Modellazione di sistemi di generazione elettrica a Fuel Cell e applicazioni

U

P

F

I

C

INGEGNERIA DEI VEICOLI TERRESTRI

Tesi di laurea

MODELLAZIONE DI SISTEMI DI GENERAZIONE

ELETTRICA A FUEL CELL E APPLICAZIONI

RELATORI CANDIDATO

Prof. Ing. Massimo Ceraolo

Lorenzo Cinali

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Indice

1.

Introduzione... 1

2.

Modellazione di un sistema di generazione a Fuel Cell ... 4

2.1. Dymola ed il linguaggio object-oriented Modelica ...5

2.2. Richiami sulle celle a combustibile ...6

2.2.1. Classificazione ...7

2.2.2. Celle a elettrolita polimerico (PEMFC) ...9

2.2.3. Il Fuel Cell Stack e gli apparati ausiliari ... 13

2.2.4. Curva di polarizzazione e rendimento ... 17

2.3. Descrizione del modello di letteratura... 23

2.3.1. Il modello Simplified ... 24

2.3.2. Il modello Detailed ... 27

2.3.3. Le ipotesi semplificative e le limitazioni del modello ... 27

2.4. Implementazione del modello di letteratura su Dymola ... 29

2.4.1. Costruzione della curva di polarizzazione ... 31

2.4.2. Calcolo del flusso di aria e idrogeno ... 39

2.4.3. Calcolo del rendimento dello stack senza ausiliari ... 41

2.4.4. Dati Fuel Cell Stack ... 44

2.4.5. Validazione del modello di Fuel Cell di letteratura ... 45

2.5. Cambiamenti introdotti ... 47

2.5.1. Modifica delle equazioni e modellazione object-oriented ... 47

2.5.2. Perdite di carico nel circuito dell’aria ... 58

2.5.3. Aggiunta dei sistemi ausiliari ... 61

3.

Modellazione di un veicolo ibrido... 75

iv

3.2. Il layout di un sistema di generazione a Fuel Cell ... 79

3.3. Energy management system (o Power Management Module) ... 81

3.3.1. Filtro della potenza media richiesta ... 84

3.3.2. Controllo del livello del SOC ... 86

3.4. Il veicolo e l’Electric drive ... 87

3.5. Il sistema di accumulo ... 88

4.

Simulazioni e risultati ... 91

4.1. Validazione col modello su AMEsim ... 91

4.2. Risultati con integrazione degli ausiliari ... 94

4.3. Confronto con motori alimentati a Diesel e LNG ... 98

5.

Conclusione ... 105

1. Introduzione

Negli ultimi decenni si è registrato un maggior sviluppo e un incremento degli investimenti nel settore dei trasporti elettrici, sia per veicoli stradali che per veicoli commerciali. La propulsione elettrica infatti sta acquistando sempre più quote di mercato nel settore dei trasporti, affiancata da una continua ricerca di possibili soluzioni che sostituiscano i combustibili fossili, anche in ambiti in cui l’elettrico non ha ancora preso piede a causa di problemi riguardanti l’autonomia del mezzo e la dipendenza dalla rete elettrica.

Il primo passo verso l’utilizzo di una propulsione elettrica è l’ibridizzazione di un sistema con motore a combustione interna. Ciò consente di ottenere discreti vantaggi, quali la riduzione delle emissioni e risparmi sui consumi di oltre il 25%, nel caso in cui si parli di un ibrido serie confrontato con un sistema di propulsione convenzionale [6].

Nell’ottica di ottenere “zero emissioni” e di non essere dipendenti dalla limitata capacità della batteria e dai lunghi tempi di ricarica necessari, trova posto come soluzione una propulsione elettrica ibrida con convertitore primario a celle a combustibile, in inglese Fuel Cell.

Esistono diverse tipologie di celle a combustibile, ma quelle che risultano più idonee per l’utilizzo nei trasporti sono le PEMFC (Proton Exchange Membrane Fuel Cell), in quanto sono le più promettenti se si vuole rimanere nel range di temperatura di funzionamento attorno agli 80°C. Questa tipologia di Fuel Cell genera corrente utilizzando come combustibile idrogeno accumulato in un serbatoio e come comburente l’ossigeno presente nell’aria, ottenendo come prodotto di reazione solamente acqua e calore. Questo è uno dei principali vantaggi, data la sempre più alta richiesta di ridurre, o addirittura eliminare, come nel caso dei centri abitati, le emissioni nocive prodotte dai veicoli.

È importante però considerare che ad oggi per la produzione di idrogeno, che è necessario come combustibile, vengono ancora prodotte emissioni di CO2. Per cui, svolgendo un’analisi WtW (Well-to-Wheels, dal pozzo alle ruote), si ha che i veicoli a idrogeno non

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sono competitivi come altre soluzioni (come ad esempio gli ibridi plug-in o i veicoli a batteria), ma le previsioni sono incoraggianti.

Fig. 1-1: Previsioni emissioni di CO2 per kg di idrogeno [13]

Un altro fattore che ne incentiva l’utilizzo è il costo (espresso in $/kW) relativamente contenuto che negli ultimi anni questo sistema ha raggiunto: ciò permette di poterne valutare l’utilizzo per la propulsione veicolare, anche per mezzi pubblici pesanti come autobus o per locomotive nelle tratte non elettrificate.

In particolare, in questo scritto, andremo a modellare un sistema di generazione elettrico a Fuel Cell, per analizzarne il comportamento dinamico integrato all’interno di un modello ibrido-serie di una motrice ferroviaria.

Lo studio di questo sistema è stato suddiviso in tre sezioni, che si trovano rispettivamente nei capitoli 2, 3, 4 dell’elaborato. All’interno del Cap. 2 viene effettuata la modellazione del sistema di generazione a Fuel Cell, e, data l’integrazione all’interno di un modello di un veicolo ibrido-serie, non risulta necessario utilizzarne uno particolarmente complesso. Sarà perciò sufficiente un modello che simuli correttamente il funzionamento dinamico ed energetico del sistema nel suo complesso, comprensivo quindi degli apparati ausiliari necessari al suo funzionamento, quali il compressore dell’aria e il sistema di raffreddamento.

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Come base di partenza verrà utilizzato un modello preso in letteratura, il quale verrà poi riscritto in linguaggio object-oriented e open source Modelica e successivamente elaborato per soddisfare le specifiche richieste.

Nel Cap. 3 viene invece mostrato il modello di veicolo ibrido utilizzato in cui viene posizionata la Fuel Cell. Infine, nel Cap. 4 viene effettuata la validazione del veicolo con sistema di generazione elettrica a Fuel Cell, che sarà poi messo a confronto con altre architetture ibride che sfruttano motori a combustione interna.

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2. Modellazione di un sistema di generazione a

Fuel Cell

In questo capitolo verrà analizzato il modello di un sistema di generazione elettrica a cella a combustibile PEMFC presente nella libreria di Simscape, all’interno del programma Matlab Simulink, che verrà convertito nel linguaggio object-oriented Modelica e successivamente modificato per soddisfare le proprietà richieste, elencate di seguito. Come descritto nell’introduzione, l’obiettivo è quello di ricreare un modello semplice che comprenda il comportamento dei sistemi ausiliari, così da ottenere una simulazione snella ma che tenga conto della dinamica dei componenti principali. Non verranno quindi simulati il comportamento elettrochimico e fluidodinamico completo, che complicano la simulazione e la modellazione senza portare cambiamenti sostanziali nei risultati. Il modello da ricreare deve soddisfare le seguenti caratteristiche:

• Simulare una curva di polarizzazione accurata di uno Stack di celle (anche tramite interpolazione dei dati di una curva di polarizzazione di una cella reale);

• Tenere conto del consumo degli ausiliari necessari per il funzionamento del sistema di generazione;

• Integrarsi con il modello esistente di motrice ferroviaria ibrida di tipo serie sviluppata dai relatori in precedente attività, svolto in ambiente Modelica Dymola; • Seguire la logica di modellazione orientata agli oggetti (object-oriented);

• Integrare un modello di serbatoio e calcolare il consumo di idrogeno;

• Non utilizzare un numero di parametri in ingresso elevato per caratterizzare la cella;

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2.1. Dymola ed il linguaggio object-oriented Modelica

Modelica è un linguaggio orientato agli oggetti che utilizza un insieme di equazioni e di rappresentazioni grafiche (sottoforma di blocchi funzione) per modellare il comportamento dinamico di complessi sistemi fisici multi-dominio.

Il posizionamento di questi blocchi può rappresentare schematicamente la reale relazione e posizione dei vari sottosistemi: questa tipologia di modellazione si chiama appunto object-oriented.

Modelica supporta la composizione gerarchica del modello, in cui ciascun blocco/icona contiene il modello numerico dell'oggetto che rappresenta, sia esso un oggetto fisico, algebrico o una funziona di trasferimento di qualche tipo. Il modello al suo interno può essere costituito a sua volta da altri blocchetti appartenenti alla libreria del programma, oppure ne può esser descritto il comportamento attraverso delle equazioni.

