Università degli Studi di Cassino
Esercitazioni di Elettrotecnica:
circuiti in regime sinusoidale
Antonio Maffucci
ver.2 – settembre 2004
1. Esercizi introduttivi.
ES. 1.1 Esprimere la corrente i(t) in termini di fasore nei seguenti tre casi:
a) i(t)=4sin(ωt−1.14) b) i(t)=10sin(ωt−π) c) i(t)=8sin(ωt+π/2)
Risultato: a) I=4exp(−j1.14); b) I=−10; c) I =8j.
ES. 1.2 Valutare (in coordinate cartesiane e polari) le impedenze viste ai capi dei morsetti:
Risultato: a) Z&=10+10j=10 2exp(jπ/4)Ω; b) Z&=8+11.54j=14exp(j0.965)Ω;
c) Z&=8+20j=21.5exp(j1.19)Ω;
ES. 1.3 Le seguenti coppie di fasori esprimono tensione e corrente relative ad un dato bipolo. Dire, nei tre casi, se si tratta di un resistore, un condensatore o un induttore e valutare il valore dei parametri corrispondenti R, C o L
a) v(t)=15cos(400t+1.2), i(t)=3sin(400t+1.2); b) v(t)=8cos(900t−π/3), )i(t)=2sin(900t+2π/3 ; c) v(t)=20cos(250t+π/3), )i(t)=5sin(250t+5π/6 ;
a) V =15ej1.2, I =3ej(1.2−π/2). Posto V=Z&I si ha che:
mH I V L L j Z I V Z 12.5 2 ) arg( ) arg( ) arg( = ω = ⇒ ω = ⇒ π = − = & & .
b) V =8e−jπ/3, I=2ej(2π/3−π/2)=2e−jπ/6. Posto V =Z&I si ha che:
mF V I C C j Z I V Z 0.28 2 ) arg( ) arg( ) arg( = ω = ⇒ ω − = ⇒ π − = − = & & .
c) V =20ejπ/3, I=5ej(5π/6−π/2)=5ejπ/3. Posto V=Z&I si ha che:
Ω = = ⇒ = ⇒ = − =arg( ) arg( ) 0 4 ) arg( I V R R Z I V Z& & . R C Hz f mF C mH L R b 50 , 4 . 0 15 , 8 ) ( = = = Ω = s rad mH R a / 10 1 L 10 ) ( 4 = ω = Ω = L R C C 2 s rad F C mH L R c / 10 5 . 2 , 10 16 , 200 ) ( 3 ⋅ = ω μ = = Ω =
ES. 1.4 - Si consideri il circuito in figura, determinando L tale che la parte immaginaria dell’impedenza vista ai capi dei morsetti risulti Im
{ }
Z& =100Ω.L'impedenza totale vista ai capi dei morsetti è
LC L j R C L j C j L j R Z 2 1 ) / 1 ( ) /( ) ( ω − ω + = ω − ω ω ω + = & ,
quindi basta imporre
{ }
L mH LC L Z 100 2.19 1 Im 2 = ⇒ = ω − ω = & .ES. 1.5 - A quale di queste impedenze corrisponde la fase ϕ=−π/4?
1: R-L serie 2: R-C serie 3: R-C parallelo 4: L-C serie
s / rad mH L R 100 10 10 = ω = Ω = s / rad mF C R 100 10 10 = ω = Ω = s / rad F . C . R 10 2 0 5 0 = ω = Ω = s / rad H L F C 1 1 1 = ω = = Caso 3:
( )
4 1 ) 1 ( 25 . 0 2 2 1 / 1 1 1 = − ⇒ ϕ= 1− =−π + = ω + = = j tg− j C j R Y Z & & .ES. 1.6 - Dati i seguenti fasori V1=10exp(jπ/6), V2=10exp(−jπ/6), V3=5exp(−jπ/3): a) rappresentare nel piano complesso i fasori V1,V2,V3;
b) calcolare i fasori: V1+V2,V1−V2,V1+V3,V1−V3;
c) rappresentare nel piano complesso i fasori valutati al punto b)
d) rappresentare nel tempo le tensioni corrispondenti ai fasori dei punti a) e b), definito la trasformazione fasoriale come segue:
) exp( ) sin( ) (t =V ωt+α ↔V=V jα v M M L R C kHz f F C 1 10 = μ =
2. Equivalenza, sovrapposizione degli effetti, potenza.
ES. 2.1 - Con riferimento al seguente circuito, valutare l'impedenza Z&eq vista ai capi del generatore e la potenza complessa S& erogata dal generatore.
Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze:
. 2 , 2 , 2 ) /( , 10 =− ω =− = ω = = = = Z j C j Z j L j Z R J &C &L &R
L'impedenza di ingresso vista dal generatore è data da:
. 4 . 0 8 . 0 ] // //[ + = + Ω =Z Z Z Z j Z&eq &R &C &R &L
La potenza complessa erogata da j(t) si valuta facilmente una volta nota Z&eq:
20 40 2 100 ) 4 . 0 8 . 0 ( 2 1 2 1 2 1V J Z JJ Z J2 j j AJ ≡ J = eq = &eq = + = + ( & ( & .
ES. 2.2 - Con riferimento al seguente circuito, valutare l'impedenza Z& vista ai capi del eq generatore e le correnti iL(t)e iC(t)
Risultato:Z&eq=5−j15Ω; iL(t)=0.45cos(1000t−1.11)A, iC(t)=−sin(1000t)A.
( )
F C H L R A t t j 25 . 0 1 2 2 sin 10 ) ( = = Ω = = R R L C ) (t j L R C + e(t) ) (t iL ) (t iC mF C mH L R V t t e 1 . 0 20 10 ) 1000 cos( 10 ) ( = = Ω = =ES. 2.3 - Applicando il teorema di Thévenin, valutare la potenza complessa e la potenza istantanea assorbita dall’induttore L . 2
Trasformiamo preliminarmente la rete in una rete di impedenze:
5 . 0 , 4 , 2 . 0 , 33 . 3 , 10e 0.35 Z j Z 1 j Z Z 2 j
J = j C=− &L = &R= &L =
L'impedenza equivalente nel circuito di Thévenin si valuta risolvendo la rete seguente:
. 985 . 1 721 . 1 ) ( // 1+ = − Ω =Z Z Z j Z&eq &C &L &R
La tensione a vuoto, invece, si può calcolare a partire dalla corrente che circola in Z&c, a sua volta ottenuta con un partitore
di corrente: . 114 . 1 693 . 0 1 1 0= = Z +Z +Z = +j Ω Z J Z I Z E R C L L C C
C & & &
& &
&
Risolvendo la rete equivalente ottenuta, si ha che
. 577 . 0 570 . 0 089 . 0 1.726 0 2 2 Z Z j e A E I j eq L L = & + & =− + =
L’andamento della corrente nel tempo è allora dato da:
A ) 726 . 1 100 sin( 2 577 . 0 ) ( 2 t = t+ iL
La potenza complessa assorbita da L2 sarà puramente reattiva:
VAr. 167 . 0 2 2 2 2 jX I j A&L = L L =
La potenza istantanea si può valutare, in generale, dalla conoscenza di corrente e tensione:
.) ( ) ( ) ( 2 2 2 t v ti t pL = L L Si ha quindi: V ) 986 . 2 100 sin( 2 289 . 0 ) ( A 289 . 0 2.986 2 2 2 2 = = ⇔ = − − v t t e I Z VL &L L j L W ) 260 . 1 00 0.167cos(2 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 t =v t i t =− t− pL L L
Si osservi che in questo caso particolare (elemento dinamico) la potenza istantanea può anche essere calcolata come derivata dell’energia:
W ) 260 . 1 200 cos( 167 . 0 ) 52 . 3 200 sin( 167 . 0 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 ⎥⎦= + =− − ⎤ ⎢⎣ ⎡ = = L i t t t dt d dt t di L t i t pL L L L . 1 L Z& R Z& C Z& V I a b R 1 L L2 ) (t j mH 5 mH, 2 mF, 3 , 4 A ) 35 . 0 100 sin( 2 10 ) ( 2 1= = = Ω = + = L L C R t t j 1 L Z& R Z& J C Z& E0 ) ( 2 t iL
ES. 2.4 - Con riferimento al seguente circuito valutare la corrente iL(t).
Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze:
,. 2 Z , 2 2 Z , Z , 10 , 10 2 1= j A J = A =−jΩ =R+jωL= +j Ω =R= Ω
J &C &RL &R
Questa rete può essere risolta con la sovrapposizione degli effetti. Il contributo del solo generatore
1
Jsi ottiene dalla rete in cui J2 è stato sostituito con un circuito aperto:
A 33 . 3 1 + = = ′ RL RC RC L Z Z Z J I & & & , avendo posto = Ω + = 0 -j.4 0.8 Z Z Z Z Z C R C R RC & & & & &
Il contributo del solo generatore J2 si ottiene dalla rete in cui J1 è stato sostituito con un circuito aperto: A 33 . 3 2 Z Z j Z J I RL RC RC L′′= & + & =− & . Si ha, quindi A ) 78 . 0 exp( 71 . 4 ) 1 ( 33 . 3 j j I I IL= L′ + L′′= − = −
a cui corrisponde, nel tempo la corrente
A ) 78 . 0 1000 sin( 71 . 4 ) (t = t− iL
ES. 2.5 - Applicando il teorema di Norton, valutare la potenza complessa e la potenza istantanea assorbita dal parallelo R-C in figura.
Risultato: A&=29.72W−j7.68VAr; p(t)= [29.72−30.70cos(2000t+2.27)] W.
(
)
(
)
mF 1 mH 2 2 1000 sin 10 ) ( 1000 cos 10 ) ( 2 1 = = Ω = = = C L R A t t j A t t j R R L C ) t ( j1 j2(t) ) (t iL C L R R ) (t e + mF. 23 . 1 mH .12 1 , 21 . 0 ) 3 / 1000 sin( 2 5 ) ( = = Ω = π + = C L R V t t eES. 2.6 - Con riferimento al seguente circuito valutare la reattanza da inserire in parallelo al generatore in modo che l'impedenza complessiva vista dal generatore stesso assorba la stessa potenza media di prima ma abbia un fase
ϕ tale che cosϕ=0.9 (rifasamento).
Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze:
. 50 , 12 , 10 , 100 =− Ω = Ω = Ω = V ZC j ZL j ZR E & & &
L'impedenza equivalente vista dal generatore è
, 38 . 2 92 . 1 + Ω = + + = j Z Z Z Z Z Z R C R C L eq & & & & & &
quindi la potenza complessa erogata dallo stesso sarà
kVAr j kW Z E Z E E I E jQ P A eq eq 27 . 1 02 . 1 2 1 2 1 2 1 2 + = = = = + = ( & ( & ( ( & .
Il fattore di potenza è pari a
63 . 0 )] / ( cos[ cosϕ= tg−1Q P =
quindi occorre inserire un'opportuna Z& tra l'impedenza x Z&eq ed il generatore in modo che l'impedenza complessiva Z&TOT verifichi tale richiesta. Affinché tale inserzione non alteri la tensione, Z& deve essere posta in parallelo al generatore. Per lasciare invariata anche la x
potenza media l’impedenza deve essere puramente reattiva: jX
Z&x= .Per stabilire il valore di tale reattanza si può
applicare il principio di conservazione delle potenze, che impone, dopo l'inserzione di Z& : x
x des
des P Q Q Q
P = , = + .
La potenza reattiva Q si può quindi valutare come segue: x
kVAr 77 . 0 )] 9 . 0 ( [cos )] 9 . 0 ( [cos 1 ⇒ = 1 − =− = ϕ =P tg Ptg − Q Ptg − Q
Qdes des des x
Imponendo la condizione desiderata su ϕ si ottiene una Q negativa, il che significa che x Z& è x
un'impedenza capacitiva. Ricordando l'espressione della potenza reattiva assorbita da un condensatore ai capi del quale sia nota la tensione si può valutare il valore di capacità necessario: . 87 . 3 2 2 2 2 F CE Q C E C Q x x = μ ω − = ⇒ ω − = mH 2 . 1 L , F 10 50 , rad/s 10 ) sin( 100 ) ( 4 = μ = Ω = = ω ω = C R V t t e C L R ) (t e + x Z& E + Z&eq
ES. 2.7 - Con riferimento al seguente circuito, calcolare la potenza attiva P e la potenza 2 reattiva Q assorbita dalla serie2 R2−L2.
Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze:
. 4 2 , 8 / , 2 , 4 2 /3 1 2 2 1= J = e− π Z =−j Ω Z =Z = + j Ω
J j &C & &
Applicando la sovrapposizione degli effetti, valutiamo il contributi dovuti a J ed a 1 J 2
, 01 . 0 03 . 2 1 2 1 1 2 Z Z Z j A Z J I C + = + + = ′ & & & & . 85 . 0 50 . 0 1 2 1 2 2 Z Z Z j A Z Z J I C C =− − + + + = ′′ & & & & & Pertanto si ha , ) 502 . 0 exp( 75 . 1 84 . 0 53 . 1 2 2 2 I I j j A I = ′+ ′′= − = −
quindi la potenza complessa assorbita da Z& sarà 2
VAr 12 . 7 W 06 . 3 75 . 1 2 4 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 jQ V I Z I j j P A&= + = ( = & = + = + .
Nota: si svolga l’esercizio utilizzando l’equivalente di Thévenin ai capi della serie considerata.
ES. 2.8 - Applicando il teorema di Thévenin, valutare la potenza complessa e la potenza istantanea assorbita dal condensatore C .
Risultato: A&=−j0.49VAr; p(t)=-0.49cos(40t−3.12)] W.
( )
(
)
F C H L L R R A t t j A t t j 2 1 2 3 / 2 4 cos 2 ) ( 4 cos 4 ) ( 2 1 2 1 2 1 = = = Ω = = π − = = C ) t ( j1 j2(t) 1 R 1 L 2 R 2 L F C H L R R A t t j 1 . 0 2 . 0 2 12 ) 23 . 0 20 cos( 2 2 ) ( 2 1 = = Ω = Ω = + = L 1 R C ) (t j 2 RES. 2.9 - Valutare la corrente che circola nel condensatore e la potenza complessa da esso assorbita.
Risultato: i(t)=3.15sin(2πft+0.23)A; A&=-j15.80VAr.
ES. 2.10 - Valutare la potenza istantanea e complessa assorbita da R.
Risultato: p(t)=4.74[1−cos(4πft−0.18)W; A&=4.74 W.
ES. 2.11 - Con riferimento alla seguente rete in regime sinusoidale, valutare: a) il circuito equivalente di Thévenin ai capi di R2
b) la corrente circolante in R2
c) la potenza istantanea e complessa assorbita da R2 .
Risultato: W t t p W A c A t t i b V i E j Z a eq )] 15 . 2 2000 cos( 1 [ 82 . 0 ) ( ; 82 . 0 ) ) 08 . 1 1000 sin( 71 . 0 ) ( ) 76 . 0 09 . 2 ; 97 . 2 05 . 0 ) 0 − − = = − = − = Ω + = & & ) (t j R C ) (t e + R i(t) L L R C ) ( 2 t j ) ( 1t j mH L mF C R Hz f A ft t j A ft t j 1 . 1 , 0 . 2 , 3 . 1 50 , ) 4 / 2 sin( 2 2 ) ( , ) 2 sin( 2 ) ( 2 1 = = Ω = = π + π = π = L C a b R1 j(t) R2 i + e(t) R R s rad A t t j V t t e , 3 . 3 , 2 . 1 / 10 , ) 4 / sin( 2 ) ( , ) 3 / sin( 2 10 ) ( 2 1 3 Ω = Ω = = ω π + ω = π + ω = mH L mF C R Hz f V ft t e A ft t j 3 , 1 , 1 50 , ) 2 cos( 2 10 ) ( , ) 12 . 0 2 sin( 2 2 ) ( = = Ω = = π = + π =
3. Sistemi trifase.
ES. 3.1 - Con riferimento al seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, di valore efficace E,
a) valutare l’indicazione dell’amperometro; b) rifasare a cosϕ=0.9 alla sezione 1-2-3.
a) L’indicazione dell’amperometro fornisce il valore efficace I della corrente di linea I . Per 1 valutare tale valore si può preliminarmente valutare la potenza complessa totale assorbita alla sezione 1-2-3. Il carico a valle dei resistori assorbe la potenza complessa
kVAr 99 . 7 )] 554 . 0 ( [sin , kW 12 = ϕ= 1 = = Q Ptg Ptg − P .
Per valutare la potenza complessa assorbita dalla stella di resistori, basta osservare che tale carico è posto in parallelo rispetto al precedente e che la tensione su ciascun resistore è proprio la tensione stellata dei generatori. Si ha, allora:
0 , kW 90 . 2 3 2= = = R R Q R E P .
