Circuiti elettrici

Circuiti elettrici

Possiamo combinare molti oggetti gi` a studiati per fare circolare corrente nel modo che ci conviene

Possiamo usare condensatori e solenoidi

Introdurremo anche generatori (i motori delle correnti) e resistenze (le strade)

Possiamo immagazzinare energia oppure produrla

Possiamo avere corrente costante (continua) come quella delle

batterie, o alternata come quella delle prese

Verso della corrente e portatori di carica

La corrente ha, per convenzione, il verso in cui si muovono le cariche positive

In realt` a, spesso sono le cariche negative che si muovono in verso opposto

Questo avviene in tutti i metalli

alcune sostanze, i semiconduttori, possono condurre la corrente anche tramite cariche positive

Queste sono le sostanze impegate nell’eletttronica, nei computer, ecc.

ecc.

Un tipico materiale semiconduttore ` e in Silicio, ”drogato” con Gallio

o Germanio

Forze tra correnti

Una corrente ` e costituita da cariche in moto, quindi, in presenza di un campo magnetico c’` e una forza sulla corrente

la corrente ` e data da I = J S , il numero di cariche contenute in un tratto dl di filo dN = n S dl , quindi la forza su un tratto d~l di filo perpendicolare al campo magnetico sar` a

d ~ F = n S dl q ~ v × ~ B = I d~l × ~ B Due fili percorsi da corrente, paralleli e posti a distanza d

interagiscono perch´ e ciascuno genera un campo, che produce poi una forza sull’altro.

Il modulo di questa forza, per unit` a di lunghezza vale dF

dl = µ

2π

I

I

d

La forza ` e attrattiva tra correnti concordi, repulsiva tra correnti discordi

Questa equazione viene usata per definire l’Amp` ere

Differenza di potenziale

Per portare una carica da un punto A ad un punto B del circuito, il campo elettrico deve fare un certo lavoro

W = R

A

~ F · d~ x = q R

E · d~ ~ x

Il campo elettrico ha la stessa forma del campo gravitazionale, quindi

`

e anch’esso conservativo

Posso scrivere W = −q(V (B) − V (A)) dove la funzione V (x ) detta potenziale, dipende solo dalla posizione ed ` e definta a meno di una costante.

La differenza di energia tra A e B ` e ∆E = q (V (A) − V (B)) Il lavoro fatto per unit` a di tempo ` e dato da

P = dW

dt = ∆V dq

dt = ∆V · I

Resistenza

Si pu` o misurare, al variare della ddp ∆V , la corrente che passa tra due punti: si trova sperimentalmente che questa ` e proporzionale alla ddp secondo la legge di Ohm

∆V = R · I

R ` e una costante che dipende da come ` e fatto il conduttore

R = ρ L/S dove L ` e la lunghezza del conduttore ed S la sua sezione ρ si chiama resistivit` a e dipende solo dalla sostanza di cui ` e fatto il conduttore, non dalla sua geometria

La potenza dissipata in un conduttore sar` a P = V I = R I

= V

/R Materiale Resistivit` a Ω · m

Argento 1.59 · 10

Rame 1.7 · 10

Carbone 3.5 · 10

Silicio 640

Quarzo fuso 75 · 10

Resistenze in serie e in parallelo

Due o pi` u resistenze si possono combinare per ottenere una resistenza di valore diverso

Due resistenze in cui passa la stessa corrente sono in serie

Le voglio rimpiazzare con un’unica resistenza (equivalente) che abbia lo stesso effetto

a parit` a di ∆V devo ottenere la stessa corrente I

V (A) e V (B) ai capi della prima resistenza, V (B) e V (C ) della seconda

V (A) − V (C ) = R

I = R

I + R

I = (R

+ R

)I =⇒ R

= R

+ R

Due resistenze, tra le quali esiste la stessa ddp si dicono in parallelo Le sostituisco con una singola resistenza, in cui passi la corrente, somma delle correnti che passano in R

e R

I = V /R

= I

+ I

= V /R

+ V /R

=⇒ 1/R

= 1/R

+ 1/R

Forza elettromotrice

Esistono congegni capaci di trasformare l’energia meccanica o chimica in energia elettrica. Sono detti generatori

Esempi pratici sono le batterie, gli alimentatori e la dinamo dell’auto, le centrali eoliche, idroelettriche e nucleari, ecc.

La misura della loro capacit` a di fare passare corrente ` e la forza elettromotrice (fem), cio` e l’energia per unit` a di carica che sono in grado di fornire

La fem ha le stesse unit` a di misura della ddp, ma ` e concettualmente diversa

all’interno del generatore passa corrente, ed anch’esso ha una

resistenza, che cambia la ddp ai capi del generatore rispetto a quella a

circuito aperto

Circuiti in corrente continua

Sono quelli in cui la corrente non varia nel tempo

E composto da almeno un generatore e da una resistenza ` E costituito da nodi e da maglie `

Si pu` o studiare usando la continuit` a della corrente nei nodi e il fatto

che la ddp deve essere nulla nel percorso attorno ad una maglia

Correnti alternate

Alcuni generatori producono una corrente che varia nel tempo in modo sinusoidale. ` E questa la corrente alternata

L’espressione matematica ` e

V (t) = V

· cos(ω t + ϕ) = V

· cos(2πν t + ϕ)

Se la fem fosse periodica ma non armonica, si potrebbe comunque scomporre questa tramite il teorema di Fourier

Un circuito con solo un generatore con fem V = V

cos(2πν t) e una resistenza R, avr` a una corrente I = V

/R cos(2πν t) e dissiper` a una potenza

P = V

R cos

(2πν t)

Poich´ e ´ e inutile misurare la potenza istantanea, devo fare la media su un periodo (che equivale alla media su tempi lunghi) e ottengo P = V

/2R = V

/R = RI

/2 = RI

V

= V

/ √

2 I

= I

/ √

2

Condensatori

Sono capaci di immagazzinare una carica Q se, tra le armature, c’` e una ddp V .

Due condensatori in serie hanno la stessa carica, le ddp si sommano.

Se li rimpiazzo con un’unico condensatore di capacit` a C

, trovo Q/C

= V = V

+ V

= Q/C

+ Q/C

=⇒ 1/C

= 1/C

+ 1/C

Due condensatori in parallelo hanno la stessa ddp ed il condensatore equivalente dovrebbe avere una carica pari alla somma delle cariche

Q = C

V = Q

+ Q

= C

V + C

V =⇒ C

= C

+ C

Carica di un condensatore

Al momento di chiudere il circuito non c’` e carica sul condensatore Via via che la carica sulle armature aumenta, la ddp ai capi del condensatore controbilancia il generatore e la corrente diminuisce esponenzialmente

V − Q/C = IR = dQ/dt

Cercando una soluzione della forma Q(t) = V /C (1 − A e

) Si trova A = 1 e τ = RC cio` e

Q(t) = CV (1 − e

)

Nei circuiti in corrente alternata il condensatore ha la propriet` a di

ritardare la corrente, sfasandola

Induttanza

Un solenoide ha un campo magnetico proporzionale alla corrente Il flusso di ~ B ` e quindi proporzionale a I

posso scrivere allora

Φ = LI

Il coefficiente L non dipende dalla corrente ma solo da come ` e costruito il solenoide e si chiama induttanza

Per un solenoide L = µ

n N S

Dato che la legge di Faraday mi dice che V = d Φ/dt allora trovo che V = L dI

dt

L’induttanza si misura in Henry (Henry = Volt secondo / Ampere)

Energia del campo magnetico

In un circuito RL la potenza dissipata sar` a VI = RI

+ L dI

dt I =⇒ VI = RI

+ d dt

 1 2 LI



Una parte dell’energia non ` e dissipata ma immagazzinata nel solenoide Esprimo in funzione del campo magnetico

U =  1 2 LI



= 1

2 µ

nNS B

µ

n

= B

2µ

SL

Posso definire un’energia per unit` a di volume del campo magnetico come

u = U

SL = B

2µ

Circuiti LC

Sono composti da un condensatore, da un’induttanza e da un generatore (in corrente alternata)

L’equazione del circuito ` e

V (t) = Q(t)

C + L dI (t) dt Dato che I = dQ(t)/dt ho che l’equazione ` e

d

Q(t) dt

+ 1

LC Q(t) = V (t)

Questa ` e l’equazione di un oscillatore armonico forzato, con una frequenza cartteristica ω

= 1/ √

LC . I circuiti LC sono in grado di

selezionare una data frequenza, e sono usati, per esempio, nella

sintonizzazzione delle radio