Universit`a dell’Aquila - Elettromagnetismo e Fisica 2
Nome Cognome N. Matricola Corso di Studio CFU
... ... ... ... .... Terza prova parziale - 11/01/2016
Tempo a disposizione un’ora per Fisica 2 (esercizio 1), due ore per Elettromagnetismo (esercizio 1 e 2).
Problema 1
Due sbarrette conduttrici, ciascuna di resistenza R = 0.1 Ω e massa m = 100 g, poggiano senza attrito su due bina-ri obina-rizzontali di resistenza trascurabile. La distanza tra i binari `e ` = 0.8 m. Il sistema ´e immerso in un campo ma-gnetico uniforme B = 0.7 T , entrante nel piano della figura. La barretta 1 si muove con velocit`a costante v1 = 8 m/s,
mentre nell’istante iniziale la barretta 2 `e ferma. Determi-nare a) l’intensit`a iniziale della corrente circolante (3 pun-ti); b) la forza agente sulla sbarretta 2 nell’istante iniziale (2 punti); c) l’equazione della velocit`a della sbarretta 2 in funzione del tempo ed in particolare al tempo t1 = 0.1 s (4
punti); d) l’intensit`a della corrente che circola nel circuito dopo un tempo molto lungo (1 punti).
Problema 2
Il circuito mostrato in figura `e alimentato con un genera-tore Vef f = 1.1 V di cui pu`o essere variata la frequenza.
L’induttanza vale L = 1.2 mH, la capacit`a vale C = 10 µF , le due resistenze R1 = 80 Ω e R2 = 10 Ω. Determinare: a)
la corrente efficace fornita dal generatore se la pulsazione vale ω1 = 100 rad/s (2 punti); b) la tensione ai capi di R1
per una pulsazione ω2 = 106 rad/s (2 punti); c) la
pulsa-zione di risonanza (4 punti); d) l’impedenza alla frequenza di risonanza (2 punti).
Soluzione: Problema 1
a)
Il flusso concatenato alla superficie tra le sbarrette vale: φ = B`(x1− x2)
Quindi, all’istante iniziale:
fo=
∂φ
∂t = B`v1 La corrente circolante iniziale (in senso anti-orario) vale:
io =
f
2R = 22.4 A b)
La forza agente sulla sbarretta 2 in t = 0 `e rivolta verso destra e vale: F2 = B`io = 12.54 N
c)
L’equazione del moto della sbarretta 2 `e: mdv2
dt = iB`
Con i circolante in senso anti-orario e quindi propulsiva, la corrente vale: i = B`(v1− v2) 2R quindi: mdv2 dt = B2`2 2R (v1− v2) Separando le variabili: dv2 v2− v1 = −dt τ con: τ = 2Rm B2`2 = 0.064 s Z v2(t) 0 dv2 v2− v1 = − Z t 0 dt0 τ v2(t) = v1 1 − e−t/τ La velocit`a della sbarretta 2 dopo t1 `e diventata:
v2(t1) = 6.33 m/s
d) A regime le due barrette si muovono con la stessa velocit`a, quindi la variazione di flusso `
Problema 2 a)
La pulsazione ω1 `e piccola essendo ω1L R2 e 1/(ω1C) R2, per cui il parallelo `e
praticamente la sola resistenza R2 e quindi la corrente vale:
I1e ≈
Vef f
R1+ R2
= 12.2 mA b)
La pulsazione ω2 `e grande essendo ω2L R2 e 1/(ω2C) ω2L, per cui il parallelo `e
l’impedenza della sola capacit`a che molto piccola, quindi la caduta di potenziale `e solo ai capi di R2 ed `e:
VR2 ≈ Vef f = 1.1 V
c)
Usando il metodo simbolico, l’impedenza totale vista dal generatore `e: Z = R1+ 1 jωC + 1/(R2+ jωL) = R1+ R2+ jωL 1 − ω2LC + jωR 2C Razionalizzando la frazione: Z = R1+ (R2 + jωL)(1 − ω2LC − jωR2C) (1 − ω2LC)2+ (ωR 2C)2
Annullando il numeratore della parte immaginaria:
ωL − ω3L2C − ωR22C = 0 ωr = q 1/(LC) − R2 2/L2 = 3700 rad/s d) ZR= R1 + R2 (1 − ω2 rLC)2+ (ωrR2C)2 = 92 Ω
