SEGNO DEL TRINOMIO DI SECONDO GRADO
Prof. Enrico Sailis – I.I.S. Gramsci-Amaldi – Carbonia
Dato il trinomio di secondo grado in 𝑥: 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐, posto ∆= 𝑏2− 4𝑎𝑐, si dimostra che l’equazione associata: 𝑃(𝑥) = 0 ammette le soluzioni 𝑥1, 𝑥2, per ∆ ≥ 0 date da:
𝑥1,2=
−𝑏 ± √∆ 2𝑎
Ci occuperemo ora di stabilire il segno del valore che il trinomio 𝑃(𝑥) assume al variare di 𝑥 nell’insieme dei numeri reali. A tal fine ci avvaliamo della sua scomposizione in fattori, distinguendo tre casi: ∆> 0, ∆ = 0 𝑒 ∆ < 0.
Segno di 𝑃(𝑥) nel caso ∆> 0
Immaginiamo ora di far variare 𝑥 la lungo l’asse numerico da sinistra a destra e posto 𝑥1< 𝑥2 , distinguiamo
tre intervalli numerici: 𝑥 < 𝑥1, 𝑥1< 𝑥 < 𝑥2 , 𝑥 > 𝑥2 . In ciascuno di essi studiamo il segno di 𝑃(𝑥) tenendo
conto che
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
come si dimostra utilizzando la formula (1) e svolgendo i calcoli nell’ultimo membro.
Per 𝑥 < 𝑥1, si ha: (𝑥 − 𝑥1) < 0 e (𝑥 − 𝑥2) < 0 , pertanto risulta: (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) > 0 e dunque:
segno di 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = segno di 𝑎
Per 𝑥 = 𝑥1 si ha: 𝑃(𝑥1) = 0
Per 𝑥1< 𝑥 < 𝑥2 si ha: (𝑥 − 𝑥1) > 0 e (𝑥 − 𝑥2) < 0 , pertanto risulta: (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) < 0 e dunque:
segno di 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = - segno di 𝑎
Per 𝑥 = 𝑥2 si ha: 𝑃(𝑥2) = 0
Per 𝑥 > 𝑥2, si ha: (𝑥 − 𝑥1) > 0 e (𝑥 − 𝑥2) > 0 , pertanto risulta: (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) > 0 e dunque:
segno di 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = segno di 𝑎
Ricapitolando graficamente i risultati ottenuti, il segno di 𝑷(𝒙) nel caso ∆> 𝟎 è:
Ci occupiamo ora del
(𝟏)
(𝟐)
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙
Segno di 𝑃(𝑥) nel caso ∆ = 0
Immaginiamo ora di far variare 𝑥 la lungo l’asse numerico, poichè 𝑥1= 𝑥2 studiamo il segno di 𝑃(𝑥) tenendo
conto che:
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥
1)2
come si dimostra utilizzando la formula (1) e svolgendo i calcoli nell’ultimo membro. Per 𝑥 ≠ 𝑥1, si ha: (𝑥 − 𝑥1)2> 0 e dunque:
segno di 𝑎(𝑥 − 𝑥1)2 = segno di 𝑎
Per 𝑥 = 𝑥1 si ha: 𝑃(𝑥1) = 0
Ricapitolando graficamente i risultati ottenuti, il segno di 𝑷(𝒙) nel caso ∆= 𝟎 è:
Ci occupiamo ora del
Segno di 𝑃(𝑥) nel caso ∆ < 0
Immaginiamo ora di far variare 𝑥 la lungo l’asse numerico, studiamo il segno di 𝑃(𝑥) tenendo conto che
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 [(𝑥 + 𝑏
2𝑎) 2+ −∆
4𝑎2]
come si dimostra considerando ∆= 𝑏2− 4𝑎𝑐 e svolgendo i calcoli nell’ultimo membro. Per qualunque 𝑥, si ha: [(𝑥 +2𝑎𝑏)2+ −∆
4𝑎2] > 0 in quanto (𝑥 + 𝑏 2𝑎) 2≥ 0 e −∆ 4𝑎2> 0 essendo ∆ < 0 , dunque: segno di 𝑎 [(𝑥 +2𝑎𝑏)2+4𝑎−∆2] = segno di 𝑎
Ricapitolando graficamente i risultato ottenuto, il segno di 𝑷(𝒙) nel caso ∆< 𝟎 è:
(𝟑) 𝒙𝟏 𝒙 Segno di 𝑎 0 Segno di 𝑎 (𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐) (𝟒) 𝒙 Segno di 𝑎 (𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐)