DALLA TEORIA DEI CAMPI
ELETTROMAGNETICI AL MODELLO
DI CIRCUITO A COSTANTI
CONCENTRATE
Seminario interdisciplinare del corso di
Teoria dei Circuiti 1 - I modulo
Università di Roma “La Sapienza”
BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE
• G. MARTINELLI - M. SALERNO:
“Fondamenti di Elettrotecnica” - Vol. I - pp. 22-32
1- Descrizione del fenomeno elettromagnetico
(grandezze fisiche, parametri e relazioni costitutive, eq. Maxwell)
2- Problema fondamentale dell’elettromagnetismo
(approccio campistico e circuitale)
3- Ipotesi di costanti concentrate (enunciati e limiti di validità)
4- Conseguenze dell’ipotesi di costanti concentrate
(suddivisione in regioni tipiche)
5- Modello del circuito a costanti concentrate
(caratterizzazione con V ed I, leggi di Kirchhoff, relazioni costitutive)
1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico
• Il fenomeno elettromagnetico è dovuto all’esistenza delle
cariche
elettriche
• Una
struttura spaziale
contenente corpi diversi (ambiente
eterogeneo) è sede di fenomeni e.m. quando è
sollecitata
dall’esterno
Trasformazioni energetiche
• Per una caratterizzazione quantitativa occorre introdurre:
a) Grandezze fisiche appropriate
b) Parametri rappresentativi dei corpi
c) Relazioni costitutive dei materiali
d) Equazioni di Maxwell
a)
GRANDEZZE FISICHE
:CAMPO ELETTRICO [Volt/metro]
determinato da una distribuzione di cariche INDUZIONE ELETTRICA [Coulomb/m2]
determinato dall’interazione di con un materiale elettrico CAMPO MAGNETICO [Amperspira/m]
determinato da cariche in movimento
INDUZIONE MAGNETICA [Weber/m2]
determinato dall’interazione di con un materiale magnetico DENSITÀ DI CORRENTE DI CONDUZIONE [Ampere/m2] legata al moto delle cariche
E
→D
→H
→J
→B
→
H
→1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...)
E
•Le grandezze fisiche sono tutte di tipo vettoriale
•Sono descritte da opportuni modelli matematici e
possono essere determinate con metodi analitici,
sperimentali o numerici
1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...)
1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...)
b) PARAMETRI CHE CARATTERIZZANO I MATERIALI
:
ε
COSTANTE DIELETTRICA o PERMETTIVITÀ [Farad/m]µ
PERMEABILITÀ MAGNETICA [Henry/m]γ
CONDUCIBILITÀ [Ω-1/m]ρ
DENSITÀ SPAZIALE DI CARICA [Coulomb/m3]IPOTESI:
Hp 1: ISOTROPIA quantità scalari
Hp2: LINEARITÀ, PERMANENZA ed OMOGENEITÀ indipendenti dallo stato e.m., dal tempo e dal punto.
c) RELAZIONI COSTITUTIVE (CORPI O MATERIALI SEMPLICI):
e
rappresentano le
ECCITAZIONI ESTERNE
(trasformazioni energetiche)
ρ
(densità di carica)può essere considerata SORGENTE INTERNA
E
→0J
0→
1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...)
0
0
(
)
t
ε
µ
γ
∂
=
= −
∂
=
=
−
+
B
D
E
B
H
J
E E
J
r
r
r
r
r
r
r r
r
R1
R3
R2
d) EQUAZIONI DI MAXWELL
:densità corrente
magnetica di
spostamento
densità corrente
elettrica di
spostamento
1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...)
:
B
t
∂
∂
r
:
D
t
∂
∂
r
M1
M3
M4
M2
0
rot
t
rot
t
div
div
ρ
∂
= −
∂
∂
=
+
∂
=
=
B
E
D
H
J
B
D
r
r
r
r
r
r
r
Equazioni
indipendenti
E
→D
→H
→J
→B
→CHIUSURA ANALITICA DEL PROBLEMA E.M.:
•
5 incognite ( , , , e )
•
5 equazioni
•
Le equazioni di Maxwell costituiscono il modello matematico
fondamentale (di massima sintesi) del fenomeno e.m.
•
Ogni variazione temporale di un campo in un punto presuppone
l’esistenza, o la variazione temporale, del campo complementare
nello stesso punto
1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...)
2 equazioni indipendenti (M1 e M2)
3 relazioni costitutive
RICHIAMO SU TEOREMI E RELAZIONI VETTORIALI
TEOR. DI STOKES (DEL ROTORE):
Applicato ad M1 ed M2 fornisce: M1’) M2’) d S
n
→τ
→ Sc crot
Γ
→⋅
→n
dS
= Γ
→⋅
τ
→dc
c∫
Sc∫∫
E
→⋅
→τ
dc
= −
∂ B
→∂t
⋅
Sc∫∫
c∫
→n
dS
H
→⋅
→τ
dc
=
∂ D
→∂t
⋅
∫∫
∫
→n
dS
+
∫∫
→J
⋅
→n
dS
Circuitazioni di edE
→H
→TEOR. DELLA DIVERGENZA:
Applicato ad M3 ed M4 fornisce:
M3’)
M4’) DIVERGENZA DEL ROTORE:
n
→ d V V SV d Sdiv
Γ
→dV
=
Γ
→⋅
n
→dS
SV∫∫
V∫∫∫
B
→⋅
→n
dS
=
0
SV∫∫
D
→⋅
→n
dS
=
ρdV
V∫∫∫
SV∫∫
divrot
→Γ
=
0
∀ Γ
→ Flussi di e→B
→D
2- IL PROBLEMA FONDAMENTALE DELL’E.M.:
LA SOLUZIONE CAMPISTICA E QUELLA CIRCUITALE
Eccitazioni (cause) Uscite (effetti)
Due possibili approcci alla soluzione, distinti ma complementari:
1) Campistico
2) Circuitale
SEDE DEL FENOMENO E.M. SEDE DEL FENOMENO E.M.Struttura eterogenea caratterizzata da parametri fisici e geometrici noti
0
, ,
0ρ
E
r r
J
E D H B J
r r r r r
, ,
, ,
1)
Approccio della teoria dei campi
Studio della dinamica del sistema sulla base delle equazioni di Maxwell (considerazione diretta dei parametri introdotti e delle grandezze specifiche di campo).
L’individuazione delle grandezze fisiche può essere molto complessa. é Ipotesi semplificative:
Linearità: applicazione del principio sovrapposizione effetti
Caso quasi-statico magnetico:
Caso quasi-statico elettrico:
Caso statico:
∂ B
→∂ t
=
0
∂ D
→∂ t
=
0
∂ B
→∂ t
=
∂ D
→∂ t
=
0
2- IL PROBLEMA FONDAMENTALE DELL’E.M.:
2)
Approccio della teoria dei circuiti
Si impongono limitazioni su:
•
frequenze di lavoro
(campi e.m. lentamente variabili)
•
natura dei componenti
(presenza in un componente di un solo fenomeno e.m. per
volta, tempo-invarianza delle sue caratteristiche, ecc.)
2- IL PROBLEMA FONDAMENTALE DELL’E.M.:
2)
Approccio della teoria dei circuiti (cont. …)
Si ottiene una grande semplificazione nella trattazione
del problema e.m.:
•
Le grandezze vettoriali ( ) sono sostituite da
grandezze scalari (V, I ).
