CAUCHY

5.2 Teorema di Cauchy e regola di De L’Hospital

Se f(x)e(x) _{sono due funzioni continue nell’intervallo chiuso}



a, b



_{e derivabili nei}

punti interni di esso, e se la derivata (x) non si annulla mai, esiste almeno un puntox0, interno

ad



a, b



_{, tale che sia:}

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 x x f a b a f b f        

Ora enunciamo una regola di fondamentale importanza per il calcolo dei limiti delle funzioni che si presentano in una delle seguenti forme d’indeterminazione: , , 0 , .

0 0        

Regola di De L’Hospital.

Siano f(x) e(x) _{due funzioni continue e nulle per} xx_{0 e}

derivabili in un intorno H di x0 ( escluso al più x0). Inoltre in H sia  x( )0. Se esiste il limite:

) ( ) (

lim

0 x x f x x



   ,

allora esiste anche il limite:

) ( ) (

lim

0 x x f x x



, e risulta: ) ( ) ( ) ( ) (

lim

lim

0 0 x x f x x f x x x x





    

N.B.

Può capitare che, dopo aver applicato la regola di De L’Hospital, il limite presenti comunque la

forma d’indeterminazione   o 0 0

. In questo caso, si può riapplicare la stessa regola fin quando non si riesce ad eliminare tali indeterminazioni.

Esercizi svolti

Applicazioni del teorema di Cauchy

Controllare se le seguenti funzioni, nell’intervallo chiuso a fianco indicato, verificano le ipotesi del teorema di Cauchy e, in caso affermativo, calcolare l’ascissa dei punti che verificano il suddetto teorema:

1) Siano date le funzioni:  1, 2  ) ( 1 2 2 ) (x x3 x e x x3 x in f      

Calcoliamo i valori che esse assumono agli estremi dell’intervallo



1, 2



_. . 10 ) 2 ( , 2 ) 1 ( , 13 ) 2 ( , 1 ) 1 (       f f

Le funzioni assegnate sono continue nell’intervallo considerato. Calcoliamo le derivate prime:

. 1 3 ) ( ; 2 6 ) (  2    2   x x x x f 

Notiamo che le funzioni assegnate sono anche derivabili nei punti interni dell’intervallo



1, 2



_. Consideriamo il rapporto: 1 3 2 6 ) ( ) ( 2 2      x x x x f 

Notiamo che il denominatore non si annulla mai.

Poiché le ipotesi di Cauchy sono tutte verificate, esiste almeno un punto x0 dell’intervallo



1, 2



, in corrispondenza del quale vale la seguente relazione:

; ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( 0 0 x x f f f         quindi si ha: . 3 7 0 ) 1 3 ( 2 7 3 2 3 1 3 2 6 2 1 0 2 0 2 0 2 0 2 0 _{  }        x x x x x

Per ipotesi, i punti x0 devono appartenere all’intervallo



1, 2



, quindi bisogna scartare la

soluzione negativa. In definitiva, il punto che cercavamo ha per ascissa . 3 7

0 

x

2) Siano date le funzioni:



2,1



, 3 ) ( , 1 2 ) ( ₄  2     x x in x x x f 

Calcoliamo i valori che esse assumono agli estremi dell’intervallo



2,1



_.

. 4 ) 1 ( ; 7 ) 2 ( ; 2 3 ) 1 ( ; 0 ) 2 (         f f

. 2 ) ( ; ) 1 ( 1 8 3 ) 1 ( 4 ) 2 ( 1 ) ( 2 4 3 4 2 4 3 4 x x x x x x x x x x f               

Notiamo che le funzioni f(x) e(x) _{sono derivabili nei punti interni dell’intervallo}



2,1



_. Consideriamo il rapporto: x x x x x x f 2 ) 1 ( 1 8 3 ) ( ) ( 2 4 3 4         

il quale si annulla nel punto di ascissa x 0( che è un punto appartenente all’intervallo



2,1



). Perciò, una delle ipotesi del teorema di Cauchy, secondo cui la derivata (x) deve essere sempre diversa da zero nei punti di quel intervallo, non è verificata.