Interfacciando i blocchi tramite delle linee di connessione (attraverso dei connettori), è possibile comporre modelli di varia complessità.

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Una linea di connessione rappresenta il reale accoppiamento fisico che è presente tra i vari componenti fisici che si vogliono rappresentare, che sia esso meccanico, elettrico, idraulico, di segnale, etc.

Questa tipologia di modellazione consente di creare un modello che presenta i seguenti vantaggi:

• Modello più intuitivo da capire poiché con una struttura che emula quella reale, rende così più semplice la gestione e manutenzione di grandi progetti;

• Una più facile implementazione di modifiche e una più facile sostituzione dei sotto-modelli: se ad esempio si vuole creare o sostituire un modello dinamico più realistico/complesso di un compressore, è possibile farlo senza modificare il resto del modello;

• L’organizzazione del codice all’interno dei vari sotto-modelli favorisce la modularità e la riutilizzabilità del codice;

Le proprietà appena descritte costituiscono un forte incentivo allo sviluppo di librerie di modelli riutilizzabili: alcune librerie per domini ingegneristici molto ampie (e.g., elettrico, meccanico, termico, etc.) sono state standardizzate, e ne viene fatto largo utilizzo anche in questo scritto.

2.2. Richiami sulle celle a combustibile

Ci sono varie tipologie di celle a combustibile disponibili sul mercato, e si distinguono principalmente in base alle reazioni chimiche che avvengono al loro interno e alle temperature di funzionamento. I costi di questi sistemi sono piuttosto elevati e necessitano di numerosi componenti ausiliari per poter funzionare.

Nei seguenti paragrafi, ripresi da [8], verranno elencate le tipologie principali, ponendo particolare attenzione su quella presa in esame, cioè la PEMFC.

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2.2.1. Classificazione

Una cella a combustibile è un dispositivo elettrochimico che consente di ottenere energia elettrica da una reazione chimica, nella quale sono tipicamente impiegati idrogeno e una sostanza ossidante, senza alcun processo di combustione termica.

Fisicamente una cella è composta, come per una normale pila, da due elettrodi porosi posti a contatto con un elettrolita. La reazione scinde le molecole del combustibile o del comburente in ioni ed elettroni:

• Ioni che migrano dall’anodo al catodo o viceversa attraverso l’elettrolita • Elettroni che passano su un circuito esterno generando una corrente

Esiste una vasta gamma di Fuel Cell, che si differenziano per le reazioni che avvengono ai poli, per l’elettrolita utilizzato e per il campo di temperatura di funzionamento.

Fig. 2-2: Schema di una Fuel Cell

Si possono distinguere in particolare celle ad elettrolita liquido di tipo acido (PAFC) o alcalino (AFC) oppure, tra le più utilizzate, quelle ad elettrolita solido polimerico (PEFC o PEMFC). Vi sono poi le MCFC, nelle quali l’elettrolita è un carbonato sciolto in una

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matrice ceramica, e le SOFC, ad elettrolita solido metallico. Si riporta a questo proposito una tabella riassuntiva nella quale sono sinteticamente indicati la tipologia di ioni che migrano dall’anodo al catodo, i prodotti di reazione e la temperatura di funzionamento per tutte le Fuel Cell considerate.

Tipologia di Fuel Cell Ione mobile Prodotti di reazione Temperatura di funzionamento [°C] Phosphoric Acid PAFC 𝐻 + _𝐻 2𝑂 150 − 220 Alkaline AFC 𝑂𝐻 − _𝐻 2𝑂 70 − 250

Proton Exchange Membrane

PEMFC 𝐻 + _𝐻 2𝑂 70 − 80 Molten Carbonate MCFC 𝐶𝑂3 2− _𝐻 2𝑂, 𝐶𝑂2 600 − 650 Solid Oxide SOFC 𝑂 2− _𝐻 2𝑂, 𝐶𝑂2 800 − 1000

Anche la tensione tra gli elettrodi varia in base alla tipologia di Fuel Cell, come riportato nel grafico riassuntivo. Si noti come la tensione misurabile in erogazione di corrente oscilli, per tutti i tipi, tra 0.7 V ed 1 V.

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Fig. 2-3: Tensione di funzionamento delle varie Fuel Cell

2.2.2. Celle a elettrolita polimerico (PEMFC)

Nelle PEMFC l’elettrolita è un polimero solido ed ha la funzione di trasferire ioni H+ dall’anodo al catodo, mentre la sostanza ossidante è costituita da ossigeno puro, o più frequentemente da aria.

Caratteristica fondamentale di queste celle a combustibile è la bassa temperatura di funzionamento (70-80 °C) che consente un avvio rapido anche a temperatura ambiente. Altri pregi sono legati alla compattezza, robustezza e leggerezza di questi sistemi, che li rende particolarmente indicati per installazioni a bordo dei veicoli.

Il materiale impiegato per la membrana polimerica è il Nafion: questa molecola viene ricavata dal teflon, tramite un processo di solfonazione che aggiunge un’ulteriore catena molecolare con all’estremità un gruppo solfonico HSO3, nel quale lo ione H+ è debolmente legato. L’aggiunta di questa catena consente al Nafion di garantire la permeabilità ionica, ma per il corretto funzionamento risulta fondamentale mantenere un ben definito grado di idratazione della membrana.

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Politetrafluoroetilene (Teflon)

Fluoroetilene solfonato (Nafion)

Fig. 2-4: Teflon e Nafion

Per comprendere come la reazione tra idrogeno e ossigeno produca una corrente elettrica è opportuno considerare separatamente le semi-reazioni che avvengono ad ogni elettrodo:

• Al polo negativo (anodo) viene convogliato l’idrogeno, il quale si ionizza in ioni H+ rilasciando due elettroni;

• Al catodo viene invece inviato l’ossigeno, che reagisce con gli elettroni e gli ioni H+ in arrivo dall’anodo producendo acqua.

Gli ioni H+ arrivano al catodo attraverso l’elettrolita mentre gli elettroni passano attraverso un circuito elettrico esterno.

11 Reazione anodica: 𝐻₂ → 2𝐻+_{+ 2𝑒}− Reazione catodica: 1 2𝑂2+ 2𝐻 +_{+ 2𝑒}− _{→ 𝐻} 2𝑂 Reazione complessiva 𝐻2+ 1 2𝑂2 → 𝐻2𝑂

Al fine di accelerare queste reazioni, vengono ricoperti gli elettrodi con uno strato di materiale catalizzatore (solitamente platino) finemente depositato su più grandi particelle di carbonio, per essere a diretto contatto con i reagenti.

Al rivestimento in carbonio, che costituisce anche la struttura fisica vera e propria dell’elettrodo, viene affidato il compito di condurre i gas reagenti verso i catalizzatori: esso forma quindi ad una sua estremità uno strato di diffusione gassosa.

Nell’immagine seguente è possibile visualizzare anche la presenza dei piatti bipolari, essi hanno il compito di trasportare gli elettroni e, tramite opportune canalizzazioni interne, i reagenti agli elettrodi.

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Umidità della membrana e raffreddamento della cella

Come accennato ad inizio paragrafo è essenziale per un buon funzionamento della cella che sia mantenuto un certo grado di umidità relativa all’interno di essa, perché necessaria per consentire il trasferimento degli ioni H+.

A questo proposito può essere impiegata l’acqua prodotta al catodo dalla reazione stessa, oppure si possono prevedere dei meccanismi di umidificazione dei reagenti, sia per l’idrogeno che per l’ossigeno. Si devono tuttavia evitare fenomeni di inondazione del catodo: troppa acqua non consentirebbe infatti all’ossigeno di entrare in contatto con l’idrogeno.

Nell’immagine a seguire si riportano i vari fattori che possono modificare l’umidità della membrana: è possibile calcolare con una certa precisione tutti i diversi contributi sotto menzionati.

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Fig. 2-7: Bilancio dell'umidità della membrana [3]

2.2.3. Il Fuel Cell Stack e gli apparati ausiliari

Il salto di tensione prodotto da ogni cella è limitato, perciò per raggiungere valori significativi di tensione risulta necessario collegare in serie più celle, formando quello che viene definito uno Stack.

Un efficace metodo di connessione deriva dall’impiego dei piatti bipolari, che uniscono l’intera superficie di un catodo con quella dell’anodo della cella successiva.

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Sui piatti bipolari, solitamente realizzati in acciaio o grafite, sono ricavate delle canalizzazioni separate per il passaggio dei due gas impiegati nella reazione, l’idrogeno e l’ossigeno.

Fig. 2-8: Configurazione dello Stack con piatti bipolari

L’idrogeno e l’ossigeno possono essere convogliati agli elettrodi attraverso collettori esterni (Fig. 2-9), nel caso in cui i piatti bipolari presentino le canalizzazioni a flussi incrociati viste prima, oppure attraverso collettori interni (Fig. 2-10).

In quest’ultima tipologia il disegno dei piatti bipolari è più complesso, ma si ha il vantaggio di poter disporre di un circuito nel quale far scorrere un fluido refrigerante.

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Fig. 2-10: Collettori interni

L’utilizzo di collettori interni è fondamentale per Fuel Cell di elevata potenza, poiché viene generato molto calore e quindi risulta essenziale utilizzare un sistema di raffreddamento a liquido con radiatore esterno.

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Uno Stack di celle a combustibile per funzionare deve essere assistito da un insieme di dispositivi ausiliari, che verranno analizzati più nel dettaglio nei paragrafi a seguire. Nell’elenco puntato sono stati raggruppati in tre circuiti i componenti principali:

• Circuito dell’idrogeno: serbatoio nel quale immagazzinare l’idrogeno compresso, una serie di valvole e un eiettore che regolano la pressione e il flusso di combustibile da inviare all’elettrodo della cella;

• Circuito dell’aria: compressore per trasferire aria in pressione al catodo, umidificatore dell’aria;

• Circuito di raffreddamento: pompa per la circolazione del liquido refrigerante, ventilatore che soffia sul radiatore;

Il layout dei vari ausiliari è mostrato nell’immagine seguente.

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2.2.4. Curva di polarizzazione e rendimento

La curva di polarizzazione

In questo paragrafo sarà esaminata la curva di polarizzazione della cella, cioè la curva di tensione generata dalla cella stessa in funzione della densità di corrente (solitamente in A/cm2).

L’espressione della tensione teorica reversibile a circuito aperto (OCV, Open Circuit Voltage), che corrisponde quindi alla tensione con un passaggio di corrente nullo nel circuito, per la legge fondamentale dell’elettrochimica risulta essere:

𝐿_{𝑒𝑙,𝑟𝑒𝑣} = 𝑛 𝐹 𝐸 = −∆𝐺 → 𝐸 = −∆𝐺/𝑛𝐹

Dove:

𝐿_{𝑒𝑙,𝑟𝑒𝑣} = lavoro elettrico reversibile [J/mol]

𝑛 = numero di elettroni scambiati durante la reazione 𝐹 = costante di Faraday [C/mol], pari a 96485 𝐸 = tensione a circuito aperto reversibile [V] ∆𝐺 = energia libera di Gibbs [J/mol]

Nel caso di una PEMFC, che produce acqua in forma liquida (lavorano tra i 70 e i 90 °C), sostituendo l’energia libera di Gibbs della reazione e svolgendo i conti si ottiene l’equazione di Nerst relativa:

𝐸 ≅ 𝐸0 _{+ (𝑇 − 𝑇} 𝑟𝑒𝑓) ∆𝑆0 2𝐹 + 𝑅𝑇 2𝐹ln ( 𝑝𝐻2 𝑝𝑂2 0,5 𝑝₀ ) Dove:

𝐸0 = tensione relativa alla pressione di riferimento, pari a 1.23V a 𝑇𝑟𝑒𝑓

𝑇 = temperatura all’interno dello stack [K] 𝑇𝑟𝑒𝑓 = temperatura di riferimento, pari a 298 K

∆𝑆0/2𝐹 = fattore che tiene di conto della variazione di E con T, pari a -0.85 mV/K 𝑅 = costante dei gas 8.314 [J/(K mol)]

𝑝_𝐻2,𝑝_𝑂2= pressione parziale dei reagenti [bar] 𝑝0 = pressione di riferimento, pari a 1 bar

18 Il termine (𝑇 − 𝑇𝑟𝑒𝑓)

∆𝑆0

2𝐹 rappresenta l’andamento di 𝐸

0 _{in funzione della temperatura,} termine che cambia in base allo stato fisico dei prodotti di reazione (acqua allo stato liquido o aeriforme). Questa dipendenza viene riportata nel seguente grafico:

Fig. 2-12: Dipendenza di E0 _{dalla temperatura}1

A causa di diversi fenomeni di natura elettrochimica che avvengono durante il normale funzionamento della cella, il valore reale di tensione 𝐸 misurato ai capi degli elettrodi si discosta sensibilmente dal valore di OCV, anche con pressioni dei reagenti superiori a quelli di riferimento, poiché il termine logaritmico fornisce un contributo modesto dell’ordine di 10 mV alla tensione di cella.

Nella figura seguente è riportato l’andamento reale della tensione di cella in funzione della densità di corrente. Si osservi che anche il valore di tensione a circuito aperto si trova al di sotto del valore teorico E0_{, e ciò è dovuto da due fenomeni:}

• Correnti interne: la membrana è un buon isolante, ma si verifica comunque una piccola conduzione elettronica dovuta alla tensione generata dalla reazione chimica;

1 _{Nel modello su Simscape è stato utilizzato il valore di -0.24 mV/K, poiché più corretto per le altre tipologie} di Fuel Cell e comunque non comporta un grosso errore per la PEMFC

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• Fuel crossover: la membrana consente la conduzione ionica e dovrebbe bloccare l’idrogeno molecolare, ma parte del combustibile diffonde dall’anodo al catodo senza ionizzarsi;

L’effetto complessivo di questi due fenomeni è che l’OCV reale (𝐸𝑜𝑐) si attesta attorno ad 1 V, ben al di sotto dei 1,23 V teorici.

Fig. 2-13: Curva di polarizzazione di una PEMFC

Oltre a questi due fenomeni, alle basse densità di corrente si hanno anche le perdite di attivazione (Activation losses, ∆𝑉_𝑎𝑐𝑡), dove una parte della tensione generata viene spesa per polarizzare gli elettrodi. Queste perdite si riducono aumentando la temperatura di

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cella, la pressione e la concentrazione dei reagenti e impiegando catalizzatori più efficienti.

Le perdite nel tratto centrale della curva sono invece lineari: in questa parte incide principalmente la resistenza offerta dagli elettrodi al passaggio degli elettroni e la resistenza offerta dall’elettrolita al passaggio degli ioni. Questa caduta di tensione è considerata proporzionale alla densità di corrente (Ohmic losses, ∆𝑉𝑜ℎ𝑚).

Nel tratto finale incide la diminuzione di concentrazione dei reagenti sulla superficie degli elettrodi ad elevate correnti di funzionamento (Mass transport o Concentration losses,

∆𝑉_{𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠}): le pressioni parziali di idrogeno e ossigeno in prossimità degli elettrodi tendono

infatti a diminuire durante l’evolversi della reazione e ciò si tramuta in una caduta di tensione. Tutti i fenomeni di irreversibilità sopra considerati si vanno a sottrarre alla tensione di circuito aperto reale 𝐸_𝑜𝑐, dando luogo alla tensione reale di cella descritta dall’equazione:

𝑉 = 𝐸_𝑜𝑐 − ∆𝑉_𝑎𝑐𝑡− ∆𝑉_𝑜ℎ𝑚− ∆𝑉_{𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠}

Si rimanda ai paragrafi successivi sul come sono stati calcolati i vari contributi.

Rendimento

Per una cella a combustibile il rendimento è definito come il rapporto tra l’energia elettrica prodotta e la quantità di calore generata attraverso un tradizionale impiego termico del combustibile. Quest’ultima quantità è espressa in funzione dell’entalpia, che assume valori diversi in base allo stato (liquido o aeriforme) nel quale si trovano i prodotti di reazione.

Nel caso in cui i prodotti di reazione siano allo stato gassoso si ha un rendimento teorico:

𝜂_{0,𝑃𝐶𝐼} =𝑃𝑜𝑢𝑡

𝑃_𝑖𝑛 = 𝑣 𝑖 ∆𝐻_𝑔 ∙_𝑛𝐹𝑖

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Dove:

𝑣 = tensione di cella [V] 𝑖 = corrente di cella [A]

∆𝐻𝑔 = entalpia di reazione, pari a -242 [kJ/mol]

𝑛 = numero di elettroni scambiati durante la reazione, pari a 2 𝐹 = costante di Faraday, pari a 96485 [C/mol]

𝑖 / 𝑛𝐹 = numero di moli nell’unità di tempo [mol/s]

Nella definizione del rendimento della cella si tiene solitamente conto anche dei fenomeni di dispersione dell’idrogeno, compreso il fuel crossover; in altre parole tutto il combustibile inviato non prende parte alla reazione e questo fenomeno viene caratterizzato da un coefficiente di utilizzazione del combustibile μc.

𝜂_𝑐 = 𝜇_𝑐𝜂₀

Come si è visto negli schemi realizzativi, oltre allo Stack di celle sono presenti degli ausiliari che assorbono potenza utile, e ciò fa sì che l’espressione del rendimento η del sistema non sia sempre decrescente ma abbia un massimo. L’equazione risulta essere allora: 𝜂 = 𝜇_𝑐𝑣𝑖 − 𝑃𝑎𝑢𝑥 ∆𝐻_𝑔 ∙_𝑛𝐹𝑖 = 𝜇_𝑐𝑣𝑖 − 𝑃𝑎𝑢𝑥 𝑣𝑖 _𝜂 0 ⁄ = 𝜂𝑐 𝑣𝑖 − 𝑃_𝑎𝑢𝑥 𝑣𝑖

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Fig. 2-14: Rendimenti dello Stack e del sistema

Si può tra l’altro osservare nel grafico seguente, dove è rappresentato il rapporto tra potenza erogata e potenza massima in funzione della densità di corrente, come il punto di massimo rendimento non coincida con il punto di massima potenza.

Dovendo quindi alimentare un carico che richieda una definita potenza è lecito chiedersi se sia il caso di impiegare uno stack sovradimensionato, che lavori cioè non alla potenza massima erogabile ma in condizioni superiori di rendimento, oppure uno stack che lavori sempre alla massima potenza, uguale a quella richiesta dal carico.

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Fig. 2-15: Potenza e rendimento del sistema

2.3. Descrizione del modello di letteratura

Il modello di letteratura utilizzato come punto di partenza è quello presente nelle librerie Simscape, all’interno del programma Matlab Simulink, e risponde in parte alle specifiche richieste all’inizio del capitolo.

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Fig. 2-16: Maschera Fuel Cell Stack Simscape [1]

La maschera Fuel Cell Stack integra al suo interno un modello generico che può rappresentare le tipologie più popolari di sistemi di generazione elettrica a Fuel Cell alimentate a idrogeno e aria: PEMFC, SOFC e AFC.

Sono presenti due versioni del modello di Stack: un modello semplificato ed uno dettagliato. Si può passare da un modello all’altro selezionandolo nella finestra di dialogo il Model detail level all’interno della sotto maschera (vedi Fig. 2-19).

Nei seguenti paragrafi verranno descritti brevemente la struttura ed il funzionamento di queste due versioni, per ulteriori dettagli si rimanda a [2].

2.3.1. Il modello Simplified

Il modello che fa da fondamenta a quello che è stato poi traslato in linguaggio Modelica è la versione Simplified, raffigurato nell’immagine seguente all’interno del programma Matlab Simulink.

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Fig. 2-17: Stack Fuel Cell Simplified

Questo modello è basato sul circuito equivalente dello Stack, che è mostrato di seguito:

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Questo modello prende come ingresso la corrente richiesta dalle celle e fornisce come uscita solamente la tensione dello Stack, in base ai parametri immessi ed alle equazioni che vengono utilizzate. Non saranno quindi ottenibili informazioni fondamentali come il consumo di idrogeno, il rendimento dello Stack e il consumo degli ausiliari.

I parametri che vanno immessi nella maschera per riprodurre la curva di polarizzazione dello Stack (dati che possono essere ottenuti dal datasheet del produttore) sono i seguenti:

• Tensione dello Stack a 0 A e 1 A di funzionamento;

• Tensione e corrente dello Stack a funzionamento nominale;

• Tensione e corrente dello Stack alla corrente di massimo funzionamento;

Fig. 2-19: Parametri in ingresso

Il modello Simplified rappresenta un particolare tipo di sistema di generazione a Fuel Cell, operante in tutto il range di funzionamento in condizioni nominali di temperatura, di pressione di alimentazione dell’idrogeno e di pressione di alimentazione dell’aria.

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2.3.2. Il modello Detailed

Il modello Detailed ha al suo interno delle equazioni che gli consentono di calcolare diverse grandezze, tra cui alcune di quelle da noi richieste, come il consumo di idrogeno e la portata di aria in ingresso (utile per calcolare la potenza assorbita dal compressore). Questo modello è appunto più dettagliato del modello Simplified, e consente a parametri come pressione di alimentazione, temperatura di funzionamento nello Stack, composizione e portate dell’idrogeno e dell’aria di variare durante la simulazione: c’è la possibilità di scegliere quali far variare all’interno della maschera del modello su Simulink.

Queste variabili influenzano: • La Tafel slope (𝐴_𝑡) • L’exchange current (𝑖₀)

• La tensione di circuito aperto (Open Circuit Voltage, 𝐸_𝑜𝑐)

Il circuito equivalente è il medesimo di quello utilizzato per la versione Simplified (Fig. 2-18), ad eccezione che i parametri (𝐴_𝑡, 𝑖₀, 𝐸_𝑜𝑐) si aggiornano durante la simulazione e che quindi non sono più costanti.

Le equazioni presenti all’interno di questo modello verranno spiegate nel paragrafo 2.4, dove verranno implementate in linguaggio Modelica all’interno di Dymola.

2.3.3. Le ipotesi semplificative e le limitazioni del modello

Ci sono molte ipotesi semplificative all’interno del modello Detailed, le quali vanno a semplificare (e a volte proprio a rimuovere) la simulazione di alcuni aspetti del funzionamento dello Stack:

• I gas sono ideali;

• Lo Stack può essere alimentato solamente da idrogeno e aria;

• Lo Stack si suppone equipaggiato con un sistema di raffreddamento che mantiene la temperatura al catodo e all’anodo costanti e uguali alla temperatura dello Stack;

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• Lo Stack si suppone equipaggiato con un water management system che mantiene l’umidità all’interno della cella al livello appropriato, per ogni carico: perciò non si analizzerà il controllo dell’umidità della membrana;

• Non viene simulata la zona di trasporto di massa (Mass transport o concentration region) visto che la maggior parte delle Fuel Cell non opera in questa zona: le cadute di tensione della cella si suppongono dovute solamente alle perdite di attivazione ∆𝑉_𝑎𝑐𝑡, alle perdite ohmiche ∆𝑉_𝑜ℎ𝑚, alle correnti interne ed al fuel crossover;

• Le cadute di pressione attraverso i condotti dell’aria e dell’idrogeno sono considerate trascurabili;

• La resistenza di cella è costante in ogni condizione di funzionamento;

Di seguito invece vengono elencate le limitazioni del modello:

• Gli effetti dovuti dalla temperatura e dall’umidità della membrana sulla resistenza interna non sono considerati;

• I flussi dei gas o dell’acqua all’interno della membrana non sono considerati; • Per il calcolo del rendimento complessivo del sistema Fuel Cell mancano i

consumi degli ausiliari;

• Non è strutturato come modello object-oriented;

Tutte queste semplificazioni e limitazioni permettono la creazione di un modello molto snello che comunque consente il calcolo delle grandezze richieste, ad eccezione del consumo degli ausiliari che dovrà essere integrato completamente.

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2.4. Implementazione del modello di letteratura su Dymola

Fig. 2-20: Blocco FC su Dymola

Come segnali in ingresso2 allo Stack sono stati posti quei parametri, che in base alle ipotesi del modello, vanno a variare in funzione della dinamica dell’intero sistema durante la simulazione. Partendo dall’alto si ha:

• la pressione di alimentazione dell’idrogeno p_H2; • la corrente richiesta alla Fuel Cell I_in;

• la pressione di alimentazione dell’aria p_air;

• La portata di aria che viene fornita dal compressore M_air_compr;

Queste ultime due grandezze non sono al momento correlate, come per il modello su Simscape, ma verranno messe in relazione tra loro nel modello modificato.

Come segnali in uscita si hanno i due pin, positivo e negativo (rispettivamente il quadratino blu e bianco), che danno la tensione in uscita dallo Stack, l’idrogeno consumato in litri/min (il triangolino superiore) e la richiesta di aria al compressore in kg/s (il triangolino inferiore).

30

All’interno del blocco/maschera si ha l’insieme delle equazioni e dei blocchi che consentono di ricavare le uscite precedentemente descritte, per uno Stack operante in condizioni nominali di temperatura.

Il modello è implementato in Dymola come raffigurato nell’immagine seguente.

Fig. 2-21: Struttura del modello FC Dymola

Nella parte testuale del modello sono riportate tutte le equazioni che vengono utilizzate nel modello Detailed, che verranno riportate nei paragrafi successivi.

Il modello sopra esposto è una trasposizione più o meno fedele del modello presente su Simscape. Anche se piuttosto ordinato non è intuitivo comprendere la relazione tra i vari blocchi, e questo sarà un aspetto che verrà migliorato successivamente con una modellazione più orientata agli oggetti.

31

2.4.1. Costruzione della curva di polarizzazione

Il sottoinsieme evidenziato in rosso è il cuore del modello, dove dall’ingresso del segnale di corrente si ricava la tensione in uscita dallo stack, ricostruendo la curva di polarizzazione.

Come precedentemente descritto, il calcolo della tensione tiene conto delle perdite di attivazione, delle perdite ohmiche, del fuel cross-over e delle correnti interne. Le equazioni in gioco sono quindi le presenti:

𝑉

= 𝐸 − ∆𝑉

𝐸 = 𝐸

− ∆𝑉

∆𝑉

= 𝑁 𝐴

ln (

) ∙

∆𝑉

= 𝑅

∙ 𝐼

𝐸𝑜𝑐 = tensione reale di circuito aperto (V) N = numero di celle

At = pendenza di Tafel (V)

𝑖0= exchange current (A)

𝑇𝑑 = tempo di assestamento dello stack (s)

𝑅𝑜ℎ𝑚 = resistenza interna (ohm)

𝐼𝑓𝑐 = corrente della Fuel Cell (A)

𝑉𝑓𝑐 = tensione della Fuel Cell (V)

La seconda equazione è derivata da [3] (equazione 3.4) e rappresenta la tensione dello Stack considerando solamente le perdite di attivazione. In [3] queste perdite sono modellate elettricamente da un ramo in parallelo RC, perciò in un repentino cambio di corrente, la tensione di cella mostrerà un ritardo di risposta che è approssimativamente 3 volte la costante di tempo τ (τ = RC) prima di arrivare all’equilibrio. Questo fenomeno è qui rappresentato ritardando le perdite di attivazione con una funzione di trasferimento del primo ordine, con 𝑇𝑑 il tempo di assestamento dello Stack. Il termine 𝐸𝑜𝑐 è la tensione

32

reale di circuito aperto che si ottiene dal data-sheet dello Stack: esso racchiude in sé l’effetto principale dovuto dal fuel cross-over e dalle correnti interne, cioè appunto l’abbassamento della tensione a circuito aperto.

La prima equazione fornisce la tensione effettiva dello Stack, considerando anche le perdite ohmiche dovute dalla resistenza degli elettrodi e dell’elettrolita.

La seconda equazione è rappresentata da questi blocchi:

Fig. 2-22: Eoc e Vact

Il variableLimiter ha come limite inferiore l’exchange current 𝑖₀ e come limite superiore infinito, e ciò simula il fatto che ho perdite di attivazione solo se supero la densità di corrente 𝑖₀.

Come già espresso in precedenza abbiamo che 𝐴_𝑡, 𝐸_𝑜𝑐 e 𝑖₀ che variano in base all’andamento dei parametri in ingresso. Le equazioni che le definiscono sono le seguenti:

𝐸_𝑜𝑐 = 𝐾_𝑐 ∙ 𝐸_𝑛 𝑖0 = 𝑧 𝐹 𝑘(𝑃_𝐻2+ 𝑃_𝑂2) 𝑅 ℎ ∙ exp ( −∆𝐺 𝑅 𝑇) 𝐴_𝑡= 𝑅 𝑇 𝑧 𝛼 𝐹 Dove: 𝐸𝑛 = tensione di Nerst [V]

𝐾𝑐 = costante di proporzionalità, ottenuta con 𝐸𝑛 in condizioni nominali

𝑧 = numero di elettroni scambiati durante la reazione, pari a 2 𝐹 = costante di Faraday, pari a 96485

𝑘 = costante di Boltzmann, pari a 1.38 ∙ 10−23 [J/K] 𝑅 = costante dei gas, pari a 8.3145 [J/(mol K)] ℎ = costante di Planck, pari a 6.626 ∙ 10−34 [J s]

33

𝑃𝐻2, 𝑃𝑂2 = pressioni parziali di idrogeno e ossigeno all’interno dello stack [atm]

∆𝐺 = activation barrier energy [J]

𝑇 = temperatura all’interno dello stack [K] 𝛼 = charge transfer coefficient

La tensione di circuito aperto 𝐸_𝑜𝑐 dello Stack varierà in base alla variazione della tensione di Nerst 𝐸_𝑛 e di 𝑖₀, in funzione alla pressione parziale dei reagenti.

La pendenza di Tafel 𝐴_𝑡 rimarrà invece costante, in quanto si suppone che la temperatura all’interno dello stack rimanga costante. Per questo motivo, come vedremo in seguito, non verrà usata l’equazione scritta in precedenza per il calcolo di 𝐴_𝑡, ma basterà quella del modello simplified che si ricava il termine 𝑁 ∙ 𝐴_𝑡.

Prima di poter sottrarre le perdite ohmiche, sono presenti altri blocchi che gestiscono l’output della tensione se in ingresso si supera la corrente massima di progetto (𝐼_𝑚𝑎𝑥): Vend e SatDyn.

Fig. 2-23: Vend

Vend è un coefficiente che va a moltiplicarsi ad E ed ha il seguente comportamento:

Corrente in ingresso Segnale in uscita

𝟎 < 𝑰 < 𝑰𝒎𝒂𝒙 1

𝑰_𝒎𝒂𝒙 < 𝑰 < 𝑰_𝒍𝒊𝒎 cos (( 𝐼

𝐼_𝑚𝑎𝑥 − 1) 𝐾𝑠𝑖𝑛)

𝑰 > 𝑰_𝒍𝒊𝒎 < 03

3 _{Il blocco SatDyn si occupa poi di far essere pari a 0 l’uscita, per ulteriori dettagli sulla struttura del modello} su Simulink si rimanda a [1]

34

Ciò consentirebbe di simulare in maniera molto approssimativa la zona di trasporto di massa, facendo crollare a zero la tensione dello stack se si supera la corrente massima di progettazione.

Fig. 2-24: Esempio di curva di polarizzazione con il blocco Vend [2]

Questo andamento della curva di polarizzazione non risulta realistico e quindi, come si vedrà in seguito, in ingresso al blocco Fuel-Cell verrà posizionato un limiter per non superare a priori il valore imposto di 𝐼𝑚𝑎𝑥, così da non riscontrare questo problema. Così facendo il modello non potrà raggiungere la zona di trasporto di massa, zona che oltretutto si cerca di evitare anche per le applicazioni reali per via dell’elevato degrado delle prestazioni e della conseguente bassa efficienza del sistema.

Perciò nella nostra simulazione non entrerà mai in gioco questo sottosistema, che come segnale di uscita darà costantemente 1.

Per completezza si descrive comunque il blocco SatDyn, il quale è composto da tre ingressi:

• 𝑢𝑝 = 𝑖𝑛𝑓

• 𝑢 = 𝐸 (che si ricorda essere pari a “𝐸_𝑜𝑐− ∆𝑉_𝑎𝑐𝑡”) • 𝑙𝑜 = 𝑉_𝑜ℎ𝑚 = 𝑖_𝑓𝑐 ∙ 𝑅_𝑜ℎ𝑚

35

Fig. 2-25: Blocco Saturation Dynamic

In uscita da questo blocco si ha: • la tensione 𝐸, se 𝑢 > 𝑙𝑜; • il valore 𝑉_𝑜ℎ𝑚, se 𝑢 < 𝑙𝑜;

La seconda condizione si realizza solamente per 𝐼 > 𝐼_𝑚𝑎𝑥: è stato scelto quel valore poiché col successivo feedback in cui vengono sottratte le perdite ohmiche si ottiene complessivamente 𝑉_𝑜𝑢𝑡 = 0 𝑉.

36

Infine, al valore di tensione in uscita dal SatDyn, vengono sottratte le perdite ohmiche, ottenendo così la tensione di uscita dello Stack.

Per i blocchi appena descritti ed i parametri al loro interno è stato sufficiente immettere i valori di tensione e corrente dello Stack a funzionamento nominale, a corrente massima, di tensione dello Stack a 0 A e 1 A, e le equazioni presenti all’interno del modello Simplified [2], elencate qui di seguito:

𝑉₁ = 𝐸_𝑜𝑐 − 𝑁 𝐴_𝑡ln((1 𝐴)/𝑖₀) − 𝑅_𝑜ℎ𝑚∙ 1 𝐴 𝑉_𝑛𝑜𝑚 = 𝐸_𝑜𝑐 − 𝑁 𝐴 ln(𝐼_𝑛𝑜𝑚/𝑖₀) − 𝑅_𝑜ℎ𝑚𝐼_𝑛𝑜𝑚 𝑉_𝑚𝑖𝑛 = 𝐸_𝑜𝑐 − 𝑁 𝐴 ln(𝐼_𝑚𝑎𝑥/𝑖₀) − 𝑅_𝑜ℎ𝑚𝐼_𝑚𝑎𝑥

Che riordinate diventano:

Parametri Equazioni modello simplified

𝑵 𝑨_𝒕 𝑁 𝐴_𝑡 =(𝑉1− 𝑉𝑛𝑜𝑚)(𝐼𝑚𝑎𝑥 − 1 𝐴) − (𝑉1− 𝑉𝑚𝑖𝑛)(𝐼𝑛𝑜𝑚− 1 𝐴) ln(𝐼𝑛𝑜𝑚) (𝐼𝑚𝑎𝑥− 1 𝐴) − ln(𝐼𝑚𝑎𝑥)(𝐼𝑛𝑜𝑚− 1 𝐴) 𝑹_𝒐𝒉𝒎 𝑅_𝑜ℎ𝑚 = 𝑉1− 𝑉𝑛𝑜𝑚 − 𝑁 𝐴 ln (𝐼𝑛𝑜𝑚) 𝐼_𝑛𝑜𝑚− 1 𝐴 𝒊_{𝟎,𝒏𝒐𝒎} 𝑖_{0,𝑛𝑜𝑚} = exp (𝑉1− 𝐸𝑜𝑐+ 𝑅𝑜ℎ𝑚∙ 1 𝐴 𝑁 𝐴_𝑡 )

L’𝑖_{0,𝑛𝑜𝑚} appena calcolato è quello ricavato in condizioni nominali, e verrà sfruttato per

ricavarsi i rimanenti parametri.

Di seguito, un esempio delle equazioni del modello Simplified riscritte all’interno della parte testuale del modello in Dymola.

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Fig. 2-27: equazioni modello Simplified riportate su Dymola

I parametri di funzionamento massimo e nominale vengono espressi in funzione del numero di celle N e della superficie di passaggio della corrente della cella A (cm2_). Per far ciò sono stati presi i valori di tensione e densità di corrente di una cella, sia in funzionamento nominale (vnom e dnom), sia in funzionamento a corrente massima (vmin e

dmax):

𝑉_𝑛𝑜𝑚 = 𝑣_𝑛𝑜𝑚∙ 𝑁 𝐼_𝑛𝑜𝑚 = 𝑑_𝑛𝑜𝑚∙ 𝐴 𝑉_𝑚𝑖𝑛 = 𝑣_𝑚𝑖𝑛∙ 𝑁 𝐼_𝑚𝑎𝑥 = 𝑑_𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝐴

Per i restanti parametri (𝛼, 𝐾_𝑐, ∆𝐺), necessari per calcolarmi l’andamento di 𝐴_𝑡, 𝑖₀ e 𝐸_𝑜𝑐, si è dovuto aggiungere il set di equazioni appartenenti al modello Detailed.

Parametri Equazioni modello Detailed 4

𝜶 𝛼 =𝑁 𝑅 𝑇𝑛𝑜𝑚 𝑧 𝐹 𝑁𝐴_𝑡 ∆𝑮 ∆𝐺 = −𝑅 𝑇𝑛𝑜𝑚∙ ln ( 𝑖₀ 𝐾1 ) 𝐾₁ = 2 𝐹 𝑘(𝑃𝐻2(𝑛𝑜𝑚)+ 𝑃𝑂2(𝑛𝑜𝑚)) ℎ 𝑅 𝑃𝐻2(𝑛𝑜𝑚) = (1 − 𝑈𝑓𝐻2(𝑛𝑜𝑚)) 𝑥%𝑛𝑜𝑚 𝑃𝑓𝑢𝑒𝑙(𝑛𝑜𝑚) 4 _∆𝐻

38 ∆𝑮 𝑃_{𝑂2(𝑛𝑜𝑚)}= (1 − 𝑈𝑓_{𝑂2(𝑛𝑜𝑚)}) 𝑦%_𝑛𝑜𝑚 𝑃_{𝑎𝑖𝑟(𝑛𝑜𝑚)} 𝑈𝑓𝐻2(𝑛𝑜𝑚) = 𝜂_𝑛𝑜𝑚 ∆𝐻0 _𝑁 2 𝐹 𝑉𝑛𝑜𝑚 𝑈𝑓_{𝑂2(𝑛𝑜𝑚)} = 60000 𝑅 𝑇𝑛𝑜𝑚 𝑁 𝐼𝑛𝑜𝑚 2 𝑧 𝐹 𝑃_{𝑎𝑖𝑟(𝑛𝑜𝑚)} 𝑉_{𝑎𝑖𝑟(𝑛𝑜𝑚)} 𝑦%_𝑛𝑜𝑚 𝑲_𝒄 𝐾_𝑐 = 𝐸𝑜𝑐 𝐸_{𝑛(𝑛𝑜𝑚)}

Per definire queste equazioni sono necessari ulteriori parametri di funzionamento della Fuel Cell, ottenibili dal datasheet del produttore. Tutti i parametri necessari sono elencati nel paragrafo 2.4.4.

Dopo aver inserito tutti i parametri richiesti dal modello si ottiene la seguente curva di polarizzazione dello Stack, dove spicca subito l’assenza della zona di trasporto di massa.

Fig. 2-28: Curva di polarizzazione dello stack

39

Fig. 2-29: Potenza dello Stack

2.4.2. Calcolo del flusso di aria e idrogeno

Il calcolo del flusso di idrogeno consumato per una determinata corrente erogata è rappresentato da questi blocchi:

Fig. 2-30: Calcolo flusso di idrogeno

Il ramo inferiore in ingresso al blocco product è il segnale di corrente in ingresso, il ramo superiore è costituito dall’equazione del flusso di idrogeno per unità di corrente, l’uscita è la portata di idrogeno (in l/min) in funzione della corrente richiesta.

40 𝐹𝑢𝑒𝑙 𝑅𝑎𝑡𝑒 𝐻₂

𝐼_𝑓𝑐 =

60000 𝑅 𝑇_𝑛𝑜𝑚 𝑁 𝑧 𝐹 𝑃_{𝑓𝑢𝑒𝑙} 𝑥_𝑛𝑜𝑚

Perciò la portata di idrogeno necessaria, calcolata in [l/min], sarà:

𝐹𝑢𝑒𝑙 𝑅𝑎𝑡𝑒 𝐻₂ =60000 𝑅 𝑇𝑛𝑜𝑚 𝑁 𝑧 𝐹 𝑃_{𝑓𝑢𝑒𝑙} 𝑥_𝑛𝑜𝑚 ∙ 𝐼𝑓𝑐

Dove:

𝑇𝑛𝑜𝑚 = temperatura di funzionamento nominale [K]

𝑃𝑓𝑢𝑒𝑙 = pressione di alimentazione dell’idrogeno [Pa]

𝑅 = costante universale dei gas [J/K mol] 𝑁 = numero di celle

𝑧 = numero di elettroni scambiati durante la reazione, pari a 2 𝐹 = costante di Faraday

𝑥𝑛𝑜𝑚 = percentuale di idrogeno nel combustibile

60000 = fattore di conversione per passare da m3

/s a l/min 𝐼𝑓𝑐 = corrente che attraversa la fuel cell [A]

Il calcolo della portata d’aria richiesta al compressore, in funzione corrente richiesta da erogare allo Stack, è invece espresso da sole equazioni, riportando quindi nel modello il solo risultato della portata massica dell’aria 𝑀_𝑎𝑖𝑟.

Fig. 2-31: Calcolo flusso di aria

Le equazioni sono le seguenti:

𝑄_𝑎𝑖𝑟 = 𝑅 𝑇𝑛𝑜𝑚 𝑁 𝐼𝑓𝑐 𝜆 2 𝑧 𝐹 𝑃_𝑎𝑖𝑟 𝑦_𝑛𝑜𝑚

41 𝑀_𝑎𝑖𝑟 = 𝑄_𝑎𝑖𝑟∙ 𝜌_𝑎𝑖𝑟

Dove:

𝑄𝑎𝑖𝑟 = portata volumetrica di aria in funzione della corrente[m3/s]

𝑀𝑎𝑖𝑟 = portata massica di aria in funzione della corrente [Kg/s]

𝑃𝑎𝑖𝑟 = pressione di alimentazione dell’aria [Pa]

𝜆 = coefficiente stechiometrico dell’ossigeno, pari a 2 𝑦𝑛𝑜𝑚 = percentuale di ossigeno nell’aria, pari a 0.21

𝜌𝑎𝑖𝑟 = densità dell’aria a temperatura e pressione presenti all’interno della Fuel Cell [Kg/m3] Il coefficiente stechiometrico 𝜆 rappresenta il rapporto tra l’ossigeno fornito (𝑂_2,𝑖𝑛) alla Fuel Cell e l’ossigeno consumato nella reazione (𝑂_2,𝑐).

𝜆 =𝑂2,𝑖𝑛 𝑂_2,𝑐

Scegliere un lambda ottimale è un compito delicato: un valore elevato comporta sprechi di energia, poiché c’è da pompare più aria; un valore prossimo ad 1 fa spuntare prematuramente effetti di calo di concentrazione dei reagenti, con conseguente calo della tensione e delle prestazioni della Fuel Cell.

Prendendo a riferimento il testo [3], un valore realistico di questo coefficiente che rappresenta un giusto compromesso è di 𝜆 = 2.

2.4.3. Calcolo del rendimento dello stack senza ausiliari

Per calcolare il rendimento dello stack senza considerare gli ausiliari sono state utilizzate le solite equazioni descritte nel paragrafo 2.2 dei richiami.

Per ricavare questo parametro si ricorda che si utilizza come potenza in ingresso la quantità di calore generata attraverso un tradizionale impiego termico del combustibile, per ragioni di confronto con altri utilizzi termici del combustibile.

42

Al posto del parametro 𝜇_𝑐, che tiene conto di una generica dispersione dell’idrogeno durante la reazione, viene utilizzato il parametro 𝑈𝑓𝐻2, che tiene conto delle perdite dovute dalle correnti interne e dal fuel crossover.

