5 - Introduzione al concetto di funzione

Definizione

Una funzione f dall’insieme A all’insieme B è una legge che ad ogni elemento di A associa un unico elemento di

B

f : A

! B

per ogni x

"A, l'

immagine

di x tramite f si indica con f (x)

per ogni y

"B, ogni

controimmagine

di y tramite f (se esiste!)

si indica con f

(y)

A si chiama dominio, B si chiama codominio

se A e B sono sottoinsiemi di numeri reali: funzione reale di una variabile reale

•

•

f : A

! B

•

•

Esempi di funzioni in economia

• funzione di produzione di Cobb-Douglass Lega il prodotto y al lavoro L ed al capitale K

• funzione domanda

Esprime la domanda di un certo bene in funzione del reddito e dei prezzi di tutti gli altri beni presenti sul

mercato:

y(L, K ) := cL1!aKa con c > 0,a "(0,1)

x1,…xn

• Funzione Utilita`:

Sia (x₁,…x_n) e (y₁,…y_n) due "consumi".

Introduciamo una "relazione di preferenza":

(x₁,…x_n) ! (y₁,…y_n) se il consumatore preferisce il primo consumo al secondo.

Se ciascun consumo e` preferito all'altro, i due consumi si dicono "indifferenti".

La funzione utilita` che esprime la preferenza del consumatore e` qualsiasi funzione u tale che:

1) u(x_1,,…x_n) > u(y₁,…y_n) sse (x₁,…x_n) ! (y₁,…y_n)

Positività:

Graficamente: il grafico di f e` sopra l’asse delle x

Es: Parita`:

Graficamente: il grafico di f e` simmetrico rispetto asse delle y

Es: Disparita`:

Graficamente: il grafico di f e` simmetrico rispetto all’origine

Es: Limitatezza:

Graficamente: il grafico di f e` sup. e inf. limitato

f : A ! R " R e` positiva se #x $R : f (x) % 0 f : A ! R " R e` pari se #x $R : f (x) = f (%x) f : A ! R " R e` dispari se #x $R : f (x) = % f (%x) f (x)= x2 (Es: f (3)= f (!3) = 9) f (x)= x3 (Es: f (3)= ! f (!3) = 27) f (x)= x2, f (x)= x4, f (x) = x, f (x) = 1 x2 + 1

f : A ! R " R e` limitata se f (A) limitato

#M $ 0 : %x &R : f (x) ' M

Grafico di una funzione

Si definisce grafico della funzione l’insieme:

G

:

= (x, y) : x !A, y = f (x)

{

}

= (x, f (x)) : x !A

{

}

f : A ! B

Il grafico di una funzione reale di variabile reale si

rappresenta tipicamente su un sistema di assi coordinati:

(x, f (x))

x f (x)

Dominio (o campo di esistenza):

piu` grande sottoinsieme della retta reale su cui

ha senso considerare la funzione

Funzioni Elementari

f ( x )

= m ! x + p, x " !

m è il coefficiente angolare

!

m

= tg(

!

)

p

Grafico 1 (m>0) -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3

Grafico 2 (m<0) -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3

Grafico 3 (m=0: funzione costante) -4 -2 2 4 1 2 3 4 5 6

2. Il valore assoluto

f (x)

= x :=

x

x

! 0

"x x < 0

#

$

%

3. La Parabola f (x) = a ! x2 + b! x + c, a,b,c "R -2 -1 1 2 1 2 3 4

4. La cubica

5. Funzione razionale 1

f (x)

=

1

x

, x

! 0

5. Funzione razionale 2

f (x)

=

1

x

, x

! 0

6. Radice quadrata

f (x)

= x, x ! 0

7. Radice cubica

f (x) = x

, x

!!

8. Funzione esponenziale

• Il numero a (con ) è la base • numero di NEPERO

f (x) = a

x

, x

!!

1

,

0

!

> a

a

2,71828

a e

= !

Grafico (a>1) -2 -1 1 2 3 5 10 15 20

9. Funzione logaritmica

y

= log

x, x

> 0

1

,

0

!

> a

a

( )

log ( ) log log

log log log

log log log 1 0 log 1 a c a b b a a a a a a a n a a a a b c a b a b a b b c b c b b c c b n b a = ! = = = " = + = # = " = =

Grafico (a>1)

1 2 3 4 5

-2 -1 1

10. Funzioni polinomiali

f (x)

= a

x

+ a

x

+!+ a

x

+ a

x

"", a

, a

,

…,a

""

10. Funzioni razionali

f (x)

=

p(x)

q(x)

con p(x) e q(x) funzioni polinomiali.

