ancora che non tutti i sottoinsiemi di R hanno massimo o minimo. Ad esempio l’intervallo ]1,2[ non ha ne massimo ne minimo,

Sussiste in proposito il seguente risultato che si dimostra utilizzando l’assioma di completezza di R. Proposizione

L’insieme dei maggioranti (minoranti) di un insieme A limitato superiormente (inferiormente) è dotato di minimo (massimo).

Dim

Indichiamo con B l’insieme dei maggioranti di A. B è non vuoto per ipotesi A è limitato superiormente. Essendo A e B separati per l’assioma di completezza

: c R

  a c b  a A  , b B  Essendo c a   c è un maggiorante di A e quindi ca A B. Essendo c b b B  c è il minimo di B

Il teorema è dimostrato. Definizione 2

Sia 0  AR un insieme limitato superiormente. Il minimo dei maggiorante di A si chiama estremo superiore di A. Analogamente se A è limitato inferiormente il massimo dei minoranti si chiama estremo inferiore di A.

L’estremo superiore e l’estremo inferiore di A si indicano rispettivamente con i simboli supA e infA.

Osservazione 2

Una volta data questa definizione la proposizione precedente si può riformare dicendo che ogni insieme limitato superiormente ha estremo superiore e ogni insieme limitato inferiormente ha estremo inferiore.

Evidentemente se supAA allora supA è anche massimo di A e ,analogamente, se infAA infA è anche il minimo di A.

Si noti ancora che infAsupA perché aA inf A a supA_.

Proposizione (sulle proprietà caratteristiche dell’estremo superiore e inferiore) Sia 0  AR un insieme limitato superiormente. Vale l’equivalenza:

1) ( sup ) 2) 0 a e e A       _{ }    : a A a_ A     a_  e     Analogamente se A è limitato inferiormente

1) ( inf ) 2) 0 : a e a A e A a_ R a_ e          _{ }            Dim

Basta osservare che la proprietà 1) equivale a dire che e” è un maggiorante mentre la proprietà 2) equivale a dire che ogni minore di e” non è un maggiorante. Conseguentemente le proprietà 1) e 2) messe insieme equivalgono a dire che e” è il più piccolo dei maggioranti e cioè, che e” è l’estremo superiore di A.

Definizione 3

Se 0  A_{R è un insieme non limitato superiormente si pone supA}def_{   . In altri termini}

(supA    )def( L 0  a A: a L ) Analogamente A non è limitato inferiormente inf A=. Osservazione 3

Una volta data la nozione di estremo superiore e inferiore di un insieme è facile dimostrare la seguente proporzione.

Proposizione

Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. V.S.i.

(A e B separati e contigui)



supAinf B



ESTREMI DI UNA FUNZIONE REALE

Definizione 1

Sia f X: R _{si dice che f è dotata di massimo in X se il suo condominio f(X) è dotato di massimo}

e cioè se

:

x X

 _ f x( ) f x( ) x X 

Si chimi massimo di f nell’insieme X il massimo del condominio f(X) (se esiste) e si denota col simbolo max_x f . Conseguentemente:

max defmax ( )

x f  f X

Ogni punto x_X : f X( ) max _x f si chiama punto di massimo di f in x. Analogamente si definisce il minimo di f in X (se esiste) ponendo:

min defmin ( )

x f  f X

Osservazione 1

Si noti che il minimo e il massimo di f in X sono unici, invece i punti di minimo e massimo possono essere anche infiniti.

Definizione 2

Sia f X: R. Si dice che f è limitata superiormente (inferiormente), in X se tale è il suo condominio f(X). Si dice f è non limitata superiormente (inferiormente) se tale è il suo condominio f(x).

f è limitata superiormente in x l’estremo superiore del suo condominio f(X) si chiama estremo superiore di f in X e si denota

sup defsup ( )

x

f  f X

Se invece f è non limitata superiormente in X si dice che l’estremo superiore di f in X è  e si pone sup f def  

In conclusione

sup ( ) se f è limitata superiormente

sup

se f non è limitata superiormente f X

f _{ }   In maniera analoga

inf ( ) se f è limitata inferiormente inf

se f non è limitata inferiormente f X

f _{ }   Osservazione 2

Rileviamo esplicitamente che l’estremo superiore come pure l’estremo inferiore non sono in generale valori della funzione.