𝜂_𝑓𝑐 =𝑃𝑜𝑢𝑡 𝑃_𝑖𝑛 𝑃_𝑜𝑢𝑡 = 𝑉_𝑓𝑐∙ 𝐼_𝑓𝑐 𝑃_𝑖𝑛 = 𝑁 ∆𝐻0 𝐼𝑓𝑐 𝑈𝑓_𝐻2 𝑧 𝐹 Dove:

𝑉𝑓𝑐= tensione dello stack (V)

𝐼𝑓𝑐 = corrente dello stack (A)

𝑈𝑓_𝐻2= utilizzazione % di idrogeno

∆𝐻0 = entalpia di reazione con acqua aeriforme LHV (J/mol), pari a -242 kJ/mol

𝑁 = numero di celle in serie nello stack

Equazioni che sono rappresentate dai seguenti blocchi su Dymola.

Fig. 2-32: Blocchi per il calcolo il calcolo del rendimento della fuel-cell

L’utilizzazione percentuale di idrogeno 𝑈𝑓_𝐻2 è definita come flusso molare di idrogeno che reagisce 𝑛_𝐻2𝑟 _{(in moli/s), diviso per il flusso molare fornito alla cella 𝑛}

𝐻2 𝑖𝑛_. 𝑛_𝐻2𝑟 ₌ 𝐼𝑓𝑐 𝑁 𝑧 𝐹 𝑛_𝐻2𝑖𝑛 ₌ 𝑃𝑓𝑢𝑒𝑙 𝑉𝑓𝑢𝑒𝑙 𝑥% 𝑅 𝑇_𝑛𝑜𝑚

43 𝑈𝑓𝐻2 = 𝑛_𝐻2𝑟 𝑛_𝐻2𝑖𝑛 = 60000 𝑅 𝑇𝑛𝑜𝑚 𝑁 𝐼𝑓𝑐 𝑧 𝐹 𝑃_{𝑓𝑢𝑒𝑙} 𝑉_{𝑓𝑢𝑒𝑙} 𝑥% Dove:

𝑃𝑓𝑢𝑒𝑙 = pressione di alimentazione dell’idrogeno (Pa)

𝑉𝑓𝑢𝑒𝑙 = portata volumetrica di idrogeno in funzione della corrente (l/min)

𝑥% = percentuale di idrogeno nel carburante

L’effetto complessivo di queste due perdite è molto contenuto, e viene supposto equivalente ad una perdita di densità di corrente attorno ai 2 mA/cm2 _{[3] [15].}

Supponendo 𝑈𝑓_𝐻2 costante e pari al suo valore a funzionamento nominale (pari a 0.995), il rendimento dello stack in assenza di ausiliari risulta avere questo andamento in funzione della densità di corrente.

44

2.4.4. Dati Fuel Cell Stack

Di seguito sono elencati tutti i parametri da inserire all’interno del modello, suddivisi per il modello Simplified e per il modello Detailed. La curva di polarizzazione presa a riferimento è quella presente in [3].

Parametri modello simplified Valore Simbolo in Dymola

Tensione a 0 A [V] 489 V0

Tensione a 1 A [V] 485 V1

Numero di celle 500 N

Sezione della cella [cm^2] 700 A

Tensione di cella a funzionamento nominale [V] 0.694 vnom

Tensione di cella a corrente massima [V] 0.591 vmin

Densità di corrente a funzionamento nominale [A/cm2_{] 0.456 dnom} Densità di corrente a corrente massima [A/cm^2] 0.744 dmax

Parametri modello detailed Valore Simbolo in Dymola

Rendimento a funzionamento nominale 0.551 EtaNom

Temperatura di funzionamento nominale [°C] 80 Tnom

Pressione di alimentazione nominale dell’idrogeno (bar) 1.73 PFuelNom Pressione di alimentazione nominale dell’aria (bar) 1.36 PAirNom Portata di aria a funzionamento nominale (l/min) 2280 QairNom

Percentuale di idrogeno nel carburante 99.99% xnom

45

2.4.5. Validazione del modello di Fuel Cell di letteratura

Inserendo i dati forniti dal datasheet della Fuel Cell, è possibile verificare la bontà della simulazione della stessa confrontando la curva di polarizzazione e la curva di potenza ottenuta.

Nella scelta dei dati da inserire, per il funzionamento nominale si è scelto un punto della curva vicino al funzionamento a corrente massima, così da poter ricostruire una curva di polarizzazione simile a quella reale agli alti regimi di potenza, che sono quelli maggiormente sfruttati.

46

Fig. 2-35: Confronto tra le potenze

Il modello non ricostruisce una curva di polarizzazione corretta alle basse densità di corrente, mentre risulta accurato per la curva di potenza in tutto il range di funzionamento: l’errore su quest’ultimo grafico risulta contenuto in quanto alle basse densità di corrente ci sono in gioco potenze limitate. Ciò consentirà quindi di ottenere errori accettabili non solo nell’analisi della potenza erogata, ma anche nell’analisi dell’energia erogata e quindi dei consumi.

47

2.5. Cambiamenti introdotti

Il modello appena descritto risponde a tutti i punti richiesti all’inizio del Cap. 2, ad eccezione del calcolo dei consumi degli apparati ausiliari e di una modellazione orientata agli oggetti.

A seguire, viene riportata una lista dei cambiamenti introdotti all’interno di questo paragrafo, in cui oltre ai punti mancanti, sono presenti ulteriori modifiche aggiunte:

• Modifica delle equazioni e modellazione object-oriented; o Riorganizzazione delle equazioni;

o Implementazione del modello di cella equivalente RC; o Modifica del calcolo della pressione parziale dei reagenti;

o Aggiunta del coefficiente 𝑈𝑓𝐻2 per il calcolo dell’idrogeno consumato; • Implementazione semplice del calcolo delle perdite di carico nel circuito dell’aria; • Implementazione dei sistemi ausiliari:

o Circuito dell’aria; o Circuito dell’idrogeno; o Circuito di raffreddamento;

2.5.1. Modifica delle equazioni e modellazione object-oriented

Uno dei punti fondamentali di questa tesi riguarda l’utilizzo della modellazione object-oriented: si parte dal blocco più interno del modello, dove sono state riordinate le equazioni fondamentali, fino ad arrivare al sistema di generazione completo che comprende anche gli apparati ausiliari. Durante la disamina della nuova struttura del sistema, verranno elencati anche i vari cambiamenti effettuati alle equazioni del modello.

48

Blocco Polarization Curve

Fig. 2-36: Blocco “Polarization curve”

Come descritto dal nome del blocco, questo sottosistema ha il compito di ricostruire la curva di polarizzazione, in funzione del segnale di corrente in ingresso e degli altri parametri che sono variabili nel tempo, che sono:

• La pressione di alimentazione dell’idrogeno pH2_FC; • La pressione media dell’aria nello Stack pAir_FC;

• La portata massica di aria fornita dal compressore M_AirCompr;

A differenza del modello su Simscape, si vuole ricreare il modello elettrico RC equivalente della Fuel Cell, poiché fisicamente più corretto. Per far questo, i cali di tensione dovuti alle perdite di attivazione e alle perdite ohmiche sono stati trasformati in resistenze equivalenti, le quali in base alla corrente che passa nel circuito forniscono nuovamente le corrispondenti perdite di tensione.

49

Fig. 2-37: Modello R-C equivalente [3]

Per le perdite resistive ∆𝑉_𝑜ℎ𝑚 è stato sfruttato il valore 𝑅_𝑜ℎ𝑚, presente nelle equazioni del modello semplificato, che è costante per ogni condizione di carico. Per ottenere le perdite di attivazione ∆𝑉_𝑎𝑐𝑡, rappresentate dalla resistenza equivalente 𝑅_𝑎, si è semplicemente diviso il calo di tensione ∆𝑉_𝑎𝑐𝑡 per la corrente passante nella Fuel Cell, ottenendo un valore che varia col carico. L’ultimo segnale in uscita da questo blocco è la tensione di circuito aperto dello Stack 𝐸_𝑜𝑐, che è quello presente all’interno delle equazioni del modello Detailed.

Un altro cambiamento effettuato rispetto al modello di letteratura è il calcolo delle pressioni parziali dell’idrogeno e dell’ossigeno, da utilizzare all’interno dell’equazione di Nerst. Nel modello su Simscape vengono calcolate con le seguenti equazioni:

𝑃_𝐻2 = (1 − 𝑈_𝑓𝐻2)𝑥% 𝑃_{𝑓𝑢𝑒𝑙} 𝑃_𝑂2 = (1 − 𝑈_𝑓𝑂2)𝑦% 𝑃_𝑎𝑖𝑟

Dove:

𝑃𝑓𝑢𝑒𝑙 = pressione di alimentazione dell’idrogeno [bar]

𝑃𝑎𝑖𝑟 = pressione di alimentazione dell’aria [bar]

𝑥% = percentuale di idrogeno nel combustibile, pari a 99.99% 𝑦% = percentuale di ossigeno nel combustibile, pari a 21% 𝑈𝑓𝐻2 = utilizzazione percentuale dell’idrogeno, pari a 0.995

𝑈𝑓𝑂2 = utilizzazione percentuale dell’ossigeno, pari a 0.50

Questo calcolo fornisce in pratica le pressioni parziali dei reagenti una volta che hanno reagito con lo Stack, vista la definizione che viene fornita per 𝑈𝑓_𝐻2 (descritta nel paragrafo 2.4.3), che è analoga anche per 𝑈𝑓_𝑂2.

