Quesiti

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Liceo Scientifico 2019 - Quesiti 1/ 7 www.matefilia.it

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LICEO SCIENTIFICO 2019 -

QUESTIONARIO

QUESITO 1

In base ai dati forniti, la funzione deve avere la seguente equazione:

𝑓(𝑥) =5𝑥 (𝑥 − 12 5) 𝑥2_{− 9} = 5𝑥2_{− 12𝑥} 𝑥2_{− 9}

Soluzione alternativa (imponendo le varie condizioni passo passo):

𝑓(0) =𝑝(0) 𝑑 = 0 , 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖: 𝑝(0) = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑑 ≠ 0 𝑓 (12 5) = 𝑝 (12₅) 144 25 + 𝑑 = 0 , 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖: 𝑝 (12 5) = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑑 ≠ − 144 25

lim

𝑥→±3 𝑝(𝑥) 𝑥2_{+ 𝑑}= ∞ , 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑥2+ 𝑑 = 0 𝑝𝑒𝑟 𝑥 = ±3, 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖 𝑑 = −9

Affinché 𝑦 = 5 sia asintoto deve essere:

lim

𝑥→∞

𝑝(𝑥)

𝑥2_+𝑑= 5 , quindi p(x) deve essere un polinomio di secondo grado del tipo: 𝑝(𝑥) = 5𝑥

2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐} Essendo 𝑝(0) = 0 𝑠𝑖 ℎ𝑎 𝑐 = 0 ; da 𝑝 (12₅) = 0 segue: 0 = 5 ∙144₂₅ +12₅ 𝑏, 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑖: 𝑏 = −12 Si ha perciò: 𝑓(𝑥) = 𝑝(𝑥) 𝑥2_{+ 𝑑} = 5𝑥2_{− 12𝑥} 𝑥2_{− 9} , 𝑥 ≠ ±3

Determiniamo ora i punti di massimo e di minimo relativi di f.

𝑓′(𝑥) =(10𝑥 − 12)(𝑥

2_{− 9) − 2𝑥(5𝑥}2_{− 12𝑥)}

(𝑥2_{− 9)}2 ≥ 0 𝑠𝑒: (10𝑥 − 12)(𝑥

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Eseguendo i calcoli e semplificando si ha: 2𝑥2− 15𝑥 + 18 ≥ 0 ∶ 𝑥 ≤3

2 𝑣𝑒𝑙 𝑥 ≥ 6 , 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ ±3 .

Quindi la funzione è crescente per: 𝑥 < −3; −3 < 𝑥 <3

2; 𝑥 > 6 𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑟 3 2< 𝑥 < 3, 3 < 𝑥 < 6: 𝑥 =3 2 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑥 = 6 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

QUESITO 2

Si ha: 𝑔(𝑥) = 𝑥(1 + 𝑥2+ 𝑥4+ ⋯ + 𝑥2018) = 0 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑥₀= 0 𝑒𝑠𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 1 + 𝑥2+ 𝑥4+ ⋯ + 𝑥2018≥ 1

Osserviamo che per 𝑥 → +∞ 𝑔(𝑥)~𝑥2019_{, quindi:}

lim

𝑥→+∞

𝑔(𝑥)

1,1𝑥 =_𝑥→+∞

lim

𝑥2019

1,1𝑥 = 0+ , perché 1,1𝑥 è infinito di ordine superiore ad 𝑥2019 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → +∞ .

N.B.

𝑔(𝑥) è la somma dei primi 1010 termini di una progressione geometrica con primo termine 𝑎1= 𝑥 e

ragione 𝑞 = 𝑥2. Si ha quindi: 𝑆𝑛= 𝑎1 1 − 𝑞𝑛 1 − 𝑞 = 𝑥 1 − 𝑥2𝑛 1 − 𝑥2 = 𝑥 1 − 𝑥2020 1 − 𝑥2 ~𝑥2019 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → +∞

Soluzione alternativa della prima parte del quesito

La funzione 𝑔(𝑥) è una funzione polinomiale intera, quindi è definita e continua su tutto R. Inoltre è dispari essendo 𝑔(−𝑥) = −𝑔(𝑥). Per una conseguenza del Teorema degli zeri, essendo

lim

𝑥→±∞𝑔(𝑥) = ±∞, la

funzione si annulla almeno una volta. Ma la derivata di 𝑔(𝑥), funzione pari, è:

𝑔′(𝑥) = 1 + 2𝑥2_{+ 3𝑥}2_{+ 5𝑥}2_{+ ⋯ + 2019𝑥}2018_{> 0 𝑝𝑒𝑟 𝑜𝑔𝑛𝑖 𝑥}

Quindi g è strettamente crescente in tutto il suo dominio, perciò si annulla una sola volta: abbiamo così

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QUESITO 3

𝑆 = 2𝑙2+ 4𝑙 ∙ ℎ = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑦 = 8𝑙 + 4ℎ = 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜, 𝑐𝑜𝑛 𝑙 > 0 𝑒 ℎ > 0 Esprimiamo y in funzione di l: ℎ =𝑆 − 2𝑙 2 4𝑙 , 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖: 𝑦 = 8𝑙 + 𝑆 − 2𝑙2 𝑙 = 6𝑙2+ 𝑆 𝑙 = 6𝑙 + 𝑆 𝑙 𝑦′= 6 − 𝑠 𝑙2≥ 0 𝑠𝑒 6𝑙 2_{− 𝑆 ≥ 0: 𝑙 ≤ −√}𝑆 6 𝑣𝑒𝑙 𝑙 ≥ √ 𝑆 6 Quindi 𝑦, continua nei limiti geometrici su l, è decrescente per 0 < 𝑙 < √𝑆₆ e crescente per 𝑙 < √𝑆₆ ∶

𝑦 ℎ𝑎 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑙 = √𝑆 6 𝑒 ℎ = 𝑆−2𝑙2 4𝑙 = √ 𝑆 6

La somma delle lunghezze degli spigoli è minima quando il parallelepipedo è un cubo di spigolo √𝑆

6.

QUESITO 4

Posto 𝑃 = (𝑥; 𝑦; 𝑧), il luogo richiesto è il seguente:

√(𝑥 − 2)2_{+ 𝑦}2_{+ (𝑧 + 1)}2_{= √2 ∙ √(𝑥 + 2)}2_{+ (𝑦 − 2)}2_{+ (𝑧 − 1)}2

Elevando al quadrato e semplificando si ottiene:

𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2+ 12𝑥 − 8𝑦 − 6𝑧 + 13 = 0

Il luogo è una sfera S con centro 𝐶 = (−6; 4; 3) e raggio:

𝑟= √𝑎 2 4 + 𝑏2 4 + 𝑐2 4 − 𝑑 = √36 + 16 + 9 − 13 =√48 = 4√3 = 𝑟. Verifichiamo che 𝑇 = (−10; 8; 7) appartiene ad S:

100 + 64 + 49 − 120 − 64 − 42 + 13 = 0 , 0 = 0 ∶ 𝑇 ∈ 𝑆

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Parametri direttori della retta CT (coincidenti con quelli del piano 𝜋):

𝑎 = −10 + 6 = −4 , 𝑏 = 8 − 4 = 4 , 𝑐 = 7 − 3 = 4

𝜋: 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑇) + 𝑏(𝑦 − 𝑦𝑇) + 𝑐(𝑧 − 𝑧𝑇) = 0 , −4(𝑥 + 10) + 4(𝑦 − 8) + 4(𝑧 − 7) = 0

Piano tangente in T ad S: 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 25 = 0 .

QUESITO 5

a) La somma dei 4 numeri non supera 5 se si hanno quattro 1 oppure tre 1 ed un 2. Si hanno quattro 1 in 1 solo caso e tre 1 ed un 2 in 4 casi (il 2 può essere nel primo, nel secondo, nel terzo o nel quarto dado). Quindi i casi favorevoli sono 1+4=5. I casi possibili sono 64 (disposizioni con ripetizione di 6 oggetti, i numeri delle facce di ogni dado, a 4 a 4, il numero dei dadi). Quindi:

𝑝 = 5

64=

5

1296≅ 0,0039 ≅ 0.4 %

b) Il prodotto dei quattro numeri è multiplo di 3 se su almeno un dado esce 3 oppure 6.

Supponiamo che esca il 3 oppure il 6 nel primo dado; negli altri tre dadi può uscire un numero qualsiasi. In questa ipotesi i casi possibili sono: 2(63) = 432 .