Evidentemente se  x X : ( ) supf x  f e cioè se l’estremo superiore di f in X è il valore f(x) di f in x allora sup_x f maxx f  f x( ). Analogamente vale per l’estremo inferiore.

SUCCESSIONI NUMERICHE

Definizione 1

Si chiama successione numerica ogni funzione reale definita nell’insieme di numeri naturali N e cioè una legge che ad ogni numero naturale associa un unico numero reale :a N  è unaR successione numerica si pone _andef_{a n( )} n N  e cioè si indica con an il valore della funzione in

n, una volta introdotta questa notazione la successione stessa si denota col simbolo

1, ,...., ,...2 n

a a a

Oppure anche con i simboli più compatti ( )a_{n n N} ; (an)

I valori a a1, ,...., ,...2 an che la funzione a assume nei punti 1,2,…..,n,….. si chiamano termini

della successione più precisamente a1 si chiama primo termine, a2 secondo termine,…..,an termine

n_esimo o anche termine qualunque della successione. Osservazione 1

Il codominio di una successione si chiama anche sostegno della successione. Osservazione 2

Alle volte non è possibile definire una successione numerica il suo termine generale. Consideriamo ad esempio la successione di Fibonacci

1,1,2,3,5,8,13,21,……….. Tale successione è definita dalla seguente proprietà:

1 1, 2 1, n 2 n n 1

a  a  a_ a a_ n N 

Perché ogni termine dopo il secondo è somma dei due termini precedenti. In tali casi si dice che la successione è definita induttivamente(questo so riuscito a tradurre non so se è il termine esatto), ciò significa che ogni termine deve essere calcolato utilizzando termini precedenti.

Osservazione 3

Essendo una successione ( )an è ( )an è limitata superiormente se tale è il suo sostegno e cioè se

: L R

  an L n R 

: l R

  an l n R 

E cioè il suo sostegno è limitato inferiormente.

Infatti la successione ( )an si dice limitata se è limitato sia superiormente che inferiormente e cioè

se L l R,  : l a _n L n R 

Notiamo che se poniamo M max



l L,



_risulta l a _n   L M a_n M  a_n M . Conseguentemente possiamo affermare che

 



a_n limitata



 



M 0 :a_n   M n N



Definizione 2

Col simbolo R che si legge R ampliato si denota l’insieme R   e cioè l’insieme che si



,



ottiene aggregando all’insieme R i due simboli  e  .

Conseguentemente



x R



(x R oppure x   oppure x ). Definizione 3 (intorno di un numero reale)

Sia l un numero reale. Si chiama intorno di l e si denota col simbolo I l( ) ogni intorno aperto (limitato o non limitato) al quale l appartiene.

In altri termini se a,b R e a<b



I l( ) ] , [ a b



 ( ] , [)l a b (a l b  )

Sia ancora  un numero reale positivo. Si chiama intorno di l di centro l e semidimensione  e si denota col simbolo I(l, ) l’intervallo ]l,l[

Conseguentemente



x I l ( , )



    (l  x l )

Chiamiamo infine, intorno di  (di ) e si denota con il simbolo I(  ) (col simbolo I()) ogni intervallo aperto e non limitato superiormente (inferiormente). In simboli

( ) ] , [

I  a  _{ a R (}I(   ) ] , [a _{ a R)}

Osservazione notevole

Si noti che, se l è un numero reale allora ogni intorno di I(l) di l contiene un intorno di centro l, I(l,  ).

