Integrale indefinito-definizione ed esrcizi per capire

Testo completo

(1)1. www.matematicagenerale.it. Integrali Indefiniti Definizione. Si dice che la funzione F(x) è una primitiva della funzione f(x) nell’intervallo [a; b] se F(x) è derivabile in ogni punto di tale intervallo e risulta: F’(x) = f(x) •. Se F(x) è una primitiva di f(x) anche F(x)+c è una primitiva infatti: D(F(x)+c)=F’(x)+0=F’(x)=f(x). •. Se F(x) e G(x) sono due primitive di f(x) esse differiscono per una costante infatti: se G’(x)= f(x) e F’(x) = f(x) dovrà essere per forza F’(x) = G’(x) e quindi F(x) = G(x)+ c da ciò segue che una funzione f(x) può non avere primitiva in [a; b] ma se ne ha una allora sono infinite. Se F(x) è una primitiva di f(x) allora tutte e sole le primitive sono date dalla – forma F(x)+c.. Definizione. Si chiama integrale indefinito della funzione f(x) la totalità delle primitive di f(x):. ) dx ∫ f ( x=. F ( x) + c. Esempi Integrali immediati: 1. ∫ x dx riconosciamo immediatamente che la nostra f ( x) = 1. dx ∫ x=. 1 è la derivata di lnx pertanto x. ln x + c. Oppure 1. ∫ 1+ x. 2. riconosciamo immediatamente che la nostra f ( x) =. dx. 1 è la derivata di arctgx pertanto 1 + x2. info@matematicagenerale.it.

(2) 2. www.matematicagenerale.it 1. dx ∫ 1+ = x 2. arctgx + c. ∫ 1dx. O anche. riconosciamo immediatamente che la nostra f ( x) = 1 è la derivata di x e quindi ∫ 1dx= x + c. Oppure ancora:. ∫ xdx , la f ( x) = x “assomiglia” tanto alla derivata di x2; per essere precisi la derivata di x2 è 2x quindi per avere un integrale immediato possiamo moltiplicare e dividere la nostra f(x) per 2, avremo: = ∫ xdx. Anche. 1 1 2 2 xdx = x +c ∫ 2 2. ∫ x dx 2. la f ( x) = x 2 “assomiglia” tanto alla derivata di x3; per essere precisi la derivata di x3 è 3x2 quindi per avere un integrale immediato possiamo moltiplicare e dividere la nostra f(x) per 3, avremo: dx ∫ x=. 1 1 3 3 x 2= dx x +c ∫ 3 3. In generale possiamo scrivere: xα +1 dx +c ∫ x= α +1 α. Pertanto: 5 ∫ x dx=. x6 +c; 6. 9 ∫ 2 x dx= 2. x10 x10 + c= +c 10 5. 2 ∫ x xdx=. 2 +1/2 ∫ x dx=. ∫x. 1 27. x2. = dx. 5/2 ∫ x dx=. 1 dx ∫ x 2 x 2/7 =. ∫x. 1. x5/2+1 x 7/2 2 7/2 c c x +c += += 5 / 2 +1 7/2 7. = dx 2 + 2/7. 1. dx ∫ x16/7 =. −16/7 dx ∫x =. x −16/7 +1 x −9/7 −7 += c += c +c −1 6/ 7 + 1 −9 / 7 9 7 x9. info@matematicagenerale.it.

(3) 3. www.matematicagenerale.it. Alcuni esempi di integrali indefiniti riconducibili a quelli immediati: •. Ricordiamo che 1. dx ∫ x=. ln x + c. e dunque ogni qual volta ci si trova :. ∫. 1 f= '( x)dx ln f ( x) + c f ( x). Esempi 1.. 1. 1. ∫ x − 2 dx= ∫ x − 2 ⋅1dx=. dove f ( x)= x − 2 e f '( x) = 1 Pertanto:. 1. ∫ x − 2 ⋅1dx=. ln x − 2 + c .. 1. 2.. ∫ 3x + 5 dx =. La derivata di f ( x= ) 3 x + 5 è f '( x) = 3 , pertanto moltiplicando e dividendo per 3 si ha l’integrale immediato: 1. 1. 1. dx ⋅ 3= dx ∫ 3x + 5= 3 ∫ 3x + 5. 3.. 1 ln 3 x + 5 + c 3. senx. ∫ cos x dx = senx. 1. 1. ∫ cos x dx = ∫ cos x ⋅ senxdx = (−1)∫ cos x ⋅ (−1)senxdx = (−1) ln cos x + c 4.. ∫ (1 + x. 2. dx = )arctagx. ∫ (1 + x. 2. dx 1 1 =∫ ⋅ dx =ln arctagx + c )arctagx arctagx (1 + x 2 ). info@matematicagenerale.it.

(4) 4. www.matematicagenerale.it •. Ricordando che: − cos x + c ∫ senxdx = xdx ∫ cos =. senx + c. e dunque ogni qual volta ci si trova : − co s f ( x) + c ∫ senf ( x) ⋅ f '( x)dx =. ∫ co. s f ( x) ⋅ f '( x)dx = senf ( x) + c. Esempi 1.. ∫. sen ln x 1 dx = sen ln x ⋅ dx = − cos ln x + c ∫ x x. 2.. ∫. cos x = dx x. ∫ cos. 1 1 x= dx 2 ∫ cos x = dx 2 sen x + c x 2 x. Ricordando che: 1. ∫ cos. 2. = dx tagx + c x. ∫ cos. 1 ⋅ f '( x)dx = tagf ( x) + c f ( x). 2. Esempi 1.. x2 1 3x 2 1 = dx = dx tagx 3 + c 2 3 ∫ cos 2 x3 ∫ 3 cos x 3 1. 2.. ∫ x cos. 2. ln x. dx=. ∫ cos. 1 1 ⋅ dx= tag ln x + c ln x x. 2. info@matematicagenerale.it.

(5) 5. www.matematicagenerale.it •. Ricordiamo che: α dx ∫ x=. xα +1 +c α +1. [ f ( x) ]. α +1. ∫f. α. ( x= ) f '( x)dx. α +1. +c. Esempi ln 4 x 1. ∫ dx = x. 1 ln 5 x ∫ ln x ⋅ x dx = 5 + c 4. tag 7 x 1 tag 8 x 7 2. ∫ 3 3∫ tag x ⋅ 3 dx = dx = +c cos 2 x cos 2 x 8 •. Ricordiamo che:. ∫ e dx= x. ∫e. f ( x). ex + c. f '( x= )dx e f ( x ) + c. Esempi. 1.. ∫e. 2.. e arctagx dx e arctagx + c 2 ∫ 1 + x=. senx. cos xdx = e senx + c. info@matematicagenerale.it.

(6)