Applicando la conservazione delle potenze, possiamo affermare che la potenza complessa totale assorbita alla sezione 1-2-3 è data da:
, kVAr 99 . 7 , kW 90 . 14 = + = = + = R TOT R TOT P P Q Q Q P cioè: 3 10 ) 99 . 7 90 . 14 ( + ⋅ = + =P jQ j
A&TOT TOT TOT
Ricordando l’espressione della potenza apparente: EI Q
P
ATOT = TOT2 + TOT2 =3 ,
si ha immediatamente che . A 62 . 25 3 2 2 = + = E Q P I TOT TOT Hz 50 554 . 0 sin 12 50 220 = = ϕ = Ω = = f kW P R V E 1 I 1 2 3 P sinϕ R R R A 1 E 2 E 3 E + + +
b) Alla sezione 1-2-3 si ha un fattore di potenza pari a
(
/)
] 0.88 cos[ cosϕ= −1 = TOT TOT P Q tgquindi occorre inserire dei condensatori per rifasare. Il rifasamento porterà ad avere una potenza reattiva totale desiderata pari a
kVAr 22 . 7 )] 9 . 0 ( [cos1 = = ϕ =P tg P tg −
Qdes TOT des TOT
quindi il banco di condensatori dovrà assorbire una potenza reattiva totale pari a
kVAr 77 . 0 − = − = des TOT c Q Q Q .
Inserendo i condensatori a stella, come in figura, la tensione che agisce su ciascuno di essi è quella stellata dei generatori, quindi:
2 2 6 3 fC E X E Q Y C c=− =− π μF. 82 . 16 6π 2 = − = fE Q C c Y
Se, invece, i condensatori vengono inseriti a triangolo, la tensione è la concatenata, quindi:
μF. 61 . 5 6π 2 = − = Δ fV Q C c Osserviamo che CY = C3 Δ.
ES. 3.2 - Con riferimento al seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni:
a) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3; b) rifasare a cosϕ=0.9 alla sezione 1-2-3.
Risultato:a &)A=21.66kW+j16.66kVAr, b)CΔ=45.33μF.
P sinϕ R R R 0 cos 5 10 380 12 = ϕ − = Ω = = = kVAr Q X R V V L L X 12 V R R R L X L X 1 2 3 Q, cosϕ 1 2 3 1 E 2 E 3 E + + + R R R A b W + + a W + + Hz f k R kVAr Q kW P V V 50 1 7 10 380 = Ω = = = =
ES. 3.3 - Con riferimento al seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni (con valore efficace della tensione concatenata pari a V):
a) valutare l’indicazione dell’amperometro; b) valutare le indicazioni dei wattmetri; c) rifasare a cosϕ=0.9 alla sezione 1-2-3.
a) L’indicazione dell’amperometro fornisce il valore efficace I della corrente di linea alla sezione 1-2-3. Per calcolarla si può valutare la potenza complessa totale assorbita a tale sezione, sommando i contributi di tutti i carichi. I resistori assorbono la potenza complessa
0 , kW 43 . 0 3 2 = = = R R VR Q P ,
quindi alla sezione 1-2-3 si ha:
KVAr j kW Q Q j P P Q j P
A&TOT = TOT+ TOT =( + R)+ ( + R)=10.43 + 7 . La lettura dell’amperometro sarà, quindi:
. A 09 . 19 3 2 2 = + = V Q P I TOT TOT
b) Per il teorema di ARON, essendo il sistema equilibrato, si ha:
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ = = − ⋅ = = + 3 3 10 03 . 4 3 10 43 . 10 TOT a b TOT b a Q W W P W W ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ = ⋅ = ⇒ 33 10 23 . 7 10 20 . 3 b a W W
c) Alla sezione 1-2-3 si ha un fattore di potenza pari a
83 . 0 )] / ( cos[ cosϕ= −1 = TOT TOT P Q tg ,
quindi occorre inserire dei condensatori per rifasare. Dopo il rifasamento si avrà
kVAr 05 . 5 )] 9 . 0 ( [cos1 = = ϕ =P tg P tg −
Qdes TOT des TOT
quindi, montando tre condensatori a triangolo:
kVAr 95 . 1 − = − = des TOT c Q Q Q 14.30μF. 6π 2 = − = ⇒ Δ fV Q C c 1 2 3 P, Q
R R R jX jX jX b W + + a W + + S
ES. 3.4 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell’amperometro sia 0.7A.
a) valutare l’indicazione del voltmetro; b) valutare le indicazioni dei wattmetri; c) rifasare a cosϕ=0.9 alla sezione 1-2-3.