Infatti posto I(l)=]a,b[ a<l<b. Posto allora  min



l a l b , 



E cioè indicata con  la più piccola distanza di l dagli estremi a e b dell’intervallo ]a,b[ ( , ) ] , [ ] , [ ( )

I l   l  l  a b I l

Definizione 1

Sia (an) una successione e lR. Si dice che (an) converge a l o anche che (an) ha per limite l o

anche che an tende a l e si scrive

(*) lim_n an l oppure a_n l(si legge a_n tende a l)

Quando la successione (an) verifica la seguente proprietà.

Per ogni numero reale positivo  esiste un indice, cioè un numero naturale v, allora an l 

In simboli dunque:



lim_n an    l



(  0   N n:   an l )

Osservazione 2

Essendo anl    l  an   l  an ]l ,l[

La proprietà di convergenza di (an) si può anche esprimere nella maniera seguente:

: n N n l a l             : n ] , [ N n a l l           

Ricordando che l’intervallo ]l,l[ _{si chiama intorno di l di centro l e semidimensione  e si} denota col simbolo I(l, ), osservando che I(l, ) è assegnato quando è assegnato il numero positivo

 , la definizione di convergenza si può formulare anche come segue:



lim_n an   l



def( I l( , )   N n:   anI l( , ))

Definizione 2

Si dice che la successione (an) diverge positivamente o anche che ha per limite + o anche che n

a tende a + e si scrive



lim_n an  



oppure an  

Quando accade che per ogni M>0 esiste un   tale che se n> N an M

In altri termini



lim_n an    



( M 0   N n:   an M

Osservazione 2

Vediamo esplicitamente che essendo

] , [ ( )

n n

a M a M   I



lim_n an     



( I( )   N n:   an I( )

Definizione 3

Si dice che la successione (an) diverge negativamente ( o anche (an) ha per limite -) e si scrive:

lim _n

n a   oppure an  

Quando (an) verifica la seguente proprietà:

Per ogni M>0 esiste un indice  tale che se n> allora an<-M

In altri termini:



lim_n an    



( M 0   N n:   an  M )

Osservazione 3

Anche ora osservato che an  M an  ] , [M  I( ), la definizione di limite precedente si può anche esprimere



lim_n an     



( I( )   N n:   an I( ))

Definizione 4

Una successione si dice regolare quando ammette limiti (finito o infinito); si dice non regolare o oscillante quando non ammette limite.

Considerando questo paragrafo sulla definizione di limite osservando che poiché ogni intorno I(l) di l contiene un intorno I(l, ) di centro l, le varie definizioni di limite si possono riassumere nell’unica Definizione generale di limite

Sia (an) una successione e lR.



lim_n an   l



( I l( )   N n:   anI l( ))

Teorema sull’unicità del limite

Ogni successione regolare (an) non può tendere a due limiti diversi.

Conseguentemente il limite se esiste è unico Dim

Supponiamo, per assurdo, che (an) ammette due limiti l1 l2

Posto 1 2

2 l l

   >0 per la definizione di limite in corrispondenza di tale numero positivo 

1

: _n

N n a l

  

Ma ciò è impossibile. Infatti per la disuguaglianza triangolare se ciò è vero dovrebbe risultare

1 2 1 n n 2 1 n n 2 2 1 2

l    l l a a   l l a  a  l   l l E cioè l1  l2 l1 l2

Si conclude che l’ipotesi posta nel nostro ragionamento non può sussistere e quindi l1l2

PROPRIETA’ NOTEVOLI DEL LIMITE DI UNA SUCCESSIONE

Proposizione 1 (criterio di convergenza per confronto)(teorema dei carabinieri)

Consideriamo tre successioni (an) , (bn) e (cn) e un numero reale l.

Vale la seguente implicazione

1)

lim

2) lim

lim

n n n n n n _n n n

a

b

c n N

b

l

a

c

l



  





_

_



_

_

_{ }

_

_

_













Dim Per l’ipotesi 2)    0   : N n n l a l n l c l              _{   }  Per l’ipotesi 1): n n n l  a b c  l 

E quindi vale anche la seguente proprietà 0 

    N n:     l  bn  l 

La quale, come sappiamo, esprime appunto che l è il limite della successine (an) per n che tende a

infinito.

Proposizione 2 (criterio di divergenza per confronto) Valgono le seguenti implicazioni

(an bn n N  e lim_n an   )(lim_n bn  )

(a_n b_n  e n N lim _n ) (lim _n )

n b    n a  

Proposizione 3 (criterio della permanenza del segno) Consideriamo una successione (an) convergente. V.S.I.

(lim _n 0( 0)) ( : _n 0 n a      N a   n ) Dim Poniamo lim_n an a R. Consideriamo 0 2 a

   . Per la definizione di limite   :  N 0 2 2

n

a a

a    a n   Corollario 1

Sia (an) una successione convergente V.S.I.

(an 0  n N)(lim_n an0) Dim

Se fosse lim_n an 0, per il teorema della permanenza del segno dovrebbe risultare a_n 0

definitivamente contro l’ipotesi. Corollario 2

Consideriamo le successioni (an), (bn) e supponiamo che tali successioni siano convergenti V.S.I.

(an bn  n N)(lim_n an lim )_n bn

Dim

Consideriamo la successione (an-bn). Essendo per ipotesi an-bn  n N0   dal corollario

precedente risulta lim_n an  bn 0 lim_n an bn lim_n anlim_n bn

Definizione (successione limitata)

Una successione (an) si dice limitata quando il suo sostegno e un insieme limitato e quindi

0 : _n

M a M

   n N  Proposizione 4

Ogni successione convergente è limitata e cioè V.S.I.

(lim _n ) ( 0 : _n

n a  l R   M a M  n N).

Dim

Consideriamo . Per al definizione di limite risulta

: _n 1 N a l      n N  E quindi ( ) 1 n n n a  a   l l a     n l l l   Posto allora



1 2



max , ,..., ,1 M  a a a_ l

Si conclude che

n

a M n N  Osservazione

Si noti che l’implicazione contenuta nella proposizione 4 non si inverte cioè ((a )limitata) n  (( a )convergente)n

Ad esempio le successioni (( 1) )_ n _{è limitata tuttavia oscillante.}

Proposizione 5 (applicazione del teorema dei carabinieri)

Sia (a ) è una successione limitata e (n bn) è una successione infinitesima, la successione (a n bn) e

infinitesima cioè

1)

0 :

(lim

0)

2) lim

0

n n n n n n

M

a

M n

N

a b

b









 





 















Dim Per l’ipotesi 1) n n n n n a b  a b M b Cioè n n n n M b a b M b      n N 

La tesi segue dall’ipotesi 2) e dal teorema dei due carabinieri quando lim_n bn  0 lim_n bn  .0

SUCCESSIONI MONOTONE

Una successione (a ), coerentemente a quanto detto per le finzioni si ha che è monotona se èn

crescente cioè:

m n

n m a a n m N, 

Oppure decrescente cioè:

m n

n m a a n m N, 

In particolare se la disuguaglianza ci dice che queste disuguaglianze valgono in senso stretto, allora si dice anche strettamente crescente strettamente decrescente.

Evidentemente se n N  scegliamo m=n+1 allora

1

(( )an crescente)(an an n N  ) 1

(( )an decrescente)(an an n N  )

Teorema sul limite delle successioni monotone

(( )_n ) (lim _n sup )_n n crescente a a  a  (( )_n ) (lim _n inf _n) n decrescente a a  a 

Conseguentemente ogni successione monotona è regolare. In particolare ogni successione monotona è limitata e convergente.

Dim

Possiamo limitarci a dimostrare la prima implicazione perché la dimostrazione della seconda e del tutto analoga.

Supponiamo in un primo momento (a ) limitata e supponiamon

sup n

e  a  

Per la proprietà caratteristiche che dell’estremo superiore risulta : I°) an e n N 

II°)    0   N a: _  e 

D’altra parte per l’ipotesi di convergenza di (a ) risulta anche:n

III°) n  an a

Dalle proprietà II°, III° e I° si deduce 0 

    N n:     e  a_n  e  E di qui l’asserto per la definizione di limite della convergenza.

