Corso di laurea in Fisica Compito d’esame/III esonero di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 2 Febbraio 2011 studente/ssa: matricola:

(1)

Corso di laurea in Fisica

Compito d’esame/III esonero di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 2 Febbraio 2011

studente/ssa:

matricola:

• Per la parte di meccanica quantistica svolgere gli esercizi fra 1) e 2)

• Per la parte di meccanica statistica svolgere un esercizio fra 3) 4) e 5)

• Gli studenti che devono sostenere la terza prova d’esonero svolgano due fra gli esercizi 3) 4) e 5)

• Gli studenti del CDL in Matematica svolgano solo la parte di meccanica quantistica (1) e 2)) 1) Un oscillatore armonico unidimensionale di frequenza ω `e perturbato dal termine

V = −λ(xp + px) con x e p operatori coordinata ed impulso rispettivamente.

- Calcolare la correzione al primo ordine dei livelli imperturbati.

- Confrontando con la soluzione esatta determinare il regime di validit`a della teoria delle perturbazioni determinandolo dalla condizione

E

ⁿ

(λ) − E

ⁿ⁽¹⁾

(λ)

¯hω < 0.1

dove E

(

λ) `e l’autovalore esatto dell’energia e E

n⁽¹⁾

`e l’autovalore all’ordine 1 in lambda.

Suggerimento: per la soluzione esatta trovare la trasformazione canonica che riduce l’Hamiltoniano in pre- senza di V ad un Hamiltoniano armonico. Se si vuole si pu` o esprimere anche x e p in termini degli operatori di creazione e distruzione

2) Lo stato di un atomo di idrogeno `e tale che

a) una misura di energia da unicamente i valori corrispondenti allo stato fondamentale ed al primo stato eccitato con ugual probabilit`a

b) i due valori possibili in una misura del modulo del momento angolare L

²

sono ottenuti con uguale probabilit`a.

c) una misura dela componente L

^z

da unicamente il valore 0 - Determinare la totalit`a degli stati in questione

- Un generico degli stati suddetti `e autostato dell’Hamiltoniano?

- Un generico degli stati suddetti `e autostato di L

^z

?

3) Confrontare la dipendenza in temperatura e volume dell’entropia

- in un gas perfetto di particelle monoatomiche di massa m a temperatura T contenute nel volume V

- in un corpo nero a temperatura T e volume V

1

(2)

4) Un cilindro di superficie di base S ed altezza h si muove in uno spazio privo di campi esterni di moto accelerato uniforme ad accelarazione a diretta lungo l’asse del cilindro. In esso si trova un gas perfetto di particelle di massa m a temperatura T . Determinare

- la distribuzione della velocit`a in un generico punto del cilindro - la densit`a del gas in un generico punto del cilindro

- l’entropia del gas dipende dalla accelerazione del sistema? Discutere il risultato

5) Per quanto riguarda i gradi di libert`a rotazionali un insieme di N molecole a temperatura T `e schematizzato da un insieme di rotatori quantistici di momento angolare I. Nell’ipotesi in cui la temperatura sia tale che T << ¯h

Corso di laurea in Fisica Compito d’esame/III esonero di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 2 Febbraio 2011 studente/ssa: matricola:

Corso di laurea in Fisica

Compito d’esame/III esonero di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 2 Febbraio 2011

studente/ssa:

matricola:

• Per la parte di meccanica quantistica svolgere gli esercizi fra 1) e 2)

• Per la parte di meccanica statistica svolgere un esercizio fra 3) 4) e 5)

• Gli studenti che devono sostenere la terza prova d’esonero svolgano due fra gli esercizi 3) 4) e 5)

• Gli studenti del CDL in Matematica svolgano solo la parte di meccanica quantistica (1) e 2)) 1) Un oscillatore armonico unidimensionale di frequenza ω `e perturbato dal termine

V = −λ(xp + px) con x e p operatori coordinata ed impulso rispettivamente.

- Calcolare la correzione al primo ordine dei livelli imperturbati.

- Confrontando con la soluzione esatta determinare il regime di validit`a della teoria delle perturbazioni determinandolo dalla condizione

E

(λ) − E

(λ)

¯hω < 0.1

dove E

λ) `e l’autovalore esatto dell’energia e E

`e l’autovalore all’ordine 1 in lambda.

Suggerimento: per la soluzione esatta trovare la trasformazione canonica che riduce l’Hamiltoniano in pre- senza di V ad un Hamiltoniano armonico. Se si vuole si pu` o esprimere anche x e p in termini degli operatori di creazione e distruzione

2) Lo stato di un atomo di idrogeno `e tale che

a) una misura di energia da unicamente i valori corrispondenti allo stato fondamentale ed al primo stato eccitato con ugual probabilit`a

b) i due valori possibili in una misura del modulo del momento angolare L

sono ottenuti con uguale probabilit`a.

c) una misura dela componente L

da unicamente il valore 0 - Determinare la totalit`a degli stati in questione

- Un generico degli stati suddetti `e autostato dell’Hamiltoniano?

- Un generico degli stati suddetti `e autostato di L

?

3) Confrontare la dipendenza in temperatura e volume dell’entropia

- in un gas perfetto di particelle monoatomiche di massa m a temperatura T contenute nel volume V

- in un corpo nero a temperatura T e volume V

1

4) Un cilindro di superficie di base S ed altezza h si muove in uno spazio privo di campi esterni di moto accelerato uniforme ad accelarazione a diretta lungo l’asse del cilindro. In esso si trova un gas perfetto di particelle di massa m a temperatura T . Determinare

- la distribuzione della velocit`a in un generico punto del cilindro - la densit`a del gas in un generico punto del cilindro

- l’entropia del gas dipende dalla accelerazione del sistema? Discutere il risultato

5) Per quanto riguarda i gradi di libert`a rotazionali un insieme di N molecole a temperatura T `e schematizzato da un insieme di rotatori quantistici di momento angolare I. Nell’ipotesi in cui la temperatura sia tale che T << ¯h

/Ik

determinare

- l’energia interna - il calore specifico

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