Se nel primo dado non esce né il 3 né il 6, supponiamo che esca il 3 oppure il 6 nel secondo dado; nei due dadi rimanenti può uscire un numero qualsiasi. In questa ipotesi i casi possibili sono:

4(2)(62_{) = 288.}

Supponiamo che non escano il 3 ed il 6 né nel primo né nel secondo dado, ma esca il 3 oppure il 6 nel terzo dado (nel quarto dado può uscire un valore qualsiasi). Casi possibili: 4(4)(2)(6) = 192 ∶ Supponiamo infine che non escano né il 3 né il 6 nei primi tre dadi, allora deve uscire il 3 oppure il 6 nel quarto dado. Casi possibili: (4)(4)(4)(2) = 128.

In totale i casi favorevoli sono quindi: 432 + 288 + 192 + 128 = 1040 .

I casi possibili sono sempre 64 = 1296, quindi la probabilità richiesta in questo caso è:

𝑝 =1040

1296=

65

81≅ 0.802 ≅ 80.2 %

c) Il massimo numero uscito è 4 quando non escono né 5 né 6 in alcun dado (indichiamo con 𝑝1tale

probabilità) ma non escano 1 oppure 2 oppure 3 in tutti i dadi (indichiamo con 𝑝2 questa

probabilità). Risulta: 𝑝1= (4)(4)(4)(4) 64 = 44 64= ( 2 3) 4 =16 81; 𝑝2 = ( 1 2) ( 1 2) ( 1 2) ( 1 2) = ( 1 2) 4 = 1 16 . Quindi la probabilità che il massimo uscito sia 4 è:

𝑝 = 𝑝1− 𝑝2= ( 2 3) 4 − (1 2) 4 =16 81− 1 16= 175 1296≅ 0.135 ≅ 13.5 %

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QUESITO 6

Da 0 a 3, 0 ms B diminuisce, quindi il verso della corrente indotta è tale da opporsi a tale diminuizione (legge di Lenz). Se per esempio il campo magnetico 𝐵⃗ è diretto verso l’alto il verso della corrente indotta è antiorario (in modo da generare un campo magnetico indotto che ha lo stesso verso di 𝐵⃗ , cosicchè può rallentare la diminuzione del suo modulo):

Da 3 a 5 ms B aumenta, quindi il verso della corrente indotta è tale da opporsi a tale aumento (legge di Lenz). Mentre il campo magnetico 𝐵⃗ è diretto verso l’alto il verso della corrente indotta è orario (in modo da generare un campo magnetico indotto che ha verso opposto a quello di 𝐵⃗ , cosicchè può rallentare l’aumento del suo modulo).

Da 5 a 10 ms il verso della corrente è come nel primo caso.

Calcoliamo ora la corrente media nei tre intervalli di tempo richiesti, indicando con S l’area della superficie racchiusa dalla spira, pari a 30 𝑐𝑚2= (30) ∙ (10−2)2_𝑚2_{= 3 ∙ 10}−3_𝑚2_{e con R la resistenza della spira}

pari a 4.0 𝑚Ω = 4.0 ∙ 10−3 Ω. 𝑎) 𝑖𝑀= 𝑓𝑒𝑚 𝑅 = − 1 𝑅∙ ΔΦ(𝐵⃗ ) Δ𝑡 = − 1 𝑅∙ Δ(𝐵𝑆) Δ𝑡 = − 1 𝑅∙ S ∙ Δ(𝐵) Δ𝑡 = = − 1 4.0 ∙ 10−3 ∙ (−0.20 ∙ 10−3_{− 0)(3 ∙ 10}−3₎ (3.0 − 0.0) ∙ 10−3 𝐴 =0.05 𝐴 𝑏) 𝑖𝑀= − 1 𝑅∙ S ∙ Δ(𝐵) Δ𝑡 = − 1 4.0 ∙ 10−3 ∙ (0.20 ∙ 10−3_{+ 0.20 ∙ 10}−3_{)(3 ∙ 10}−3₎ (5.0 − 3.0) ∙ 10−3 𝐴 =−0.15 𝐴

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Liceo Scientifico 2019 - Quesiti 6/ 7 www.matefilia.it 𝑐) 𝑖𝑀= − 1 𝑅∙ S ∙ Δ(𝐵) Δ𝑡 = − 1 4.0 ∙ 10−3 ∙ (0.0 − 0.20 ∙ 10−3_{)(3 ∙ 10}−3₎ (10.0 − 5.0) ∙ 10−3 𝐴 =0.03 𝐴

QUESITO 7

La velocità media 𝑣𝐿 rispetto al laboratorio è: 𝑣𝐿 = Δ𝑠 Δ𝑡= 25∙10−2 2.0∙10−9 𝑚 𝑠 = 1.25 ∙ 10 8_𝑚/𝑠

