esercizi molto elementari di geometria

Download (0)

Testo completo

(1)

1 Es. 1. I punti A(1, 2), B(3, 0) , C(2, −1) sono allineati?

Es. 2. Ci sono terne di punti allineati nell’insieme dei quattro punti A(1, 1, 1) , B(0, 1, 2) , C(0, 0, 0) , D(1, 1, −1)?

Es. 3. Provare che i tre punti A(1, 1, 0), B(1/2, 2, 1), C(2, −1, −2) sono allineati e determinare il numero reale t tale che C − A = t(B − A).

Es. 4. Date le rette r :

( x = 2t y = 3 − 3t e r0 : ( x = 3 − t y = 2t − 1 a) Determinare il punto P di intersezione di r con r0;

b) Dare una rappresentazione parametrica della retta s passante per P e per il punto Q(−2, 6) in modo che il punto P si ottenga su s per il valore -3 del parametro.

Es. 5. Le rette x − 2y + 3 = 0, 3x + y + 2 = 0, x − 6y + 7 = 0 hanno un punto comune? Es. 6. Provare che le due rappresentazioni

( x = 1 + t y = 2 − 2t ( x = 3 − 3t y = −2 + 6t

sono rappresentazioni parametriche della stessa retta.

Es. 7. a) Scrivere un’equazione della retta passante per A(1, 2) e B(1, 0).

b) Scrivere un’equazione della retta passante per A(1, 3) e avente vettore direzionale (−3, 4). Es. 8. Tra le rette: r1 : x − 3y + 1 = 0, r2 : 1/3(x − 1) = y − 2, r3 : x − 1/2 = 0,

r4 : ½

x = 1 − t

y = t , r5 : 2x − 6y + 1 = 0 vi sono coppie di rette ortogonali? Es. 9. Determinare un’equazione per i seguenti luoghi di punti del piano

a) I punti che hanno distanza 4 dal punto A(2, 3) . b) I punti equidistanti dai punti A(1, 3) e B(2, −1).

c) I punti medi dei segmenti che hanno un estremo in (3, 0) e l’altro sull’asse Y . Es. 10. I punti A(1, 1, 0), B(−1, −1, 2), C(1, 1, 3), D(2, 2, 0) sono complanari?

Es. 11. Scrivere un’equazione cartesiana e una rappresentazione parametrica del piano passante per i punti A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) , C(0, 0, 1) .

Es. 12. Determinare la reciproca posizione delle rette( x − 2y + 3z = 0

2x − z + 1 = 0

(

x − y = 0

x + y + z = 0 . Es. 13. Trovare l’intersezione dei piani:

1. x + y − z = 0 , x = 1 , y − z = 0 ;

2. x + 2y + 3z = 0 , x + y + z = 1 , x + 4z = 2 ; 3. x + y − z = 0 , z − y = 1 , 3x − 2y − 2z = 1 ; 4. (1 + s + t, s − 2t, s − t), x − 2y − z + 1 = 0 ; 5. (1 + s + t, s − 2t, s − t), (s + 3t, t, s − t + 1) .

Es. 14. Trovare due rette distinte passanti per A(2, −1, 1/2) e giacenti nel piano x + 2y = 0. Es. 15. Dato il piano π : 2x − y + z = 0 , determinare:

1. una retta r giacente su π e un punto P su π non appartenete ad r . 2. una retta r0 passante per P e parallela ad r .

(2)

2

Es. 16. Determinare il generico piano che contiene la retta (3t, t, t + 1).

Es. 17. Determinare una rappresentazione parametrica del generico piano che contiene la retta passante per l’origine e per il punto (1, 2, 1) .

Es. 18. Tra i piani del fascio generato dai due piani x + 2y − z = 2 e x + 3y + z = 0 (cio`e i piani di equazione a(x + 2y − z − 2) + b(x + 3y + z) = 0) determinare quelli:

1. paralleli al piano x = 0 ; 2. paralleli al piano x = 0 ;

3. che passano per il punto (1, 2, 1) ;

4. che passano per i punti (1, 0, −1) e (6, −2, 0); 5. che passano per i punti (1, 1, 1) e (3, 0, 0) ;

6. che non intesecano la retta intersezione di x + y = 0 e y − z = 0; 7. paralleli alla retta (t, t, t);

Es. 19. Sulla retta (5t − 1, t, 3t) determinare i punti la cui distanza da A(−1, 0, 0) sia uguale a 1. Es. 20. Si esamini al variare di λ ∈ R la posizione della retta rλ : x+λy+z −1 = 2x+y+(11−λ2)z =

0 rispetto al piano x − y + z − λ2 = 0 .

Es. 21. Date le rette r1 : (t, t, t) e r2 : (s, 1, 3s), provare che sono sghembe. Idem per le

rette s1 : x − y = y − z = 0, s2 : x + y + z = x − 2y + z = 0.

Es. 22. Dire se esiste, e in caso affermativo determinare, un piano contenente le rette (t+1, t−1, 2t), x − 3y + 2z = 2x − z + 1 = 0.

Es. 23. Determinare le proiezioni ortogonali del punto A(−1, −2, 2) sui piani coordinati e sul piano 2x − 3y + z − 6 = 0.

Es. 24. Determinare le proiezioni ortogonali del punto A(−3, 7, 12) sui tre assi coordinati.

Es. 25. Determinare i punti simmetrici del punto A(3, 2, 4) rispetto ai piani coordinati e agli assi coordinati.

Es. 26. Determinare la retta simmetrica di r : (2t, t, 3t) rispetto al piano π : 2x + 3y + z = 0 . Es. 27. Determinare la proiezione ortogonale della retta x + y − 3z = x − 2y + z = 0 sul piano x − 3y + z = 0.

Es. 28. Dati i punti A(1, 1, 2) e B(3, 4, 5) , trovare un’equazione del piano π tale che B sia il simmetrico di A rispetto a π .

Es. 29. Determinare la circonferenza passante per i punti 0(0, 0) , A(1, 2) , B(3, −1).

Es. 30. (*) Tenendo conto che una circonferenza nello spazio`e data dall’intersezione di una sfera con un piano, determinare la circonferenza passante per i punti A(1, 0, 0) , B(0, 1, 0) , C(0, 0, 1). Es. 31. (*) Data una sfera di centro C(1, 2, 1) e raggio 2, determinare un piano ortogonale alla retta x − 2z = y − z + 1 = 0 e che interseca la sfera in una circonferenza di raggio 1.

Es. 32. (*) Determinare le coordinate del centro della circonferenza:( x2+ y2+ z2

− 2x = 8 2x + y = 0

Es. 33. (*) Sia γ la circonferenza di centro (1, 1, 0) e raggio 2 contenuta nel piano x − y + z = 0. Determinare una sfera di raggio 5 contenente γ .

Es. 34. Sia S la sfera di centro (2, 3, 4) e raggio 1. Determinare i piani passanti per l’asse z e tangenti a S .

figura

Updating...

Riferimenti

Argomenti correlati :