08 Funzioni limitate ed illimitate, funzioni inverse..>

7. Funzioni limitate ed illimitate, funzioni inverse

Definizione: Una funzione f :A→Bsi dice limitata superiormente od inferiormente se il suo condominio è un insieme limitato superiormente od inferiormente. Gli estremi superiore ed inferiore del condominio si dicono estremo superiore ed inferiore di ( )f x . Se il condominio è illimitato la funzione si dice illimitata.

Sono ad esempio funzioni limitate: y =sinx , y =cosx , entrambe con C :

[

−1;1

]

, la metà di una circonferenza tipo y = 1−x2 , con C : 0;1

[

]

, e le funzioni goniometriche inverse.

Definizione: Una funzione

f

_:

A

→

B

_{si dice che ammette un massimo od un minimo assoluto se esistono un} massimo ed un minimo del condominio. Il punto

x

0 dove f x( ) assume tali valori si dice punto di massimo o di minimo.

Nel punto di massimo assoluto deve quindi essere: 1. f x( ) è definita in

x

0

2. ∀ ∈x D x| ≠x0 ⇒f x( )≤f x( )0

Esempi: tutte le parabole ad asse verticale parabole, il seno ed il coseno. Non hanno massimo assoluto le funzioni omografiche, l’arcotangente e così via.

Definizione: si dice funzione inversa della funzione :f A→B la funzione 1

: f− B→A

che fa corrispondere ad ogni elemento y∈Bl’elemento x ∈A tale che ( )f x = y

a) Ogni funzione biiettiva f , che è una corrispondenza biunivoca fra i due insiemi A e B ammette una funzione inversa f−1 e pertanto si dice invertibile.

b) Nel piano ,x y il grafico della funzione inversax =f−1( )y coincide con quello della funzione diretta y =f x( ). Se però si desidera avere la nuova

x come variabile indipendente sulle ascisse allora occorre scambiare il ruolo delle due coordinate. Invertendo l’ascissa con l’ordinata si ottiene un grafico simmetrico di quello originario rispetto bisettrice del primo e terzo quadrante. Già conosciamo gli andamenti grafici di alcune funzioni inverse: esponenziale e logaritmo, cubo e radice cubica.

2 π arctan :

;

2 2

y x C

π

π

=





−













2 π

−

arcsin :

;

2 2

y x C

π

π

=





−













-1 1 2 π

−

2 π

[

]

arccos :

0;

y = x C

π

-1 1

π

2 π 1 x x₂ x₃ x₄

c) Le funzioni che non sono biiettive non ammettono inversa, però la può ammettere una loro restrizione, cioè una funzione che agisce solo su di un sottoinsieme del dominio, come gli intervalli

[

x x1; 2

]

,

[

x x2; 3

]

,

[

x x3; 4

]

in figura. Ad esempio seno ed arcoseno sono l’una inversa dell’altra, ma ricordiamo che l’inversione è possibile solo restringendosi all’ intervallo ₋π₂;π₂

 

  dove la funzione seno è biiettiva. Lo stesso per y=x2, che ammette le due inverse x = ± y .

d)

Se la funzione è invertibile, dominio della funzione inversa coincide con il condominio della funzione originaria. Altrimenti il condominio è l’unione dei domini delle inverse in tutte le restrizioni in cui è stata suddivisa.

3 3

y

x

oppure x

y

=

=

3

y

=

x

1 1 1 − 1 −

log

x a

y

a

oppure x

y

=

=

1 1

log

_a

y

=

x

sin

arcsin

y

x

oppure x

y

=

=

-1 1 2 π

−

2 π 2 π 2 π

−

arcsin

y

=

x

cos

arccos

y

x

oppure x

y

=

=

-1 1 2 π

π

2 π

arccos

y

=

x

1

π

-1 2 π

−

2 π 2 π

−

π₂

arctan

y

=

x

tan

arctan

y

x

oppure x

y

=

=

Esempio 20

Si consideri la funzione:

( ) x 1

f x =e− +

Si trovi il suo dominio, si dica se è invertibile ed eventualmente si trovi la sua inversaf−1, si trovi il condominio e si dica sefè limitata.

Il dominio è tuttoℝ. Risolviamo rispetto ad x l’equazioney =f x( ):

1

1

ln(

1)

x x

y

=

e

−

+

⇒

e

−

= −

y

⇒

x

= −

y

−

avendo trovato un trova un unico elemento x tale chef x( )=y la funzione è invertibile. Il condominio dif è il dominio dif−1:

(

)

1 0 1 : 1;

y− > ⇒ y> ⇒ C +∞

e la funzione è limitata inferiormente.

Esempio 21 Si consideri la funzione: 2 2 2 1 ( ) 1 x f x x + = +

il cui domino è tutto l’insieme ℝ. Si dica se è invertibile ed in caso si trovi la sua inversa f−1, si determini il campo d’esistenza dif−1(cioè il condominio di f), e si dica se fè limitata.