La velocità media 𝑣𝑁 rispetto alla navicella, in base alle trasformazioni di Lorentz, è:

𝑣𝑁 = 𝑣𝐿− 𝑣 1 −𝑣 ∙ 𝑣𝐿 𝑐2 =1.25 ∙ 10 8_{− 0.80 ∙ 2.998 ∙ 10}8 1 −0.80 ∙ 1.25 ∙ 10_{2.998 ∙ 10}₈ 8 𝑚 𝑠 = −1.72 ∙ 10 8_𝑚/𝑠

Calcoliamo la distanza che misurerebbe un osservatore posto sulla navicella. Sempre per le trasformazioni di Lorentz abbiamo: 𝑠 = 𝛾(𝑠0− 𝑣𝑡0), 𝑐𝑜𝑛 𝑠0= 0.25 𝑚 𝑒 𝛾 = 1 √1 −𝑣2 𝑐2 ≅ 1.667, 𝑣 = 0.80 𝑐 ≅ 2.398 ∙ 108 𝑚 𝑠, 𝑡0= 2 ∙ 10 −9_𝑠 𝑠 = 𝛾(𝑠0− 𝑣𝑡0) = 1.667 (0.25 − 2.398 ∙ 108∙ 2 ∙ 10−9) 𝑚 ≅−0.383 𝑚

Un osservatore posto sulla navicella misurerebbe quindi una distanza di circa 38 𝑐𝑚.

Calcoliamo l’intervallo di tempo che misurerebbe un osservatore posto sulla navicella. Sempre per le trasformazioni di Lorentz abbiamo:

Δ𝑡 = 𝛾 (𝑡0−

𝑣 ∙ 𝑠0

𝑐2 ) = 1.667 (2 ∙ 10−9−

0.80 ∙ 0.25

2.998 ∙ 108) 𝑠 ≅ 2.22 ∙ 10−9𝑠 =2.22 𝑛𝑠

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QUESITO 8

𝐵 = 1.00𝑚𝑇 = 10−3𝑇, Δ𝑥 = 38.1 𝑐𝑚 = 0.381 𝑚 , 𝑟 = 0.105 𝑚

Detta 𝑣𝑥 la componente di 𝑣 lungo la direzione del campo magnetico, T il periodo di rotazione del protone,

𝜔 la velocità angolare del protone, si ha:

Δ𝑥 = 𝑣𝑥∙ 𝑇 = 𝑣𝑥∙

2𝜋

𝜔 , 𝑣𝑥 = Δ𝑥 ∙ 𝜔 2𝜋 Sia 𝑣𝑦 la componente di 𝑣 ortogonale a 𝐵⃗ . Per la legge di Lorentz abbiamo:

𝑞𝑣𝑦𝐵 = 𝑚𝑎 = 𝑚𝑣𝑦2 𝑟 , 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑖: 𝑣𝑦 = 𝑞𝐵𝑟 𝑚 = 𝜔𝑟: 𝜔 = 𝑞𝐵 𝑚 , 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖: 𝑣𝑥= Δ𝑥 ∙ 𝜔 2𝜋= 𝑣𝑥 = Δ𝑥 ∙ 𝑞𝐵 2𝜋𝑚= 0.381 ∙ 1.602 ∙ 10−19_{∙ 10}−3 2𝜋 ∙ 1.673 ∙ 10−27 𝑚 𝑠 ≅5.81 ∙ 10 3𝑚 𝑠 = 𝑣𝑥 𝑣𝑦= 𝑞𝐵𝑟 𝑚 = 1.602 ∙ 10−19_{∙ 10}−3_{∙ 0.105} 1.673 ∙ 10−27 𝑚 𝑠 ≅1.01 ∙ 10 4 𝑚 𝑠 = 𝑣𝑦

Quindi il modulo del vettore velocità è:

𝑣 = √𝑣𝑥2+ 𝑣𝑦2= √(5.81 ∙ 103)2+ (1.01 ∙ 104)2≅1.17 ∙ 104 𝑚

𝑠 = 𝑣

L’angolo 𝛼 che il vettore velocità forma con il vettore campo è tale che: 𝑡𝑔 𝛼 =𝑣𝑦 𝑣𝑥 ≅1.01 ∙ 10 4 5.81 ∙ 103= 10.1 5.81≅ 1.74 ⇒ 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (1.74) ≅ 60.1°