(Campo di Esistenza)

Procedimento per la ricerca del dominio (o campo di esistenza):

Dominio: piu` grande sottoinsieme della retta reale su cui ha senso considerare la funzione

1. Determinare tutte le condizioni:

• denominatori non nulli

• argomenti dei logaritmi strettamente positivi • radicandi di raduci pari non negativi

1.

_{1 0}

1 0

1

x

x

x

! " #

$

_{+ % & % "}

'

₁

x

!

Soluzioni

• Le soluzioni comuni del sistema sono quindi:

1 1

(

, 1) [1,

)

E

= !# ! $ +#

_!

_"#"

_{$ !#$}

2.

• entrambi i fattori sono sempre definiti per cui .

x

y

= "

x e

E = !

3.

• Condizioni:

Numeratore sempre definito Denominatore: Conclusione: 2

₁₆

2

x

y

x

!

=

+

2 0

2

x

+ ! " ! #

x

E

= ! \ !2

{ }

= (!",!2) # (!2,+")

4.

• Unica condizione data dal denominatore:

• Sempre verificata  2

3

1

y

x

=

+

1

+

x

!

0

E = !

5.

• Condizioni:

numeratore: sempre definito

denominatore: sempre diverso da zero Conclusione: 2

12

3

x

y

x

=

+

E = !

6.

• Condizioni:

Unico problema  esistenza dell’esponente che conduce a : Conclusione: 1 x x

y

= "

x e

1 0

1

x

! " # "

x

E

= ! \ 1

{ }

= (!",1) # (1,+")

7.

• Condizioni:

Entrambi i fattori sempre definiti (esponenziale e polinomio) Conclusione 

(

1) 1

y e

= ! " +

x

E = !

8.

• Condizioni:

(denominatore e argomento del logaritmo) • Conclusione: 3 log x

y e

=

log

0

1

0

0

x

x

x

x

!

!

"

_#

"

$

_>

$

_>

%

%

(0,1) (1,

)

E

=

! +"

9.

• Condizioni:

(argomento del logaritmo e due denominatori) • Conclusione: log x

e

y

x

=

log

0

1

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

!

!

"

"

#

_!

_$

#

_!

%

%

#

_>

#

_>

&

&

(0,1) (1,

)

E

=

! +"

10.

• Condizioni: entrambi i fattori (radice cubica ed esponenziale) sono sempre definiti

• Conclusione:

3 x

y

=

x e

!

11.

• Condizioni: radicando non negativo (il secondo fattore è sempre definito: polinomio)

2

(

1)

y

=

x x

! "

0

[0,

)

12.

• Condizioni: argomento del logaritmo 2

log x

y e

=

x

13.

• Condizione: argomento del logaritmo

• Conclusione:

(

)

log

1

y

=

x

+

_{1 0}

₁

x

+ > ! > "

x

( 1,

)

E

= ! +"

14.

• Condizioni:

 primo fattore (esponenziale) sempre definito

 Secondo fattore: il radicando (valore assoluto) è sempre non negativo.

Conclusione:

x

y e

= !

x

15.

• Condizioni: esponenziale sempre definito, denominatori non nulli 

• conclusione: 2 2 2 x e y x ! = !

2 0

2

x

!

" # "

x

E

= ! \

{ }

2

= (!", 2) # ( 2,+")

16.

• Condizione: radicando non negativo

• Conclusione: x

y e

=

x ! 0

[0,

)

E

=

+!

17.

• Condizioni: denominatore non nullo • Conclusione:

y

= e

! 1"

2

x

#

$%

&

'(

E

= ! / 0

{ }

18.

• Condizioni: denominatore, argomento dei due logaritmi 

• le prime due condizioni 

2

log

log

x

y

x

!

"

=

_#

_$

%

&

0

0

log

0

x

x

x

x

!

" #

""

_>

$

"

"

_>

"%

0

x

!

• Terza condizione.  numeratore

 denominatore

 segno del quoziente:

2 2

log

x

> !

0

x

>

1

0

x

>

( 1,0) (1,

)

E

= !

" +#

19.

• Condizioni: radicando e logaritmo

• Conclusione: 2

1 log

y

=

!

x

1 log

0

_log

₁

0

0

x

_x

x

x

x

e

e

x

e

! "

#

!

$

%

_&

'

'

₍

>

%

₎

)

$ * "

$ $

[

,0) (0,

]

E

= !

e

"

e

20.

• Condizioni: argomento del logaritmo e due denominatori • Conclusione: 1 log x

e

y

x

=

log

0

1

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

!

!

"

"

#

_!

_$

#

_!

%

%

#

_>

#

_>

&

&

(0,1) (1,

)

E

=

! +"

Funzione Iniettiva

elementi distinti hanno immagini distinte

!a,b "A : a # b $ f (a) # f (b)

ovvero

!a,b "A : f (a) = f (b) # a = b

Funzione Suriettiva

ogni elemento del codominio possiede almeno una controimmagine

!b "B # a "A :b = f (a)

•

•

•

•

Una funzione si dice biiettiva se e` iniettiva e suriettiva

Ovvero: ad ogni elemento del dominio fa corrispondere uno ed un solo elemento del codominio

Funzione Biiettiva (Corrispondenza Biunivova)

•

•

Operazioni su funzioni reali di variabile reale

• Somma:

• Differenza:

• Prodotto: • Quoziente:

condizione: denominatore non nullo

• Composizione: sia poniamo

(

f

+

g x

)( )

=

f x

( )

+

g x

( )

(

f

!

g x

)( )

=

f x

( )

!

g x

( )

(

f g x

!

)( )

=

f x g x

( )

!

( )

C

B

A

!

!"

!

!"

(

g f x

_!

)( )

=

g f x

( ( ))

f

g

!

"#

$

%&

(x)

=

f (x)

g(x)

Composizione: esempi

f :

R ! R f (x) = x

g :

R ! R g(x) = x +1

R

" !

" R

" !

" R

x

" !

" x

" !

" x

+1

perciò:

(g

_{! f ) :}

R ! R (g ! f )(x) = x

+1

Composizione: esempi

f :

R ! R f (x) = x +1

g :

R ! R g(x) = x

R

" !

" R

" !

" R

x

" !

" x +1

" !

" (x +1)

perciò:

(g

_{! f ) :}

R ! R (g ! f )(x) = (x +1)

• Osservazione: l’operazione di composizione non e` commutativa!

• Siano: • La funzione composta : 2

[ ( )]

1

y

=

f g x

=

!

x

g(x)

= 1! x

x

"[!1,1]

f (x)

= x x "[0,+#)

• Siano:

• La funzione composta sarà:

g(x)

= 1+ x

x

!!

f (x)

= log x x !(0,+")

[ ( )] log(1

)

y

=

f g x

=

+

x

Esempio: composizione di tre funzioni. f : R ! R f (x) = x3 g : R ! R g(x) = x "1 h :[0,+#) ! R h(x) = x R $ !f $ R $ !g $ R $ !h $ R x $ !f$ x3 $ !g$ x3 " 1$ !h$ x3 " 1 perciò: (h _{! g ! f )(x) = x}3 " 1

L’insieme di definizione della composizione e` l’insieme degli x tali che x3 ! 1 " 0 h ! g ! f

Funzioni invertibili

La funzione è invertibile se esiste una funzione tale che

La funzione è chiamata funzione inversa di e si indica con

Una funzione e` invertibile sse e` biiettiva (corrispondenza biunivoca tra dominio e codominio)

B

A

f

:

!

A

B

g

:

!

_{!x " A : (g ! f )(x) = x}

g

_f

_f

f monotona strettamente crescente se !x,y "A, x < y, f (x) < f (y) f monotona strettamente decrescente se !x,y "A, x < y, f (x) > f (y)

f monotona crescente (non-decrescente) se !x,y "A, x < y, f (x) # f (y) f monotona decrescente (non-crescente) se !x,y "A, x < y, f (x) $ f (y)

Monotonia di Funzioni

• Se f e` strettamente monotona e` iniettiva (non vale il viceversa!)

• Se f e` strettamente monotona e suriettiva e` biiettiva e quindi invertibile

Intorno di un punto

• intorno (completo) del punto x di ampiezza h:

I

(x) :

= (x ! h,x + h)

Estremi relativi

• c è un punto di massimo relativo per f se:

• c è un punto di minimo relativo per f se:

• Se le disuguaglianze valgono con il maggiore o minore stretto, parleremo di massimo e minimo “forti” o “propri”.

!h > 0 : f (x) " f (c) #x $ I

(c)

Estremi assoluti

• c è un punto di massimo assoluto per f se:

• c è un punto di minimo assoluto per f se:

• Un punto di estremo assoluto e` anche punto di estremo relativo.

f (x) ! f (c) "x # A

f (x) ! f (c) "x # A

Esempio grafico

Concavità e convessità

• Una funzione f è convessa in un intervallo A se:

Presi due punti dell’intervallo il grafico della funzione sta sotto la retta congiungente i due punti

• concava se:

Presi due punti dell’intervallo il grafico della funzione sta sopra la retta congiungente i due punti

1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) , 2 2 x x f x f x x x A f ! + " + # $ % _{' (} & ) * 1 2 1 2 1 2

( )

( )

,

2

2

x

x

f x

f x

x x

A

f

!

+

"

+

#

$ %

_'

₍

&

)

*

Funzione convessa

Funzione concava

1 2 3 4 5

-2 -1 1