Candidato: Andrea Carpignani Relatore: Prof. Paolo Acquistapace Controrelatore: Dott. Marzia De Donno
Titolo: Dall’integrale stocastico al problema di Dirichlet Data discussione: 30 marzo 2005
Lo scopo di questa tesi `e illustrare la teoria dell’integrazione stocastica e delle equazioni differenziali stocastiche, per poi applicarla ad un classico problema di Analisi Mate-matica: la ricerca della soluzione del problema di Dirichlet-Poisson per gli operatori ellittici.
A questo scopo incominciamo con l’introduzione della nozione di semimartingala e del corripondente integrale stocastico tramite una definizione di tipo “assiomatico” (introdotta da G. Letta) che, seppur meno conosciuta al di fuori dello stretto ambito probabilistico, ha il vantaggio di richiedere pochissime nozioni preliminari (si basa cio`e sulla sola “teoria generale dei processi”). Questo modo di definire le semimartingale (il quale `e perfettamente equivalente a quello “classico”, come ha dimostrato C. Dellacherie) ha anche il vantaggio di far discendere con estrema semplicit`a le propriet`a dell’integrale stocastico riconducendosi agli assiomi che lo caratterizzano.
La teoria dell’integrazione stocastica contiene entro di s´e due esempˆı di grande rilevanza sia storica che applicativa: l’integrale di Stieltjes e quello di Itˆo. Nel primo caso si tratta dell’integrale classico fatto rispetto ad una famiglia di misure di proba-bilit`a (αω)ω∈Ω dipendente in modo “misurabile” dal parametro (e a sua volta
com-prende l’integrale di Lebesgue), mentre nel secondo si tratta dell’integrale stocastico fatto rispetto al processo di Wiener (o moto browniano). Prima di vedere le appli-cazioni di questa importante teoria ne studiamo alcune delle propriet`a “fini”, come ad esempio la cosiddetta “formula di Itˆo”, la quale generalizza il teorema fondamentale del calcolo nel caso dell’integrale stocastico.
L’integrale stocastico permette in particolare di definire la nozione di equazione differenziale stocastica: intuitivamente si tratta di un’equazione differenziale ordinaria del prim’ordine (i cui coefficienti dipendono dal caso) con l’aggiunta di un “rumore” anch’esso dipendente dal caso. Proprio per la somiglianza con le equazioni ordinarie, i principali risultati relativi a quest’ultime si generalizzano in un modo sorprendentemente semplice nel caso stocastico: il teorema di esistenza ed unicit`a della soluzione, per esempio, coincide con il classico teorema di Cauchy-Lipschitz, e anche la dimostrazione `
e pressoch´e identica (tenuto conto per`o che si tratta con integrali stocastici e non con integrali classici).
Di particolare interesse risulta una vasta classe di soluzioni di equazioni differenziali stocastiche (le cosiddette diffusioni ): queste sono infatti completamente caratterizzate
da un nucleo markoviano (detto realizzazione canonica) grazie al quale `e possibile costru-ire un semigruppo che permette di associare ad ogni diffusione un operatore differenziale di tipo ellittico.
La corrispondenza tra gli operatori ellittici e le diffusioni permette dunque di stu-diare il problema di Dirichlet-Poisson attraverso la diffusione associata. Si dimostra, infatti, un teorema, secondo il quale, se un problema ellittico ha soluzione di classe C2,
allora essa `e unica e si scrive esplicitamente tramite una formula di rappresentazione che dipende soltanto dalla realizzazione canonica della diffusione.
Questa soluzione, nel caso del problema di Dirichlet, si pu`o interpretare intuitiva-mente nel modo seguente: la soluzione u(x) coincide con il valore atteso del termine noto al primo istante d’uscita dal dominio di definizione dell’operatore della diffusione che parte da x.
Analizzando il problema di Poisson, si scopre che la soluzione pu`o essere scritta come la trasformata del termine noto mediante un nucleo (detto nucleo di Green) che si pu`o scrivere esplicitamente in termini della realizzazione canonica. Nel caso poi dell’operatore di Laplace, il nucleo di Green si scrive come nucleo densit`a, ossia nella forma
G(x, A) =R
Ag(x, y) dy
dove la funzione g, di R2 in R, coincide con la classica funzione di Green associata al problema. Questo permette anche di scrivere in modo esplicito (in termini della realizzazione canonica del processo di Wiener) la funzione di Green.
La tesi si conclude mostrando che, nel caso particolare del problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace, `e possibile provare l’esistenza della soluzione senza ricorrere ai teoremi classici di esistenza, non appena il dominio verifica la cosiddetta “propriet`a del cono”.