Supponiamo (a ) non limitata e supponiamo anche n supan 1

Per definizione vale allora la seguente proprietà: 0 M     N a:  M Nell’ipotesi di convergenza n> an a 0 M     N n:   an a M

E di qui l’asserto per la definizione di limite nel caso della divergenza. Il teorema e’ dimostrato

Osservazione (notevole) Abbiamo visto che, in generale

(( )a_n limitata) (( )a convergente_n ) Il teorema nel limite delle successioni monotone precisa che

(( )an limitata e monotona)(( )a convergenten )

TEOREMI SULLA SOMMA, SUL PRODOTTO E SUL RAPPORTODEI LIMITI

(an bn) ; (a bn n) ; ( ) n n

a b

Si chiamano rispettivamente successione somma, successione prodotto e successione rapporto delle due successioni ( )a_n e ( )b_n

Teorema sul limite della somma

Consideriamo le successioni (a_nb_n)somma delle due successioni ( )a_n e ( )b_n . Vale la seguente implicazione.

(lim _n

n a  a R e limn bn  b R) (lim(n anbn) a b)

In altri termini se le successioni ( )an e ( )bn sono convergenti anche la successioni somma è

convergente e il limite della somma è uguale alla somma dei limiti. Dim Per ipotesi 2 2 0 : 2 2 n n a a a N n b b a                  _{  }      

Sommando membro a membro le due doppie disuguaglianze, risulta anche 0 N n: (a b) an bn (a b)

    

            

E di qui l’asserto per la definizione di limite. Osservazione (notevole)

L’ipotesi di convergenza delle due successioni ( )a_n e ( )b_n che figura nel teorema della somma è molto restrittiva. In effetti tale teorema si può generalizzare se introduciamo in R le seguenti due convenzioni:

1°) se a R si pone

( )

a      a _; a      ( ) a

Perché nel primo caso risulti a e nel secondo a  2°) I simboli

( )

       ;       ( )

Non hanno alcun significato e cioè non denotano alcun elemento di R. Essi si riassumono nell’unico simbolo    che indica la forma indeterminata della somma.

Ciò posto si dimostra il seguente risultato. Teorema generalizzato sul limite della somma

Siano ( )an ,( )bn sono regolari V.S.I. 1) lim ,lim (lim( ) ) 2) n n n n n n n a a R b b R a b a b a b              _{    }   

In altri termini: le successioni ( )an e ( )bn sono regolari anche la successione è uguale alla somma

dei limiti purché non si presenti il caso della forma indeterminata della somma. Osservazione

Il motivo per cui il simbolo  si chiama forma indeterminata sta nel fatto che se una delle due successioni ( )an ,( )bn diverge positivamente e l’altra diverge negativamente, allora, per questo il

limite della somma (an bn) può succedere tutto:

Tale limite può esistere, non esistere, esistere finito o infinito. Teorema sul limite del prodotto

Consideriamo due successioni ( )a_n e ( )b_n convergente V.S.I. (lim _n

n a a limn bn b)(lim(n a bn n) a b)

Dim

Consideriamo la differenza a bn n ab . Sottraendo ed aggiungendo ab e applicando la

disuguaglianza triangolare del valore assoluto, si ha

( ) ( ) ( ) ( )

n n n n n n n n n n n n n n n

a b ab  a b ab ab ab  b a  a a b b  b a a  a b b  b b   b a b b Osserviamo ora che, poiché ((bn) convergente)(( bn) limitato),

0 : _n

M b M

   n N  Inoltre per la definizione di limite

0 

    N n:   a_n  e a  bn b 

Da tutto ciò consegue che 0 

    N n:   a b_{n n}ab M    a  (M  a)

Tenendo conto che la quantità (M  a) può essere ritenuta, come la sola  , quantità positiva arbitraria, l’asserto segue dalla definizione di limite riferita alla successione (a bn n).

Osservazione 3 (notevole)

Anche il teorema sul limite del prodotto si può generalizzare. A tale scopo si introducono le seguenti convenzioni.