•
Le Equazioni di Maxwell sono sostituite dalle Leggi di
Kirchhoff (topologiche)
•
L’ambiente eterogeneo, sede del fenomeno e.m., è
rappresentato da un circuito: ente astratto privo di
dimensioni fisiche e soggetto solo a proprietà topologiche
(grafo)
E
→
, D
→, H
→, B
→, J
→2- IL PROBLEMA FONDAMENTALE DELL’E.M.:
3- L’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE
ENUNCIATI e LIMITI DI VALIDITÀ
•
Tre diverse formulazioni (con conseguenze diverse):
1) Assenza di dimensioni:
Le dimensioni geometriche della struttura sede del fenomeno e.m. sono sufficientemente piccole da poter essere trascurate
Ô APPROCCIO TOPOLOGICO
2) Velocità infinita:
La velocità di propagazione del fenomeno e.m. può considerarsi infinita Ô INDIVIDUAZIONE DI REGIONI TIPICHE (corpi o elementi
costitutivi dove è presente un solo fenomeno alla volta)
3) Assenza di ritardi:
Il tempo di trasmissione del fenomeno e.m. da un punto all’altro della struttura può considerarsi nullo
•
Limiti di validità (uso enunciato 3):: estremo superiore delle bande di frequenza dei
campi e.m. presenti, rappresentati nel dominio delle frequenze tramite Fourier (è una quantità nota)
: minimo intervallo di tempo apprezzabile (massima
rapidità di variazione temporale dei campi e.m. presenti)
f
maxt
min=
1
2 f
maxL
c
: dimensione geometrica massima della struttura
(nota)
: velocità di propagazione del campo e.m. nella
struttura (nel vuoto = velocità della luce)
t
trasm≤
L
c
: tempo impiegato dal campo per propagarsi da un
punto all’altro della struttura
3- L’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE
VERIFICA DELLA VALIDITÀ DELL’IPOTESI:
t
trasm<<
t
min→
L
c
<<
1
2 f
max→
2
L
c
f
max<<
1
Con la lunghezza d’onda:L
<<
λ
min•
Le dimensioni fisiche della struttura sede del fenomeno e.m.
devono essere trascurabili rispetto alla lunghezza d’onda
minima (campo a banda più larga) in gioco.
3- L’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE
VALIDITÀ IPOTESI C.C. - ESEMPI
ES. 1) Amplificatore HI-FI:
f
max−
˜
20kHz ; L ˜
−
1m ; c ˜
−
3
⋅
10
8m / s
AMPIAMENTE VERIFICATA2
L
c
f
max−
˜
2
⋅
1 m
[ ]
⋅
20
⋅
10
3[ ]
s
−13
⋅
10
8[ ]
m
⋅
s
−1=
1.3
⋅
10
−4<<
1
Oppure: AMPIAMENTEVERIFICATA
3- L’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE
ENUNCIATI e LIMITI DI VALIDITÀ (continua)
8 1 min 3 1 max
3 10 [
]
7500 [ ] >> 1 [ ]
2
20 10 [
]
c
m s
m
m
f
s
λ
=
=
⋅
⋅
−−=
⋅
ES. 2) Dispositivo a microonde:
f
max−
˜
2GHz ; L ˜
−
0.1m
NON ACCETTABILE!2
L
c
f
max−
˜
2
⋅
0.1 m
[ ]
⋅
2
⋅
10
9[ ]
s
−13
⋅
10
8[ ]
m
⋅
s
−1−
˜
1.3
>
1
Oppure:λ
min=
3
⋅
10
8[ ]
m
⋅
s
−12
⋅
2
⋅
10
9[ ]
s
−1=
0.075 m
[ ]
<
0.1 m
[ ]
NON ACCETTABILE!3- L’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE
ES. 3) Rete distribuzione energia elettrica:
f
max=
50 Hz ; L
≥
100Km
IPOTESI ACCETTABILE2
L
c
f
max−
˜
2
⋅
10
5[ ]
m
⋅
50 s
[ ]
−13
⋅
10
8[ ]
m
⋅
s
−1−
˜
0.03
<
1
λ
min=
3
⋅
10
8m
⋅
s
−1[ ]
2
⋅
50 s
[ ]
−1=
3.000Km
>
100Km
IPOTESI ACCETTABILE•
In questo caso la validità dell’ipotesi non è evidente: per reti di distribuzione di dimensione geografica potrebbe anche non essere verificata3- L’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE
Entro il limite di validità dell’ipotesi di costanti concentrate,
verificabile tramite l’enunciato 3 (assenza di ritardi), si può
derivare il modello circuitale a cost. conc.