Dati: Z&1=2+1jΩ,R=1kΩ,X=2kΩ,Ap=12kVA,sinϕp=0.707,f =50Hz.
a) Detto I′=0.7A il valore efficace della corrente letta dall’amperometro, la potenza complessa totale assorbita dalle impedenze R-L sarà
kVAr 94 . 2 kW 47 . 1 ) ( 3R jX I 2 j A&RL= + ′ = + .
La tensione stellata che insiste su questa stella di impedenze e sul carico posto in parallelo sarà . kV 57 . 1 3 ′ = = ′ I A E RL
La potenza complessa assorbita dal carico parallelo sarà
kVAr 49 . 8 kW 49 . 8 sin cos jA j A A&p= ϕp+ ϕp= + , quindi la potenza complessa totale assorbita alla sezione S indicata in figura sarà
kVAr 42 . 11 kW 95 . 9 j A A
A&s= &p+ &RL= + . La corrente I che attraversa tale sezione sarà data da:
. A 23 . 3 3 ′= = E A I s
quindi la potenza assorbita dal carico in serie Z& sarà 1
kVAr 03 . 0 kW 06 . 0 3 1 2 1 Z I j A& = & = + . Alla sezione 1-2-3 di ingresso, quindi, si ha:
KVAr j kW Q j P A A
A&TOT =&1+&s= TOT+ TOT=10.02 + 11.46
1 2 3 V A Z&1 Z&1 Z&1 Ap sinϕp Ω = Ω = Ω = Ω = 90 3 3 12 . 0 C L L X X R k R R R R L R L jX RL L R L jX L jX C jX − −jXC C jX −
per cui la lettura del voltmetro sarà:
. kV 72 . 2 3 2 2 = + = I Q P V TOT TOT
b) Per il teorema di ARON, essendo il sistema equilibrato, si ha:
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ = = − ⋅ = = + 3 3 10 61 . 6 3 10 02 . 10 TOT a b TOT b a Q W W P W W ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ = ⋅ = ⇒ 3 3 10 32 . 8 10 70 . 1 b a W W
c) Alla sezione 1-2-3 si ha un fattore di potenza pari a
66 . 0 )] / ( cos[ cosϕ= −1 = TOT TOT P Q tg ,
quindi occorre inserire dei condensatori per rifasare. Dopo il rifasamento si avrà
kVAr 85 . 4 )] 9 . 0 ( [cos1 = = ϕ =P tg P tg −
Qdes TOT des TOT
quindi, montando tre condensatori a triangolo
kVAr 60 . 6 − = − = des TOT c Q Q Q 0.94μF. 6π 2 = − = ⇒ Δ fV Q C c
ES. 3.5 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell’amperometro sia 5A.
a) valutare la tensione stellata dei generatori
b) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3;
Risultato: a)E=560V; b)A&=12.83kW−j32.18kVAr.
1
2
3
Hz f V V j Z X R P L 50 , 380 , 100 100 , 5 , 10 , 707 . 0 cos , kW 1 P = = Ω + = Ω = Ω = = ϕ = & kW 10 kW 4 k 100 20 = = Ω = Ω = b a C W W X R L jX R R R L jX L jX Z& Z& Z& V c jX − c jX − R R A c jX − b W + + a W + +
ES. 3.6 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni.
a) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3; b) rifasare a cosϕ=0.9 alla sezione 1-2-3.
Risultato: a &)A=3.63kW+j4.25kVAr; b)CΔ=12.94μF.
ES. 3.7 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell’amperometro sia 10A.
a) valutare il fattore di potenza del carico M;
b) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3; c) valutare il fattore di potenza alla sezione 1-2-3;
Risultato: a)cosϕM =0.80; b)A&=20.00kW+j10.38kVAr; c)cosϕ=0.89;
1 2 3 P , cos ϕ P 1 2 3
M
4. Doppi-bipoli, generatori pilotati, regime periodico.
ES. 4.1 - Con riferimento al seguente circuito, valutare:
a) la matrice delle ammettenze Y& del doppio-bipolo visto ai capi dei generatori; b) la potenza complessa A& erogata dai generatori;
Risultato: a) 1
22 1 1
11=0.5Ω−, Y =0.5jΩ−, Y =0.5−jΩ−
Y& &m & ;
b) Aer 75W, Aer 50W j200VAr
2
1 = & = +
& .