50

Il valore delle pressioni parziali è un argomento molto delicato per un modello zero-dimensionale come quello utilizzato. Le pressioni a cui reagiscono l’idrogeno e l’ossigeno sono difficili da calcolare con precisione, poiché cambiano lungo il percorso attraverso lo Stack: questi due reagenti durante il passaggio vengono consumati dalla reazione, e quindi la loro pressione parziale si riduce andando verso l’uscita.

Nel nostro modello, per la pressione parziale dei reagenti vengono utilizzate le seguenti relazioni [3]:

𝑃_𝐻2 = 𝑥% 𝑃_{𝑓𝑢𝑒𝑙} 𝑃_𝑂2 = 𝑦% 𝑃_{𝑎𝑖𝑟(𝑚𝑒𝑎𝑛)}

𝑃𝑎𝑖𝑟(𝑚𝑒𝑎𝑛) = (𝑃𝑎𝑖𝑟𝐼𝑁+ 𝑃𝑎𝑖𝑟𝑂𝑈𝑇)/2

Queste tre equazioni forniscono, in contrasto con quanto scritto nel modello su Simscape, le pressioni parziali dei reagenti all’interno dello Stack, senza considerarne la quota consumata durante il funzionamento. L’equazione della pressione media dell’aria è stata inserita per via dell’integrazione delle perdite di carico, le quali verranno spiegate nel paragrafo successivo, supponendo una caduta di pressione lineare tra ingresso e uscita. Per mettere a confronto i due modelli, facendo un esempio con pressione assoluta di alimentazione di idrogeno ed aria di 2.5 bar5, si ottiene:

• Su Simscape: 𝑃_𝐻2 = 0.012 bar, 𝑃_𝑂2 = 0.26 bar;

• Con le nuove equazioni: 𝑃_𝐻2 = 2.49 bar, 𝑃_𝑂2 = 0.37 bar;

Questo divario provoca una sostanziale differenza tra i valori ottenuti del contributo del termine logaritmico presente nell’equazione di Nerst.

Con le nuove equazioni si ottiene una tensione di Nerst di 1.18 V, mentre con quella di Simscape 1.10 V. Ai fini della simulazione non cambia nulla, poiché la tensione 𝐸𝑜𝑐 dello Stack viene ricavata moltiplicando il coefficiente 𝐾_𝑐 (paragrafo 2.4.12.4.4) per la tensione di Nerst 𝐸_𝑛.

5 _{Con una 𝑃}

51

Fig. 2-38: Confronto curve di polarizzazione, con eq. di Simscape e eq. nuove

Infine, all’interno di questo blocco, è stato inserito anche il calcolo della potenza in ingresso alla Fuel Cell 𝑃_𝑖𝑛 , che tornerà utile per ricavarsi il rendimento della Fuel Cell.

Blocco Fuel Cell

52 In questo sottosistema è presente:

• la struttura del circuito RC equivalente (Fig. 2-40);

• Il calcolo della portata massica di idrogeno consumato [g/s];

• Il calcolo della portata massica di aria richiesta al compressore [kg/s]; • Il calcolo delle cadute di pressione nel circuito dell’aria;

• Il calcolo della pressione media dell’aria PAir_FC [bar];

• Il calcolo del calore generato dalla Fuel Cell per unità di tempo [W];

Fig. 2-40: Modello R-C equivalente su Dymola

Il blocco Polarization Curve genera i tre segnali che forniscono i valori che devono avere le resistenze Rr, Ra e il generatore di tensione E. La capacità in parallelo va a simulare un comportamento che si presenta all’interno della cella, che nel modello di partenza era simulato utilizzando una funzione di trasferimento del primo ordine: lo strato di cariche che sono su/vicino all’interfaccia elettrolita-elettrodo è un serbatoio di cariche elettriche ed energia, e come tali si comportano similmente ad un condensatore. Se la corrente varia, ci vorrà un po’ di tempo per questa carica (e la sua associata tensione) a dissiparsi (se la corrente si riduce) o ad accumularsi (se la corrente aumenta).

53

Questo fatto è riportato sperimentalmente dalla relazione tensione-corrente che si ottiene mandando in ingresso allo Stack un gradino di corrente, nel caso specifico portando la corrente da 100 mA/cm2 a 0 mA/cm2. Dall’immagine seguente è possibile ottenere la costante di tempo del sistema, che si attesta attorno agli 0.2 s, valore che sarà utilizzato all’interno del modello.

Per ottenere il valore della capacità C, sì è sfruttata la costante di tempo τ (TAU nel modello), poiché la costante di tempo risulta essere:

𝜏 = 𝑅_𝑎∙ 𝐶 = 0.2 𝑠 → 𝐶 = 𝜏 𝑅_𝑎

Fig. 2-41: Andamento di V per un'interruzione repentina della corrente [3]

54

Per il calcolo della portata di aria sono state utilizzate le equazioni presenti nel modello Detailed, mentre per la portata dell’idrogeno consumato è stata inserita l’utilizzazione percentuale 𝑈𝑓_𝐻2, in modo da considerare l’idrogeno non reagito per via del fuel crossover e delle correnti interne. La nuova portata, che modifica quella precedentemente calcolata nel paragrafo 2.4.2, diventa semplicemente:

𝐹𝑢𝑒𝑙 𝑅𝑎𝑡𝑒 𝐻₂ =60000 𝑅 𝑇𝑛𝑜𝑚 𝑁 𝐼𝑓𝑐 𝑧 𝐹 𝑃𝑓𝑢𝑒𝑙 𝑥𝑛𝑜𝑚

∙ 1 𝑈𝑓𝐻2

In ingresso a questo blocco ci sono le solite variabili presenti nel blocco Polarization curve, ad eccezione che al posto della pressione media dell’aria è presente la pressione dell’aria fornita dal compressore PAir_in.

Le equazioni che si calcolano le cadute di pressione all’interno del circuito dell’aria verranno mostrate nel paragrafo 2.5.2, come il calore generato dalla Fuel Cell che verrà mostrato nel paragrafo 2.5.3 che tratta dei sistemi ausiliari.

Blocco Fuel Cell stack

55

Questo sottosistema è molto semplice, è costituito dal blocco Fuel Cell, dal sistema di controllo che si occupa di far erogare la potenza richiesta, dalla valvola che regola la pressione di mandata dell’idrogeno e dal convertitore dc-dc.

Gli ingressi e le uscite di questo sottosistema sono praticamente identici a quelli del blocco Fuel Cell, ad eccezione che al posto della corrente in ingresso si ha la potenza richiesta in ingresso.

Il sistema di controllo divide la potenza richiesta dal Power Management Module (che analizzeremo in seguito) per la tensione di uscita dello Stack, fornendo il segnale di corrente che lo Stack deve erogare; questo segnale viene poi susseguito da un limiter che ne limita la corrente al valore 𝐼_𝑚𝑎𝑥 che riesce ad erogare la cella.

La regolazione della pressione di alimentazione dell’idrogeno è fornita dal blocco variableLimiter che è stato rinominato H2valve.

Fig. 2-44: Regolazione della pressione di alimentazione dell'idrogeno

Questo blocco prende il segnale di pressione pH2_in e ne limita il valore superiore col segnale pAir_in: così facendo si simula il comportamento di una valvola che regola la pressione in funzione del valore della pressione dell’aria, pratica che è solita farsi per l’alimentazione di un Fuel Cell Stack [3].

Il convertitore dc-dc ideale è un chopper elevatore, che ha il compito di far interfacciare il circuito elettrico dello Stack col resto del sistema, che opera a tensioni più elevate di circa 650 V (per un SOC di batteria di 0.5).

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Blocco Fuel Cell System (Primary Converter)

Infine, si ha la modellazione dell’intero sistema, comprensivo di ausiliari che analizzeremo nel paragrafo successivo. Come linea guida per la modellazione del sistema si è preso lo schema riportato in Fig. 2-11, anche se gli ingressi e le uscite dei vari blocchi sono nettamente diversi.

Fig. 2-45: Fuel Cell System (Primary Converter)

I sistemi ausiliari sono stati simbolicamente raggruppati in tre blocchi: O2, H2 e W_coolSys.

Il segnale di portata d’aria richiesta viene mandato all’interno del blocco O2, nel quale viene elaborato ottenendo poi come uscite la portata d’aria effettivamente fornita dal compressore, la pressione di alimentazione dell’aria e la potenza consumata dal compressore. I segnali di portata e pressione sono mandati come ingresso nel blocco dello Stack, mentre la potenza consumata viene mandata nel blocco add, rinominato powAux.