( ) a_{   }   se se 0 0 a a   oppure oppure a a     2°) i simboli 0 ( ) ; 0 ( )

Non hanno alcun significato e cioè non denotano alcun elemento di R. Essi si riassumono nell’unico simbolo 0 ( )  che si chiama forma indeterminata del prodotto.

Teorema generalizzato sul limite del prodotto Siano (an) e (bn) due successioni regolari. V.S.I

1 ) lim ,lim (lim ) 2 ) 0 n n n n n n n a a R b b R a b a b a b               _{   }   

In altri termini: se le successioni (an) e (bn) sono regolari anche le successioni prodotto (a bn n) è

regolare e il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti purché non si presenti il caso della forma indeterminata.

Osservazione

I simboli 0 ( )  _{si chiama forma indeterminata perché quando per il prodotto il limite si presenta} con tale forma, allora può succedere di tutto: può esistere, finito o infinito,oppure non esistere. Osservazione 4 (notevole)

Dal teorema nel limite del prodotto si deduce che se (an) è una successione regolare e se c indica

una costante, risulta

lim _n lim lim _n lim _n

n c a  n c n a  c n a

E cioè ogni costante può essere portata fuori dal segno del limite. Teorema sul limite del rapporto

Siano ( ),( )an bn due successioni e supponiamo che risulti bn 0 n N  . In tali ipotesii è lecito

considerare la successione rapporto ( )n

n

a

b .

(lim_n an  a R e lim_n n

 

0 ) (lim( )_n n ) n

a a

b b R

b b

    

In altri termini: se ( )an e ( )bn sono successioni convergenti e di più non infinitesime il limite del

rapporto è uguale al rapporto dei limiti. (Dim NO)

La dimostrazioni di questo teorema è simile alla dimostrazione relativa al limite del prodotto quando si osservi che n

n a b =an 1 n b  _.

Questo teorema naturalmente si può generalizzare. A tale scopo premettiamo una definizione e quattro convenzioni.

Definizione

Si dice che la successione (an) ha per limite il simbolo 0 che si legge zero più, se è infinitesima e

a termini definitivamente positivi. In altri termini

(lim_n an 0 )def(lim_n an 0



     N a: _n 0  )n N Analogamente si introduce il simbolo 0( zero meno) e si ha

(lim_n an 0 ) def(lim_n an  0   N a: n 0  )n N

Osservazione 6

Se aR si pone per convenzione. 1°) a =0 a R  2°) a      _  se se 0 0 a a   e e a a     3°) 0      _  se se 0 0 a a   e e a a     4°) I simboli :  ;  ;  ;  ; 0 0

Non hanno alcun significato e cioè non denotano alcun elemento di R. I quattro simboli  si racchiudono nell’unico simbolo 

. I simboli   e

0

0 si chiamano la forma indeterminata del rapporto.

Ciò premesso si denota il seguente :

Teorema generalizzato sul limite delle successioni

Considerati le due successioni ( ),( )a_n b_n con b_n 0 n N  vale la seguente implicazione:

1) lim lim (lim ) 2) ha significato in R n n n n n n n a a Re b b R a a a _{b b} b         _{ }      

In altri termini: se le successioni ( )an e ( )bn sono regolari e il simbolo

a

b non è una forma

indeterminata oppure il simbolo 0

a

, la successione rapporto ( n

n

a

b ) è regolare è il limite del rapporto

è uguale al rapporto dei limiti. Osservazione notevole

Nell’enunciato di questo teorema abbiamo tolto l’ipotesi b  0 perché con le convenzioni introdotte può essere anche b=0.

In tal caso: se b=0 allora (lim ) 0 n n n a a b     _{ }   se se 0 0 a a   ; invece , se b=0 (lim ) 0 n n n a a b     _{ }   se se 0 0 a a   Conseguentemente; se a 0 , b=0 e b_0 _{allora la successione} n n a b    

  è oscillante. Infatti non può essere convergente perché

0

a R