Risolviamo rispetto ad x l’equazione y =f x( ):

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 x y x y x x y y x + = ⇒ + = + ⇒ − = − + 1 2 y x y − ⇒ = ± −

Come si vede la funzione assegnata non è invertibile perché non si trova un unico elemento x tale che ( )

f x = . Esistono tuttavia due funzioni inverse: y

1_{( )} 1 2 y f y y − ₌ − −

1_{( )} 1 2 y f y y − _{= −} − −

ciascuna in una opportuna restrizione del dominio. Tuttavia il loro campo di esistenza è il medesimo e pertanto coincide con il condominio.

Troviamo il campo di esistenza di f−1:

1 0 1 1 2 0 2 2 y y y y y y − ≥ ≤ − ⇒ ⇒ − > > − segno di: 1 2 y y − − 1 2

−

+ +

−

+

−

−

−

−

2 1

ln(

1)

y

= −

x

−

1 x

y

=

e

y

=

e

−x 1 2

1

x

y

=

e

−

+

1

risulta che f−1 esiste se y∈

[

1;2

)

. Questo intervallo è quindi anche il condominio di f : C =

[

1;2

)

. Poiché C è un insieme limitato, ( )f x è una funzione limitata.

Una via alternativa per rispondere alla stessa domanda è riscrivere l’espressione analitica della funzione effettuando la divisione fra numeratore e denominatore:

2 2 2 2 1 1 ( ) 2 1 1 x f x x x + = = − + + La frazione ₂

1

1

x

+

ha sempre denominatore maggiore del numeratore, e quindi risulta limitata:

2 1 0 1 1 ( ) 2 1 f x x < ≤ ⇒ < ≤ +

a conferma di quanto già trovato.

Esempio 22

Si consideri la funzione:

( )

2 sin 5

2

f x

=

x

+

Si dica se è invertibile ed eventualmente si trovi la sua inversa f−1, si trovi il condominio e si dica se f è limitata.

Primo metodo:

Risolviamo rispetto ad x l’equazione y =f x( ):

2

2 sin 5

2

sin 5

2

y

y

=

x

+

⇒

−

=

x

Come sappiamo la funzione seno non è biunivoca, ma lo è la sua restrizione all’intervallo ₋π₂;π₂

 

  . Possiamo invertire allora ( )f x solo quando l’argomento soddisfa la condizione:

5

2 x 2 10 x 10

π π π π

− ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤

in questo caso si ha:

2

1

2

5

arcsin

arcsin

2

5

2

y

y

x

=



_

_



−

_



_



⇒

x

=

_



_



−

_





_









Troviamo il dominio di f−1:

[

]

2

1

1

2

2

2

0

4

: 0; 4

2

y

y

y

C

−

− ≤

≤

⇒

− ≤ − ≤

⇒

≤

≤

⇒

La funzione è quindi limitata.

2 2x 0 1 x2+1 2 2 2x − ₋₂ 0 −1 0 0

Secondo metodo:

Osservando che 1− ≤sin 5x≤ si ha: 1

[

]

2 2 sin 5x 2 0 2 sin 5x 2 4 C : 0; 4 − ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ Esempio 23 Si consideri la funzione: 2

2

( )

x

f x

x

−

=

Si dica se è invertibile ed eventualmente si trovi la sua inversa f−1, si trovi il condominio e si dica se f è limitata.

Abbiamo D ℝ . Risolviamo rispetto ad x l’equazione : 0 y =f x( ):

2 2 2 2

8

2

2

2

0

2

y

y

x

y

xy

x

x

xy

x

x

±

+

−

=

⇒

=

−

⇒

−

− =

⇒

=

la funzione non è invertibile perché non si trova un unico elemento x tale che ( )f x = . In opportune y restrizioni del dominio esistono tuttavia le due funzioni inverse:

2 1

8

( )

2

y

y

f

−

y

=

+

+

2 1

8

( )

2

y

y

f

−

y

=

−

+

ed il loro dominio è tutto ℝ essendo sempre y2+ ≥ . Si ha dunque 8 0 C :ℝ e la funzione è illimitata.

Esempio 24

Si consideri la funzione:

2

( )

2

1

f x

=

x

+

x

+

Si dica se è invertibile ed eventualmente si trovi la sua inversa 1

f− , si trovi il condominio e si dica se f è limitata.

Abbiamo D ℝ . Risolviamo rispetto ad x l’equazione : 0 ( )

y=f x :

(

)

2

2

₂

₁

₁

₁

y

=

x

+

x

+

⇒

y

=

x

+

⇒

x

= − ±

y

La funzione diretta è una parabola con V( 1; 0)− , quindi è possibile in questo caso determinare la restrizione con esattezza, come si vede in figura. Si ha C :ℝ . +

Altre: y=log (5 x+1); ( ) 3 1

y= x+ , Tomo A1 p429 n3,4 p.417 n.67 (invertibili), anche condominio. 1 − 1 −

(

inversa in 1 1; ) x = − + y − + ∞ 1 − inversa in

(

1 ; 1] x = − − y −∞ −