•
Dall’enunciato 1 (assenza di dimensioni): le proprietà del modello si
riducono a quelle puramente topologiche
•
Dall’enunciato 2 (istantaneità): la struttura eterogenea sede del
fenomeno e.m. può essere suddivisa in regioni semplici di pochi tipi.
Infatti:
c
=
1
–
Legame tra velocità di propagazione del campo e.m. e materiali
presenti (parametri costitutivi,
ε
,
µ
):
Se l’ipotesi è verificata, in confronto a tutte le altre grandezze
in gioco si può pensare c
→∞
e quindi:
é
Si hanno tre casi, che individuano tre tipologie di regioni
semplici:
ε
⋅
µ
→
0
I )
ε
=
µ
=
0
II )
ε
=
0 e
µ
≠
0
III)
ε
≠
0 e
µ
=
0
(con cinque sottocasi)
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE
(continua…)
•
A partire dal vettore di Poynting ( ) si definiscono le seguenti densità volumetriche di energia:•
Poiché (dalle prime due relaz. cost.)1
2
D
→⋅
→E
REGIONE I
P
→=
→E
x H
→ε
=
µ
=
0
(elettrica)1
2
B
→⋅
H
→ (magnetica)D
→=
ε E
→=
0
e →B
=
µ H
→=
0
si ha (dal punto di vista energetico):
1
2
D
→⋅
→E
=
1
2
B
→⋅
H
→=
0
û
La regione I è priva di energia elettrica e magnetica immagazzinata
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI C.C. (continua…)
da M2)
e perciò (Teo. Divergenza):
û Corrente di conduzione entrante = corr. di cond. uscente
(è definita univocamente la corrente I in tutta la regione I)
D
→
=
0
div D
→
=
ρ
=
0
rot H
→
=
→
J
divrot H
→
=
div J
→
=
0
J
→
div J
→
=
J
→
⋅
n
→
dS
=
I
=
0
S
V∫
V
∫
( è “solenoidale”)4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI C.C. (continua…)
da M4)
non c’è accumulo di cariche
Dalle Equazioni di Maxwell:
B
→
=
0
rot E
→=
0
→E
E
→⋅
→τ
dc
=
0
→
c∫
∃
V
=
→E
⋅
→τ
dc
c∫
(differenza di potenziale)•
: da M1) → irrotazionale (ciclico o conservativo) e perciò (Teo. Stokes):û
In tutta la regione I è univocamente definita la
differenza di potenziale V tra due punti
•
Dalla terza relaz. costitutiva derivano
ulteriori proprietà che individuano 5 sottoregioni, a seconda della
presenza o meno delle eccitazioni e del valore di
.J
→=
γ E
→−
E
→0
+
J
0 →γ
J
→
⋅
E
→
•
Dal punto di vista energetico, si definisce la densità volumetrica di
potenza elettrica:
(è dovuta alle correnti di conduzione e fornisce una misura dei
fenomeni di trasformazione energetica)
û
Non passa corrente di conduzione e non c’è dissipazione di potenzaE
→0=
J
→0=
0
γ
=
0
IA) VUOTO:J
→=
γ E
→=
0
(nessuna eccitazione) e (conducibilità nulla)J
⋅
E
→=
0
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI C.C. (continua…)
E
0 →=
J
0 →=
0
γ
= ∞
(conducibilità infinita)E
→=
J
→γ
=
0
J
⋅
E
→=
0
eIB) CONDUTTORE PERFETTO:
û
Potenziale costante in ogni punto (regione equipotenziale) e non c’è potenza elettrica dissipataJ
⋅
E
→=
γ E
→ 2=
J
→ 2γ
≠
0
E
→0=
J
→0=
0
γ
≠
0
IC) REGIONE RESISTIVA:
J
→
=
γ E
→≠
0
e (conducibilità finita)û
È presente una corrente di conduzione e c’è dissipazione di potenza (trasformazione irreversibile di energia elettrica in altra forma: effetto Joule)4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI C.C. (continua…)
E
0 →=
0 e J
0 →≠
0
γ
=
0
(finita)J
→=
J
→0J
0 →⋅
E
→≠
0
e →ID) GENERATORE INDIPENDENTE DI CORRENTE:
û
La regione imprime una corrente I0 ed è sede di trasformazioni reversibili di energia non elettrica in energia elettrica.IE) GENERATORE INDIPENDENTE DI TENSIONE:
û
È impressa una d.d.p. V
0e c’è una trasformazione
reversibile di energia
E
0 →≠
0
γ
= ∞
E
→=
E
→0 e (finito) eJ
→0=
0
J
→0⋅
→E
≠
0
(Nota: quando si ha il conduttore perfetto IB)E→0 = 0
•
Prime due rel. cost.: eû
È presente energia magnetica immagazzinata•
Essendo : da M4) ed M2) eû
Anche in questo caso: corrente entrante = corrente uscente (corrente I definita univocamente in tutta la regione II)REGIONE II)
ε
=
0 e
µ
≠
0
D
→=
ε E
→=
0
→B
=
µ H
→≠
0
→
1
2
B
→⋅
H
→≠
0
D
→=
0
ρ
=
0
→J
solenoidale•
Essendo : da M1)•
risulta quindi non conservativoû Non è univoca la d.d.p. V all’interno della regione II
•
La regione II (di tipo magnetico) è costituente essenziale degli elementi ideali:–
Induttore
–
Induttori mutuamente accoppiati
–
Trasformatore
B
→≠
0
rot E
→= −
µ ∂
H
→∂t
E
→•
Poiché e si haû
È presente energia elettrica immagazzinata•
Essendo : da M4) può esserci accumulo di cariche al suo interno da M2)ε
≠
0 e
µ
=
0
REGIONE III)
D
→≠
0
1
2
D
→⋅
→E
≠
0
D
→=
ε E
→≠
0
→B
=
µ H
→=
0
div D
→=
ρ
≠
0
rot H
→=
∂ D
→∂t
+
J
→divrot H
→=
∂div D
→∂t
+
div J
→=
0
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI C.C. (continua…)
•
… per il teorema di Continuità o Principio di Conservazione delle cariche elettriche:ûCorrente entrante diversa dalla corrente uscente
(occorre tener conto della corrente di spostamento)
Teo. Divergenza:
div J
→=
→J
⋅
n
→dS
=
SV
∫
V∫
−
∂
∂t
∫
VρdV
→
I
=
−
∂q
∂t
div J
→= −
∂ρ
∂t
J
→ non è solenoidale•
Essendo , da M1) conservativoû
È definita in modo univoco la d.d.p. V in tutta la regione III•
La regione III (di tipo elettrico) è costituente essenziale dell’elemento ideale:-
Condensatore
(Nota: solo nella regione III si può avere accumulo di cariche)
B
→
=
0
rot E
→=
0
→E
NOTE: È da rimarcare il basso numero di elementi semplici ricavati. Casi più complessi (misti) possono essere ottenuti a partire da essi. È inoltre possibile ricavare il circuito magnetico in modo del tutto analogo.
•
Verificata l’ipotesi di c.c. (enunciato 3) ed individuate le regioni tipiche (enunciato 2), la struttura eterogenea sede del fenomeno e.m. può essere schematizzata tramite corpi elementari semplici che immettono le eccitazioni (regioni ID ed IE) o in cui avvengono fenomeni di un solo tipo (IC, II, III), connessi tra di loro tramite conduttori perfetti (IB), il tutto immerso nel vuoto (IA).•
Le dimensioni geometriche dei corpi sono trascurabili (enunciato 1).5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE
I
BI
BI
BI
BI
BII
III
I
CI
DI
EI
A5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE
(continua …)
NOTA 1: Lo schema introdotto può apparire “non fisico”, ma
l’obiettivo è quello di giustificare il modo pratico (cioè valido
operativamente) in cui vengono costruiti i circuiti elettrici, non di
studiare e descrivere il comportamento e.m. dei materiali nel modo
più generale possibile
NOTA 2: La concentrazione dei fenomeni elettromagnetici all’interno
di singole regioni opportune può essere vista come una condizione di
“robustezza” del modello. [Di Claudio p. 21]
•
Per la completa formalizzazione del modello circuitale occorre
ancora dimostrare che:
A
- I corpi presenti possono essere caratterizzati da due
variabili scalari di interfaccia: tensione V (“grandezza agli
estremi”) e corrente I (“grandezza attraverso”)
B
- V ed I soddisfano le leggi di equilibrio di Kirchhoff (K1 e K2)
C
- Le V ed I che caratterizzano gli elementi ideali individuati
(I
C, I
D, I
E, II e III) sono messe in relazione tramite
opportune equazioni costitutive
5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE
(continua...)
E
→=
0
div D
→=
ρ
=
0
E
→A
- Si ha che:
•
Le regioni di connessione I
B(morsetti) sono equipotenziali ( )
e non c’è accumulo di cariche ( ).
•
In I
A(vuoto) è definita una d.d.p. ( conservativo) e non si
accumulano cariche.
ä
Si può parlare in modo univoco di tensione V applicata ad un
elemento ideale (I
C, I
D, I
E, II e III) come d.d.p. tra i suoi due
morsetti I
B.
ä
Si può parlare in modo univoco di corrente I che attraversa un
elemento ideale. Infatti:...
5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE
(continua...)
•
Da M4) e Teo. della Div.: (Gauss)•
Da M2) e Teo. Div.:la corrente complessiva che passa attraverso SV è nulla.
ä
Poiché in I
Arisulta , la corrente scorre tutta attraverso
le sezioni di I
di area A
ed A
: corrente entrante = corrente
( D
→=
ε E
→=
0 )
div rot H
→=
0
=
div J
→div J
→dV
=
V∫
J
→⋅
n
→ds
=
0
SV∫
Superficie chiusa SV di volume V che racchiude un elemento ideale e attraversa solo il vuoto IA ed i due morsetti IB
(non deve passare all’interno della regione III)
div D
→dV
V∫
=
D
→⋅
→n
dS
SV∫
=
ρdV
V∫
=
q
=
0
5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE
(continua...)
I
AI
BIII
I
B A1 A2 n →S
VJ
→=
0
B
Si ha che:K1 - LEGGE DI EQUILIBRIO DELLE CORRENTI
Superficie chiusa Sv che passa nel vuoto IA e nei morsetti IB (dove è solenoidale) racchiudendo un numero arbitrario di elementi ideali
div J
→dV
V∫
=
→J
⋅
n
→dS
SV∫
=
I
i=
0
i∑
J →5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE
(continua...)
Risulta:
dove I
iè la corrente che passa attraverso la sezione
A
iA1 A2 A3 A4
S
VI
AI
BI
B n →I
1I
4K2 - LEGGE DI EQUILIBRIO DELLE TENSIONI
•
Essendo: ( conservativo) all’interno di IA ed IB:dove Vi è la d.d.p. tra i due morsetti dell’elemento i-mo
Curva chiusa C (circuitazione) all’interno di IA e IB che interessi un numero arbitrario di elementi ideali passando in corrispondenza dei loro morsetti (entrambi).