ES. 4.2 -Con riferimento al seguente circuito, valutare la potenza media P assorbita dal resistore R e verificare che è possibile sovrapporre le potenze medie.
Poiché i generatori non sono isofrequenziali, cioè ω1≠ω2, il circuito non ammette un regime sinusoidale ma un regime periodico e quindi non è possibile trasformare la rete in una rete di impedenze. Tuttavia, essendo la rete lineare, si può applicare la sovrapposizione degli effetti e ricavare la corrente che circola in R come i=i′+i′′, dove i′ si ricava dal circuito ausiliario I e
i ′′ dal circuito ausiliario II.
Ciascuna di queste due reti può essere rappresentata da una rete di impedenze: rete I: J1=1, Z&C′ =−100j, Z&L′ =0.1j, Z&R′ =1. rete II: J2=1, Z&C′′=−50j, Z&L′′ =0.2j, Z&R′′=1. Applicando i partitori di corrente:
C L R + e2(t) ) ( 1t i i2(t) R ) ( 1t e + mF C mH L R V t sin t e V t t e 1 1 1 ) 1000 ( 20 ) ( ) 1000 cos( 10 ) ( 2 1 = = Ω = = = mF C mH L R A t sin t j A t t j 1 . 0 1 1 ) 200 ( ) ( ) 100 cos( ) ( 2 1 = = Ω = = = L R C j2(t) ) ( 1 t j i L R C i′ I L R C j2(t)
. ) 13 . 3 100 cos( ) ( 10 3 313 1 e i t t mA Z Z Z Z J I j . R C L L = ⇒ ′ = + ′ + ′ + ′ ′ = ′ − & & & & . ) 12 . 3 200 ( ) ( 12 3 2Z Z Z e i t sin t A Z J I j. R L C C = ⇒ ′′ = + ′′ + ′′ + ′′ ′′ − = ′′ & & & &
Quindi la corrente che circola in R sarà
. ) 12 . 3 200 ( ) 13 . 3 100 cos( 10 ) ( ) ( ) (t i t i t 3 t sin t A i = ′ + ′′ = − + + +
Nota la corrente si può calcolare la potenza istantanea assorbita da R e quindi la potenza media:
∫
∫
∫
∫
∫
= = ′ + ′′ + ′ ′′ = T T T T Ti t i t dt T R dt t i T R dt t i T R dt t Ri T dt t p T P 0 0 2 0 2 0 2 0 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω π ω π = 2 1 2 , 2 max TI primi due contributi rappresentano le potenze medie dissipate nei circuiti I e II, quindi sono: , 10 5 . 0 2 ) ( 6 0 2 tdt RI W i T RT ′ = ′= ⋅ −
∫
W I R dt t i T RT 5 . 0 2 ) ( 0 2 = ′′= ′′∫
. L'ultimo contributo è nullo perché per ω1≠ω2 si ha:β α ∀ = β + ω α + ω
∫
cos( ) ( ) 0 , 0 2 1 T dt t sin t . In definitiva se ω1≠ω2 è possibile sovrapporre le potenze medie: P≈0.5W.ES. 4.3 -Con riferimento al seguente circuito, valutare la corrente i(t).
La corrente i(t) si può calcolare con la sovrapposizione degli effetti nel dominio del tempo:
) ( ) (t i1 i2 t
i = + .
Il contributo i1 è dovuto al solo generatore di tensione e si ottiene tenendo conto che, in regime
stazionario, l'induttore si riduce ad un corto-circuito ed il condensatore ad un circuito aperto:
A R E
i1= /2 =1/2 .
Il contributo i2(t) è dovuto al solo generatore j(t) e si ottiene risolvendo la rete in regime
sinusoidale:
1 =
J , Z&R=1, Z&C= j− 10−3, Z&L=j103.
Posto Z&a=Z&R//Z&C+Z&L, la corrente I2 si ottiene con un semplice partitore di corrente:
. ) ( 10 ) ( 10 10 10 10 3 2 2 / 3 3 3 6 2 Z Z j j e i t sin t A Z J I j a R R ≈− + ≈ = ⇒ =− ω + − = − − − − π − & & & mF C mH L R V E s rad A J t J t j m m 1 , 1 , 1 1 / 10 , 1 cos ) ( 6 = = Ω = = = ω = ω = ) (t j R C E + R L ) (t i
ES. 4.4 -Con riferimento al seguente circuito, valutare la potenza media P assorbita dal resistore R e verificare che è possibile sovrapporre le potenze medie. 2
Risultato: P=0.41kW.
ES. 4.5 -Valutare l'equivalente di Thévenin ai capi dei morsetti 1-1'.
Passando alla rete di impedenze si avrà:
. 2 , 4 , , 2 /6 =− = = = π R L C j Z j Z j Z e
E & & & Per calcolare V basta applicare la LKT alla maglia di sinistra della rete 0
157 . 0 368 . 0 j r Z E I I r I Z E L L + ⇒ = + = − = & & .
Applicando un partitore di tensione si ha, quindi:
V e j Z Z Z I r V j C R R 0.06 0= & +& =1.070+ 0.064=1.07 & .
Per calcolare Z&eqoccorre spegnere tutti (e soli) i generatori indipendenti, cioè E . Applicando
ancora la la LKT alla maglia di sinistra della rete:
0 0=Z&LI+rI ⇒ I =
quindi nella rete per il calcolo di Z&eq risulta spento anche il generatore controllato, visto che la
sua variabile di controllo è nulla, per cui in definitiva:
Ω − = + = 0.4(1 2j) Z Z Z Z Z C R C R eq & & & & & mF C H L R R V t t e A t j 10 2 . 0 2 12 ) 20 cos( 110 ) ( 14 ) ( 2 1 = = Ω = Ω = = = ) (t e L 1 R C ) (t j + 2 R Ω = Ω = Ω = Ω = π + ω = 1 4 3 2 V ) 6 / sin( 2 ) ( C L X X r R t t e ) (t i 1 ) (t ri + ) (t e R C 1′ +
C ES. 4.6 - Il circuito seguente riproduce lo schema equivalente di un amplificatore a
transistor per alta frequenza. Determinare la tensione ai capi del resistore RU.
Risultato: kVvU(t)=95.9cos(ωt+3.06) .
ES. 4.7 - Con riferimento al seguente circuito valutare la corrente i1(t) nel circuito
primario.
Poiché 2 2 1L M
L ≠ l'accoppiamento non è perfetto.
Posto L1=L1′+L1′′, possiamo scegliere L ′′1 in modo che l'aliquota L ′′1 verifichi le condizioni di accoppiamento perfetto 2 2 1L M L′′ = : mH L M L M L L1′′ 2= 2 ⇒ 1′′= 2/ 2=2 . A questo punto il circuito equivalente sarà il seguente
Per la formula del trasporto dell'impedenza in un trasformatore ideale, il circuito è anche equivalente al seguente: S R U R ) (t gvin + ) (t vS o R − + in v − + U v i R C L 1 8 100 1 1 5 , 1 / 10 ) cos( 10 ) ( − Ω = = = Ω = Ω = = = ω ω = g nF C pH L R R R s rad V t t v i o S S mH M mH L mH L R R V t sin t e 20 200 3 200 1 ) 1000 ( 2 10 ) ( 2 1 2 1 = = = Ω = Ω = = ) (t e 1 R ) ( 1 t i + 2 R 2 L 1 L ) (t e 1 R ) ( 1t i + 2 R 1 L′ 1 L ′′ a 1 . 0 1′′= = M L a
Trasformato il circuito in una rete di impedenze, nella quale si è introdotto il fasore E 10= V, l'impedenza equivalente vista dal generatore è:
j L jω R a L jω R a L jω R Zeq + ′′= + Ω ′′ + ′ + = 2 2 2 2 2 1 2 1 1 & da cui A t sin t i A e j Z E I j eq ) 4 / 1000 ( 5 ) ( 2 5 ) 1 ( 2 5 1 4 / 1= & = − = −π ⇒ = −π .
ES. 4.8 - Con riferimento al seguente circuito valutare la potenza complessa assorbita dal condensatore.
Risultato: VArA&=−j5 . ) (t e 1 R ) ( 1t i + 2 2R a 1 L′ mF C mH M mH L mH L R R A t t j 5 . 12 , 2 4 , 1 5 ) 100 cos( 2 10 ) ( 2 1 2 1 = = = = Ω = = = ) (t j 1 R L1 L2 C 2 R
