SEGNO DEL TRINOMIO DI SECONDO GRADO

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SEGNO DEL TRINOMIO DI SECONDO GRADO

Prof. Enrico Sailis – I.I.S. Gramsci-Amaldi – Carbonia

Dato il trinomio di secondo grado in 𝑥: 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐, posto ∆= 𝑏2− 4𝑎𝑐, si dimostra che l’equazione associata: 𝑃(𝑥) = 0 ammette le soluzioni 𝑥1, 𝑥2, per ∆ ≥ 0 date da:

𝑥1,2=

−𝑏 ± √∆ 2𝑎

Ci occuperemo ora di stabilire il segno del valore che il trinomio 𝑃(𝑥) assume al variare di 𝑥 nell’insieme dei numeri reali. A tal fine ci avvaliamo della sua scomposizione in fattori, distinguendo tre casi: ∆> 0, ∆ = 0 𝑒 ∆ < 0.

Segno di 𝑃(𝑥) nel caso ∆> 0

Immaginiamo ora di far variare 𝑥 la lungo l’asse numerico da sinistra a destra e posto 𝑥1< 𝑥2 , distinguiamo

tre intervalli numerici: 𝑥 < 𝑥1, 𝑥1< 𝑥 < 𝑥2 , 𝑥 > 𝑥2 . In ciascuno di essi studiamo il segno di 𝑃(𝑥) tenendo

conto che

𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)

come si dimostra utilizzando la formula (1) e svolgendo i calcoli nell’ultimo membro.

Per 𝑥 < 𝑥1, si ha: (𝑥 − 𝑥1) < 0 e (𝑥 − 𝑥2) < 0 , pertanto risulta: (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) > 0 e dunque:

segno di 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = segno di 𝑎

Per 𝑥 = 𝑥1 si ha: 𝑃(𝑥1) = 0

Per 𝑥1< 𝑥 < 𝑥2 si ha: (𝑥 − 𝑥1) > 0 e (𝑥 − 𝑥2) < 0 , pertanto risulta: (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) < 0 e dunque:

segno di 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = - segno di 𝑎

Per 𝑥 > 𝑥2, si ha: (𝑥 − 𝑥1) > 0 e (𝑥 − 𝑥2) > 0 , pertanto risulta: (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) > 0 e dunque:

segno di 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = segno di 𝑎

Ricapitolando graficamente i risultati ottenuti, il segno di 𝑷(𝒙) nel caso ∆> 𝟎 è:

Ci occupiamo ora del

(𝟏)

(𝟐)

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙

(2)

Segno di 𝑃(𝑥) nel caso ∆ = 0

Immaginiamo ora di far variare 𝑥 la lungo l’asse numerico, poichè 𝑥1= 𝑥2 studiamo il segno di 𝑃(𝑥) tenendo

conto che:

𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥}

1)2

come si dimostra utilizzando la formula (1) e svolgendo i calcoli nell’ultimo membro. Per 𝑥 ≠ 𝑥1, si ha: (𝑥 − 𝑥1)2> 0 e dunque:

segno di 𝑎(𝑥 − 𝑥1)2 = segno di 𝑎

Ricapitolando graficamente i risultati ottenuti, il segno di 𝑷(𝒙) nel caso ∆= 𝟎 è:

Ci occupiamo ora del

Segno di 𝑃(𝑥) nel caso ∆ < 0

Immaginiamo ora di far variare 𝑥 la lungo l’asse numerico, studiamo il segno di 𝑃(𝑥) tenendo conto che

𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 [(𝑥 +} 𝑏

2𝑎) 2₊ −∆

4𝑎2]

come si dimostra considerando ∆= 𝑏2− 4𝑎𝑐 e svolgendo i calcoli nell’ultimo membro. Per qualunque 𝑥, si ha: [(𝑥 +_2𝑎𝑏)2₊ −∆

4𝑎2] > 0 in quanto (𝑥 + 𝑏 2𝑎) 2_{≥ 0 e}−∆ 4𝑎2> 0 essendo ∆ < 0 , dunque: segno di 𝑎 [(𝑥 +_2𝑎𝑏)2+_4𝑎−∆₂] = segno di 𝑎

Ricapitolando graficamente i risultato ottenuto, il segno di 𝑷(𝒙) nel caso ∆< 𝟎 è:

(𝟑) 𝒙𝟏 𝒙 Segno di 𝑎 0 Segno di 𝑎 (𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐) (𝟒) 𝒙 Segno di 𝑎 (𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐)