Studio e modellizzazione di pattern nei cristalli liquidi nematici

Fa oltà di S ienze Matemati he, Fisi he e Naturali

Corso di Laurea Spe ialisti a in S ienze Fisi he

Studio e modellizzazione di

pattern nei ristalli liquidi

nemati i

Relatore:

Prof. Leone Fronzoni

Candidato:

Ni oló Camarlinghi

Introduzione 1

1 Sistemi dinami i 10

1.1 Sistemi dinami i ontinui . . . 10

1.2 Sistemi dinami idis reti . . . 11

1.3 Esistenza e uni ità delle soluzioni di un sistema dinami o ontinuo . . . 11

1.4 Sistemi dinami ilineari . . . 12

1.5 Sistemi dinami inon lineari . . . 13

1.6 Teoria delle bifor azioni . . . 16

1.7 Forme normalidi al unebifor azioni . . . 17

1.8 Persistenza diun punto diequilibrio . . . 18

1.9 Forme normali. . . 18

1.10 Bifor azione diHopf . . . 23

2 Pattern formation 25 2.1 Introduzione . . . 25

2.2 Un esempio di formazione di pattern: Rayleight-Bernard onve tion . . . 26

2.3 Espansione debolmente non lineare . . . 29

2.4.1 Introduzione euristi a dell'equazione di ampiezza per

sistemi isotropi . . . 33

2.4.2 Introduzione euristi a all'equazione di ampiezza per sistemi anisotropi . . . 34

2.4.3 Interpretazione si a dei parametri delle equazioni di ampiezza . . . 35

2.4.4 L'equazione reale di Landau-Ginzburg (RGL) . . . 36

2.4.5 Soluzionidi onda perRGL . . . 38

2.5 Instabilità

III

0

. . . 39

2.6 Instabilità

I

0

. . . 41

2.7 RGL vs CGL . . . 42

2.8 Instabilitàse ondarie . . . 43

2.9 Competizioni trai varipattern . . . 43

3 Equazione di fase e difetti topologi i 45 3.1 Equazione difase perla RGL . . . 45

3.2 Equazione difase persistemi isotropi . . . 45

3.3 Equazione difase persistemi anisotropi . . . 47

3.4 Difetti topologi i . . . 47

3.5 Climbing e gliding in sistemi anisotropi . . . 49

3.6 Dinami a deidifetti. . . 50

3.6.1 Climbing e gliding nell'equazione isotropa. . . 51

4 Strutture oerenti nella CGL 54 4.1 Studio dell'equazioneCGL . . . 54

4.2 Simmetrie nella CGL . . . 54

4.3 Strutture nella CGL 1D . . . 56

4.4 Strutture oerenti . . . 57

4.5 Nozaki-Bekki hole . . . 60

4.6 Distruzionedei Nozaki-Bekki hole . . . 60

4.7 Strutture nella CGL 2D . . . 62

5 Elettro onvezione nei ristalli liquidi 67

5.1 Cristalliliquidi . . . 67

5.2 Elettro onvezione nei ristalliliquidi nemati i . . . 68

5.3 Williamsrolls . . . 71

5.4 Fenomenologia dei pattern e instabilità

se ondarie . . . 72

5.5 Os illazionideidifettitopologi i . . . 74

6 Algoritmi per la simulazione 77

6.1 Split-step . . . 77

6.2 Splitting dell'equazione . . . 78

6.3 Exponentialtime-step . . . 80

6.4 Appli azione dell' exponential time-step

all'equazione di Landau-Ginzburg . . . 81

7 Risultati delle simulazioni 82

7.1 Introduzione . . . 82

7.2 Equazione omplessa di Landau-Ginzburg

unidimensionale . . . 84

7.2.1 Instabilità diE khaus generalizzata . . . 89

7.2.2 Os illazioninelmodello unidimensionale . . . 90

7.3 Equazione reale di Landau-Ginzburg

bidimensionale. . . 93

7.4 Equazione omplessa di Landau-Ginzburg

bidimensionale. . . 94

7.5.2 Fit analiti i . . . 101

7.5.3 Interazione didifetti nella CGL . . . 102

7.5.4 Interazione didifetti nella CGL per

b = c

. . . 104 7.5.5 Numero dei difetti topologi i al variare dei parametri

b e . . . 104

7.6 Regime diintermittenza spazio temporale . . . 108

La natura genera una numerosa quantitàdi strutture organizzate,a partire

dalle dune nella sabbia per nire alle impronte digitali e alle ma hie sul

manto degli animali. Tutti questi fenomeni, a dispetto della loro diversa

origine, hannoun me anismobasilare in omune, oggetto diquesta tesi.

Figura 1: Pattern nella sabbia

Gli strumenti utilizzati per modellare questo fenomeno, hiamato

forma-zione di pattern, sono la teoria dei sistemi dinami i non lineari on

riferi-mentoalla teoriadelle bifor azioni; diquesti argomentisarà data una breve

des rizione nel apitolo inizialedi questo lavoro.

Noi io uperemosolodisistemipo ooltrelasogliadell'instabilitàprimaria

e per portare a termine questo obbiettivo useremo una teoria perturbativa

In questo appro io è ru iale la separazione delle s ale spaziali etemporali

he avviene alla soglia della bifor azione: ledeformazioni he avvengono su

s ala velo e sono regolate dall'analisilineare, mentre le variazionisu s ala

lenta evolvono se ondo un'equazionediformauniversale he hiameremo

equazione di ampiezza.

Tale equazione rappresenta indubbiamente un sempli e modello he i

on-sentedistudiareunagrandequantitàdisistemivi inoallasogliadella

bifor- azione senza dover ri orrere alle equazioni omplete he molto spesso sono

fuori dalla portata numeri adei più potenti al olatorioggi esistenti.

Numerosi sistemi possono essere rappresentati dall'equazione di ampiezza,

tuttavia illorodettagliomi ros opi o non inuis esulla formadi tale

equa-zione masolo suivalori he assumono i suoi oe ienti.

Nella fattispe ie le equazioni di ampiezza hanno la formadi equazioni assai

note in letteratura, per hé utilizzate in molti altri ambiti della si a: le

equazioni di Landau-Ginzburg.

In questa tesi sono state impiegatedue dierentiequazioni diampiezza:

l'e-quazionea oe ientireali(RGL) he des riveipatternstazionari equella

a oe ienti omplessi(CGL) he des rive patterntempo dipendenti.

In questo lavoro faremo prin ipalmente riferimento allo studio delle

insta-bilità elettro onvettive nei ristalli liquidi nemati i (EHC), tuttavia bisogna

sottolineare he l'interessedi questa tesi non vain parti olareal sistema

so-pra itatomaallostudioe allamodellizzazionedegliaspetti universali he si

presentano nell'ambito della formazionedipattern.

Sarà esposta una breve fenomenologia della EHC e una des rizione di un

esperimento ideale volto ariprodurre tale fenomeno.

Le instabilità elettro onvettive possono essere modellate on il formalismo

dell'equazionediampiezzadandounades rizionebasilaredial unifenomeni

e inbuon a ordo on leosservazioni sperimentali.

In parti olarelanostraattenzionesi èrivoltaallostudiodeidifetti topologi i

e al loromotonei patternspazialmenteperiodi i.

proposito sono state s ritte varie simulazioni unidimensionali e

bidimensio-nali.

Le simulazioni numeri he sono state implementate on algoritmi

spettra-li di tipo leap frog e exponential-timestep he hanno garantito buone

prestazioni an he su un omputer di tipostandard.

La parte originale di questo lavoro onsiste, oltre he nella s rittura delle

simulazioni e nell'adattamento di al uni algoritmi alle situazioni del aso,

nello studio del moto dei difetti topologi i e della loro interazione nei vari

regimi delle equazioni reali e omplesse unidimensionali e bidimensionali:

sono stati esplorati vari regimi delle equazioni di ampiezza er andone uno

in ui fosse possibile osservare fenomeni dimoto non banali deidifetti.

E'importantesottolineare hel'intentodiquestolavoroditesinonèstudiare

inparti olarel'EHCquantopiuttostoanalizzareunageneri a lassedisistemi

heesibis onounaformazionedipatterndi uil'elettro onvezionenei ristalli

liquidiè uno degli esempi più sempli iin natura.

Vediamobrevementeil ontenutodeisingoli apitolidiquestatesi:nel

apito-loinizialesaràdataunabrevedes rizionedellateoriadeisistemidinami i on

riferimento alla stabilità lineare; sarà mostrato il on etto di bifor azione

e sarannomostrate letipologie più omuni di bifor azione.

Nel se ondo apitolo sarà inve e arontata l'espansione debolmente non

lineare e sarà esposta la teoria lassi a della formazione di pattern on

riferimentialleequazioni diLandau-Ginzburg reali e omplesse.

Nel terzo apitolo sarà trattata la teoria dell'equazione di fase per i sistemi

anisotropie sarà introdotto il on etto didifetto topologi o.

Nel quarto apitolo sarà esposto un breve studio delle strutture oerenti e

delle simmetriedell'equazione omplessa di Landau-Ginzburg.

Nel quinto apitolo sarà data un breve panorama del fenomeno

dell'elet-tro onvezione nei ristalli liquidi nemati i he è il sistema da noi preso in

onsiderazione perquanto riguardalaformazione dipattern.

Nel sesto apitolo saranno mostrati gli algoritmi leap-frog e exponential

Inne nel settimo apitolosarannoriportatii risultati delle simulazioni

uni-dimensionali ebidimensionali delle equazionidi ampiezza reali e omplesse.

Sistemi dinami i

1.1 Sistemi dinami i ontinui

Un sistema dinami o ontinuo in

W ⊂ R

n

è un oggetto des ritto dalla

seguente relazione

dX

dt

= F (X)

(1.1)

dove

F (X)

èun ampovettoriale

F : W −→ R

n

dierenziabile di lasse

C

1

almeno.

Talesistemapuò esserepensato omel'evoluzionetemporalediun ampo

X

on una erta legge he dipenderà da

F (X)

.

Chiameremo orbita di un sistema dinami o ontinuo la funzione

X(t)

he soddisfa identi amentel'equazione del motoperogni

t ∈ R

.

Un'equazione delprim'ordinenellederivatetemporali omela(1.1)ne essita

di una ondizione iniziale per essere ben denita; hiameremo quindi usso

integrale (o soluzione generale) di un sistema dinami o ontinuo la famiglia

di appli azioni

Φ

t

: X

0

−→ (X(t))

he per ogni tempo

t

asso ia alla sua ondizione iniziale la orrispondente soluzione al tempo

t

.

I sistemi dinami i possono essere divisi in varie lassi: sistemi lineari, non

lineari, dis retie ontinui.

Come vedremo inseguito ilnostro interesse si on entrerà in parti olaresui

sistemi dinami i ontinui ditipo non lineare.

Per i sistemi lineari esistono strategie di soluzione standard mentre per i

sistemi non lineari non è possibile, in generale, trovare il usso integrale;

in tal aso si dovranno utilizzare metodi risolutivi di tipo approssimato o

numeri o ome quelli he esporremonel apitolo 6.

Talesoluzionenumeri aessendoimplementatasu al olatorièdipersestessa

eseguitainmanieradis reta. Inquestosensopossiamodire heesisteunforte

legame trai sistemi dinami i ontinuie dis reti.

1.2 Sistemi dinami i dis reti

La denizione di sistema dinami o dis reto è analoga a quella

pre edente-mentedes ritta.

Un sistema dinami o dis reto in

W ⊂ R

n

è un'appli azione

f : W −→ W

dove f è una funzionedierenziabile on inversa dierenziabile (di lasse

C

1

almeno)

X

k+1

= f (X

K

)

(1.2)

Per il aso dis reto avremo una denizione di orbita analoga a quella vista

prima, ioè un'appli azione

X

k

he soddis la (1.2) perogni

k∈ Z

.

Noi io uperemoprin ipalmentedisistemidinami i ontinuian hese, ome

notato pre edentemente, il legame tra i sistemi ontinui e quelli dis reti è

forte.

1.3 Esistenza e uni ità delle soluzioni di un

sistema dinami o ontinuo

La risposta i viene fornita dallateoria delleequazioni dierenziali;infattiil

teoremadiesistenza euni itàdelle soluzionidiun'equazionedierenziale [1℄

del prim'ordinedi e he:

Presa un'equazionedel tipo

dX

dt

= F (X, t)

on la ondizione iniziale

X(t

0

) = X

0

in ui

F : Ω×I −→ R

n

e

Ω ⊂ R

n

,

I ⊂ R

,esia

F

uniformementelips hitziana ioè

∃ L

Ω

> 0

t. .

|F (X, t) − F (Y, t)| 6 L

Ω

|X − Y |

(1.3)

per

∀X, Y ∈ R

n

e

∀t ∈ R

.

Se

X

0

∈ Ω

e

t

0

∈ I

allora esistono un intorno

Ω

0

⊂ Ω

di

X

0

e un intorno

I

0

⊂ I

di

t

0

tali he il problema hasoluzione uni a, ovvero esiste lo almente il usso integrale edipende on ontinuità dalla ondizione iniziale.

Nel asodiunsistemadinami osappiamo helafunzione

F (X)

è dierenzia-bile on ontinuitàedèpossibiledimostrarefa ilmente heladierenziabilità

è una ondizionesu ientean hé siveri hila(1.3) equindi he isistemi

dinami i ammettonolo almentesempre soluzione e he questa è lo almente

uni a.

1.4 Sistemi dinami i lineari

Un sistema dinami osidi e linearese èdella forma

dX

dt

= AX

(1.4)

dove

X ∈ R

n

_A

è una matri e

n × n

.

Se la matri e

A

è diagonalizzabileè possibile disa oppiare le equazioni del sistema dinami o he avranno ome soluzione nella nuovabase

˜

X

i

= ˜

X

0i

e

λ

i

t

(1.5)

In generale, se la matri e non è diagonalizzabile, possiamo s rivere la

solu-zione del sistemadinami o(1.4)

X(t) = X

0

e

At

(1.6)

dove abbiamousato ladenizione di esponenziale dimatri e

e

A

=

∞

X

i=0

A

i

i!

(1.7)

si può dimostrare he tale serie onverge sempre per ogni

A

e he quindi abbiamo ilusso integrale delsistema (1.4)

1

.

1.5 Sistemi dinami i non lineari

Un sistemadinami onon lineareè un sistemala ui funzione

F (X)

dipende non linearmente da

X

. In generale è molto di ile, se non impossibile, s rivere il usso integrale del sistema e quindi per lo studio di tali sistemi

si dovrà ri orrere a uno studio di tipo qualitativo o a una soluzione di tipo

numeri o.

Punti di equilibrio

Unsistemadinami o,perilteoremadiesistenzaediuni ità,ammettesempre

soluzione perogni ondizione iniziale

X(0) = X

o

∈ W

.

Un aso parti olarmentesempli esiveri a quando

F (X

0

) = 0

; intal asoil punto

X

0

sidiràpuntodi equilibrioel'orbitadenitadalla ondizioneiniziale sarà un'orbita ostantee uguale a

X

0

perogni

t

.

Per l'uni ità della soluzione si avrà he nessun'altra orbita del sistema può

passare per

X

0

.

E' hiaro quindi he un sistema he ha ome ondizione iniziale un punto

di equilibrio rimarrà per sempre in tale stato e quindi questo può essere

hiamato punto di equilibrioa giusto titolo.

1

Nella prati a è molto più utile sapere osa su ede nell'intorno di un punto

di equilibrio. Per rispondere a questa domanda dobbiamo sviluppare un

apposito formalismo.

Sistema linearizzato e esponenti di Lyapunov

Se abbiamoun sistema dinami o on un punto diequilibrio

X

s

dX

s

dt

= F (X) = A(X − X

s

) + G(X)

(1.8) dove

A

è la matri e ja obiana della funzione

F

al olata in

X

S

e

G

è un innitesimo diordine superiore alprimo rispetto a

X − X

s

.

Il sistema dinami o

d(X − X

s

)

dt

= A(X − X

s

)

(1.9)

si di e sistema linearizzato di

X = F (X)

˙

, e le parti reali degli autovalori di

A

si hiamanoesponenti diLyapunov.

Lostudiodellastabilitàdiun puntodiequilibriopuòesserefatto

linearizzan-doleequazioninell'intornoditalepunto,apatto henessunodegliautovalori

abbia parte reale nulla; in tal aso questo puntosi dirà iperboli o.

Per un sistema iperboli o il teorema di Hartman-Grobman 2

i

garanti-s e he ogni ambiamentoqualitativodella dinami anon linearedeve essere

riesso nella dinami a del sistema linearizzato; ossia è possibile ridurre lo

studio dell'equilibrionon lineare aquellodello studio lineare.

2

Studio della stabilità in dimensione due

Nel aso di un sistema didimensione due

d

dt

x

1

x

2

!

= F (x

1

, x

2

)

(1.10)

se linearizziamol'equazione (1.10) abbiamo

d

dt

x

1

x

2

!

= A

x

1

x

2

!

possiamodiagonalizzare

A

nel ampo omplessoes oprirel'andamentodelle soluzioni nell'intorno delpuntodi equilibrio.

Gli autovaloridella matri esi ottengono risolvendol'equazione se olare

det(A − λ · I) = 0

Da ui otteniamo studiando lesoluzionidel polinomio aratteristi o

λ

2

_{− λtr(A) + det(A) = 0}

i risultati he possonoessere riassunti nelseguente s hema:

•

nodo stabile: autovalorireali negativi

•

nodo instabile: autovalori realipositivi

•

sella : autovalorireali disegno opposto

•

spirale stabile : autovaloriimmaginari on parte reale

< 0

•

spirale instabile: autovaloriimmaginari on partereale

> 0

•

entro: autovalori on parte reale nulla

Per sistemi on dimensioni

> 2

lo studio della stabilità è analogo; tuttavia o orre al olare le radi i di un polinomio di grado uguale alla dimensione

del sistema.

Tr(A)

det(A)

spirali stabili

sella

spirali instabili

stabili

nodi

nodi

instabili

centro

Figura1.1: Diagrammadi stabilitàin dimensionedue

Persapere seunpolinomioharadi i onparterealenegativapossiamousare

il teoremadi Routh-Hurwitz 3

.

1.6 Teoria delle bifor azioni

La parola bifor azione è largamente usata in vari ontesti e des rive una

situazione in uiun oggettoaltera le sue proprietà topologi he o qualitative

al variare diun parametro.

La teoria delle bifor azioni si o upa proprio di studiare l'apparizione o la

s omparsa di punti di equilibrio, orbite periodi he o oggetti più ompli ati

ome ad esempiogliattrattoristrani.

3

Taleteoremaasseris e helepartirealidelleradi idi unpolinomio

x

n

_{+ a}

1

x

n−1

+ ..+ a

_n−1

x+ a

n

= 0

sononegativeseideterminantidellematri i

△

1

, ..,

△

n

sonotutti

>

0

dove

△

k

=













a

1

1

0

..

0

a

3

a

2

a

1

..

0

a

5

a

4

a

3

..

0

..

..

..

..

..

a

2

_k−1

a

2

_k−2

a

2

_k−3

..

a

k













[28℄

I metodiimpiegatiperquesto studio sono fondamentali per omprendere la

dinami a non lineare.

Noi i o uperemo di bifor azioni nei sistemi dinami i non lineari. Questo

fenomeno è molto importante soprattutto nell'ambito della formazione di

pattern; infatti la formazionedi strutture ordinate aldi sopra di una soglia

è asso iata inmanieranaturale aun fenomenodi bifor azione.

1.7 Forme normali di al une bifor azioni

Dato un sistema dinami onon lineare della forma

dX

dt

= F (X, µ)

dove

µ

èunparametrodelsistema,se

X = 0

èunpuntodiequilibrio iperboli- opossiamostudiarelasuastabilitàtramiteilteoremadiHartman-Grobman

linearizzando ilsistema dinami onell'intornodi

X = 0

.

Sianoadesso

λ(µ)

gliautovaloridelsistemalinearizzato,èpossibile heesista un valore

µ

c

tale he

Reλ(µ

c

) = 0

.

Per tali valori del parametro di ontrollo, il punto di equilibrio non è più

iperboli o e ilteoremadiHartman-Grobman non èpiù valido: siamo quindi

nella vi inanza di un punto la ui natura sta ambiando, e he hiameremo

puntodi bifor azione.

La perdita diiperboli ità può avvenire prin ipalmenteindue modi:

1. Con un sempli e autovalore

λ = 0

, in tal aso diremo he la bifor a-zione è stazionaria. Questo omportamentoè quellodelle bifor azioni

saddle-node, quelle trans riti he e le pit hfork.

2. Con due autovalori omplessi oniugatitali he

Reλ(µ) = Reλ(µ) = 0

; hiameremo questa bifor azione bifor azione di Hopf.

1.8 Persistenza di un punto di equilibrio

Come a ennato prima è possibile he la bifor azione avvenga tramite la

s omparsa di un punto di equilibrio; a questo proposito il teorema della

funzione impli ita [2℄ i fornis e un riterio su iente per stabilire se un

puntodi equilibrio èpersistente.

Condizione su iente an hé un punto di equilibriosiapersistenteè he

det(D

X

F (0, µ

c

)) 6= 0

dove

D

X

F (0, µ

c

)

è lamatri e ja obianadi

F (X, µ

c

)

al olatanelpunto

X = 0

.

Quindiinparti olarequesta relazioneèvera soloselamatri edella

lineariz-zazione è non singolareovvero solo se tutti i suoi autovalorisono diversi da

zero.

In parti olaresipuò vederefa ilmente he una bifor azione diHopfnon può

ambiare il numero di punti diequilibrio mentre questo è possibile nel aso

di una bifor azione stazionaria.

Introdu iamoa questo puntoun'ulteriore lassi azione: hiameremo

bifor- azione super riti a una bifor azione in ui la soluzione omogenea perde

stabilità on l'aumentare di un parametro di ontrollo, sub riti a una he

diventainstabile allasua diminuzione.

1.9 Forme normali

L'idea he sta alla base del on etto di forma normale è quella di

proiet-tare la dinami a di un sistema, vi ino alla soglia della bifor azione, su un

sottospazio hiamato varietà entrale 4

.

In questosensopossiamo onsiderareigradidilibertà heappartengono alla

varietà entrale ome attivi, ioè importanti al ne della bifor azione, e gli

altri ome passivi, ioè ome ininuenti.

4

Lavarietà entrale,persoluzionidipi olaampiezza,èlospaziogeneratodagli

Lo s opo di questo appro io è quello di riprodurre qualitativamentele

a-ratteristi he della dinami a vi inoallasoglia della bifor azione.

Atalenesioperaun'espansioneneiparametri,noall'ordine he i onsente

di riprodurreil omportamentoqualitativo delsistema.

In on lusione le forme normali sono quindi sempli i equazioni he

rappre-sentano i prototipi diuna erta bifor azione.

Vediamo adesso ome possiamo ri avare taliforme a partire da un generi o

sistema dinami o

dX

dt

= F (X, µ)

(1.11)

e supponiamo he

F (0, 0) = 0

, di seguito onsideriamo vari asi separata-mente:

Bifor azioni stazionarie

Supponiamo he

∂F (0, 0)

∂x

= 0

espandendo la (1.11)nell'intornodel punto

(x, µ) = (0, 0)

abbiamo

˙x =

∂F (0, 0)

∂µ

µ +

∂

2

_{F (0, 0)}

∂x

2

x

2

2

+

∂

2

_{F (0, 0)}

∂x∂µ

µx+

+

∂

2

_{F (0, 0)}

∂

2

_µ

µ

2

2

+

∂

3

_{F (0, 0)}

∂x

3

x

3

3!

+ ..

(1.12)

Questa relazionevale in generale per le bifor azionistazionarie, vediamo di

studiarla inal uni asi parti olari.

Bifor azione saddle-node Se supponiamo he

∂

2

_{F (0, 0)}

∂x

2

6= 0

e

∂F (0, 0)

∂µ

6= 0

l'equazione (1.12)diventa,tras urando gliordini superiori,

˙x =

∂F (0, 0)

∂µ

µ +

∂

2

_{F (0, 0)}

∂x

2

x

2

2

da uipossiamo ris alarel'equazione in modo he

˙˜x = ǫ

1

µ + ǫ

˜

2

x

˜

2

Il risultato èrappresentabile dal osiddetto diagramma dibifor azione.

Nel diagramma di bifor azione si usa rappresentare l'ampiezza dei punti di

equilibrio al variare del parametro di ontrollo: le linee tratteggiate

rap-presentano soluzioni instabili, mentre quelle ontinue rappresentano quelle

stabili ome mostratoin gura(1.2).

Figura 1.2: Diagramma per una bifor azione saddle-node (a)

ǫ

1

= ǫ

2

=

1

,(b)

ǫ

1

= ǫ

2

= −1

,( )

−ǫ

1

= ǫ

2

= 1

,(d)

ǫ

1

= −ǫ

2

= 1

[2℄

Bifor azione trans riti a

In questo aso non abbiamo la s omparsa o la omparsa di nuovi punti di

equilibrio, seadesso supponiamo he

∂

n

_{F (0, 0)}

lo sviluppo(1.12) idà

˙x =

∂

2

_{F (0, 0)}

∂x

2

x

2

2

+

∂

2

_{F (0, 0)}

∂x∂µ

µx +

∂

3

_{F (0, 0)}

∂x

3

x

3!

+ ..

da uiris alando e tras urandogli ordinisuperiori

˙˜x = ˜x(ǫ

1

µ + ǫ

˜

2

x)

˜

il ui omportamentoè mostratoingura (1.3).

Figura 1.3: Diagramma per una bifor azione trans riti a (a)

ǫ

1

= ǫ

2

=

1

,(b)

ǫ

1

= ǫ

2

= −1

,( )

−ǫ

1

= ǫ

2

= 1

,(d)

ǫ

1

= −ǫ

2

= 1

[2℄

Bifor azione pit hfork

Se supponiamo adesso he valgano le ipotesi pre edenti ma he

∂

3

_{F (0,0)}

∂x

3

= 0

, ad esempiose ilsistema dinami oè invarianteper riessioni ioè

˙˜x = ˜x(ǫ

1

µ + ǫ

˜

2

x

˜

2

)

il ui omportamentoè mostratoingura (1.4).

Figura 1.4: Diagramma per una bifor azione pit hfork (a)

ǫ

1

= ǫ

2

=

1

,(b)

ǫ

1

= ǫ

2

= −1

,( )

−ǫ

1

= ǫ

2

= 1

,(d)

ǫ

1

= −ǫ

2

= 1

[2℄

Bifor azioni imperfette

Possiamoan he onsiderareil asodiunabifor azioneimperfetta,ossiauna

bifor azione pit hfork o trans riti a a ui venga aggiuntoun termine

˙x = F (X, µ) + ǫV (X, µ)

on

0 < ǫ ≪ 1

, questa perturbazione può essere qualsiasi nel senso he può non rispettarelerelazionidisimmetria he ihanno onsentitodiri avarele

forme normalinelle pre edenti equazioni.

Il risultato può essere ompreso euristi amente guardando la gura (1.5)

dalla quale si può notare he al une bifor azioni imperfette portano alla

Figura 1.5: Diagrammi di al une bifor azioni perturbate (a) bifor azione

trans riti a (b) bifor azione pit hfork [2℄

1.10 Bifor azione di Hopf

La bifor azione di Hopf è aratterizzata dall'annullarsi della parte reale di

una oppia oniugata di autovaloriimmaginari.

La sua forma normaleèpiù sempli eses ritta in oordinatepolari

˙r = r

"

γ(µ) +

∞

X

j=1

a

j

(µ)r

2j

#

(1.13)

˙θ = ω(µ) +

X

∞

j=1

b

j

(µ)r

2j

(1.14)

le seguenti relazioni:

γ(0) = 0

,

ω(0) 6= 0

e

dγ(0)

dµ

> 0

.

Una aratteristi aimportantedell'equazione(1.14)è he nonpresenta

dipen-denzada

θ

;questorendeladinami adellaformanormaleinvarianterispetto algruppodellerotazionidifase,dettoan hesimmetriadiphase-shift, ome

mostrato daldiagramma dibifor azione ingura (1.6).

Per questo motivo la bifor azione di Hopf è un fenomeno molto più ri o

dellabifor azionestazionariaedàoriginea omportamentinonlinearitempo

dipendenti.

Nei prossimi apitoli vedremo he questa bifor azione ha un ruolo entrale

nello studio della formazionedi pattern.

Figura 1.6: Dinami a radiale e diagramma peruna bifor azione di Hopf (a)

bifor azione super riti a

a

1

(0) < 0

,(b) bifor azione sub riti a

a

1

(0) > 0

, i punti in ui

˙r = 0

sono puntidi equilibrioperla parte radiale[2℄

Pattern formation

2.1 Introduzione

Ilfenomenodellapatternformationri orreinunavastaquantitàdi ontesti

naturali, dallema hiesul manto degli animalialle elle onvettive nelsole.

Sperimentalmente,ipatternsonostatistudiatiinvarisistemiin lusi

Rayleight-Bernard onve tion RBC,instabilitàelettro onvettivenei ristalliliquidiin

fase nemati a (EHC), reazioni himi he e ondedi Faraday.

A dispetto delledierenzetra questisistemi si i, ipatternosservati

possie-donovarie aratteristi hein omune,equestoindi aunaqual heuniversalità

he regola laformazionedi queste strutture.

Il punto di partenza per la modellizzazione di un sistema he esibis e una

formazione dipattern èun sistema dinami odel tipo

∂

t

U(x, y, t) = G(U(x, y, t), ∂

x

, ∂

y

, R)

in ui

U

è una quantità si a he variaa se onda del ontesto (ad es. nella RBC il ampo di velo ità del uido),

G

può essere in generale, una qual-siasi funzione non lineare di

U

, delle sue derivate e di

R

, un parametro he possiamovariare a nostro pia imentodetto parametro di ontrollo.

Noi saremo interessatia modellideltipo

tali sistemisi hiamanosistemi reazione-diusione.

Perun sistema omeil(2.1), he ingenerale non puòessere risolto

analiti a-mente, la strategia da adottare è l'utilizzo di una teoria perturbativa. Uno

dei metodi più usati prende il nome diespansionedebolmente non lineare.

Questo metodo perturbativo è rigorosamente valido solo vi ino alla soglia

dell'instabilità. Nonostante iò,tramitequestateoria,siries onoades rivere

quantitativamente isistemi vi iniallasoglia e qualitativamentequellimolto

lontani da essa.

2.2 Un esempio di formazione di pattern:

Rayleight-Bernard onve tion

L'instabilità di Rayleight-Bernard è forse il più famoso esempio di sistema

he esibis a una formazionepattern.

In questo esperimento un pi olo spessore di uido posizionato

orizzontal-mentesi trova inun gradiente ditemperatura verti ale

∆T

.

Inquesto sistemaesisteuneettodestabilizzante he onsistenellatendenza

del liquidopiù aldo asalire.

Tale eetto è in ompetizione on la vis osità deluido. Per questo motivo

per pi oli gradienti termi i il uido è essenzialmente in equilibrio e l'uni o

fenomeno he siveri a èla onduzionetermi a daparte delliquido.

Possiamo quindi aermare he, in questa ondizione, lo stato uniforme è

stabile, in quanto pi ole perturbazioni appli ate ad esso, dopo un tempo

su ientemente lungo, vengono riassorbite dal sistema.

Se però il gradiente termi o e ede un erto valore riti o

∆T

c

la vis osità non puòpiù bilan iarela onvezioneesi reaun regimedinami o hegenera

i osiddetti  onve tion rolls ome mostratoin gura(2.1).

Questo omportamento può essere des ritto tramite la teoria delle

bifor a-zioni, infatti al variare di un parametro di ontrollo abbiamo la perdita di

Figura 2.1: Figura he illustra s hemati amente i rolls nella

Rayleight-Bernard onve tion [3℄

Naturalmente il parametro he ontrolla la onvezione di un uido dipende

ingenerale danumerosialtrifattori(ades. lasua densitàelasuavis osità).

In generale si usa denire ome vero parametro di ontrollo del sistema il

numerodiRayleight

R =

αg∆T d

3

κν

dove

g

èl'a elerazionedigravità,

α

il oef- ientedi espansione termi adeluido,

d

lospessore verti ale delsample,

κ

la diusivitàtermi ae

ν

la vis osità inemati a.

Quando

R ∼ 1708

si ha la rottura dello stato uniforme; è uso ris alare il parametro di ontrollo

R

nella seguente maniera

ǫ =

R−R

c

R

c

; in questo modo

la bifor azione avviene per

ǫ = 0

.

Proviamo adesso a modellare la RBC; il punto di partenza è un sistema

dinami oalle derivate parziali he dipendedal parametro di ontrollo

ǫ

∂

t

U = G(U, ∂

x

, ∂

y

, ǫ)

(2.2)

in ui si suppone he

U = 0

sia una soluzione perogni valore delparametro di ontrollo(ri ordiamo he

U

rappresentainquesto asoil ampodivelo ità del uido).

Uno studio basilare della stabilità può essere fatto perturbando nell'intorno

della soluzione

U = 0

; lassi heremo il sistema in base alle risposte del sistema linearizzato a perturbazioni della forma di una singola omponente

di Fourier,la uievoluzionetemporalesarà della forma

dove

σ ∈ C

e

k

rappresentanorispettivamenteiltasso di res itaeilnumero d'onda del modo.

I tassi di res ita per i varimodipossono essere al olatitrovando gli

auto-valoridella linearizzazionedi

G(U, ∂

x

, ∂

y

, ǫ)

nell'intorno di zero.

Per illustrare ome funziona questo me anismo er hiamo di ostruire un

modello il più sempli epossibile per laRBC.

Perfarequesto ri hiediamo heiltasso di res itadiunmodosiaquadrati o

nell'intorno di un erto vettore d'onda

k

c

e he per

ǫ < 0

lo stato uniforme sia stabile.

Se adesso aggiungiamoan he l'ipotesi he ilsistemasiainvarianteper

ries-sione

x → −x

, abbiamossato la parte lineare della nostra equazione he è della forma

1

∂

t

u = ǫu − D(∂

x

2

+ k

c

2

)

2

u

(2.4)

usando l'ansatz (2.3) nell'equazione(2.4) sitrovail tasso di res ita er ato

ome mostratoin gura (2.2).

Figura2.2: Tasso di res ita in funzionedi

ǫ

perun sistematipo RBC [3℄

Chiaramentelostato omogeneoè stabilesenon esistono

k

per uiil tasso di res ita

σ

è positivo e questo è sempre vero per

ǫ < 0

; per

ǫ = 0

'è solo un valore

k

c

per ui iltasso di res itaè nullo.

1

Con questo pro edimento abbiamo ritrovato la parte lineare dell'equazione

Per

ǫ > 0

esiste unabanda ontinuadivettorid'onda

k

−

≤ k ≤ k

+

on tasso di res itapositivo.

Questotipodianalisipuòesseregeneralizzatoadaltresituazioni;le

instabili-tàpossonoesseresuddiviseinduetipi: stazionarie

Imσ(k

c

) = 0

eos illatorie

Imσ(k

c

) = ω

c

6= 0

per

ǫ = 0

.

Noi adopereremo neltesto la seguente nomen latura

•

Tipo

I

s

periodi a stazionaria

(ω

c

= 0, k

c

6= 0)

•

Tipo

I

0

os illatoriaperiodi a

(ω

c

6= 0, k

c

6= 0)

•

Tipo

III

0

os illatoriauniforme

(ω

c

6= 0, k

c

= 0)

Il aso

ω

c

= 0, k

c

= 0

non riguarda la formazione di pattern quindi non è stato preso in onsiderazione.

2.3 Espansione debolmente non lineare

Vi inoallasogliadiinstabilità(

|ǫ| ≪ 1

)leequazioni possonoessere studiate on la osiddetta espansionedebolmente non lineare.

Prendiamo un'equazione

L ≡ ǫu − Γ(u)

(2.5)

dove

Γ(u)

èunterminenonlineare 2

;perssareleideepossiamopensarealla

RBC limitata ainstabilitàdi tiporolls on un erto numero d'onda

k

c

. L'idea di questa metodo è quella di sviluppare la soluzione dell'equazione

del moto

L

in termini del parametro di ontrollo

ǫ

, s rivendo il termine dominante di questa espansione ome prodotto di un termine lentamente

variabile(ampiezza) edi un pattern basilare.

Il nostroobbiettivosarà quindi quellodiderivare un'equazione delmotoper

l'ampiezza lentamente variabile(equazione diampiezza).

2

Per sempli ità studieremo un pattern di tipo

I

s

analoghe onsiderazionisi possono fareperglialtritipi dipattern.

Partiamoanalizzando iltasso di res italineare

σ

mostrato ingura (2.2)

σ(ǫ, k) =

 ∂σ

∂ǫ



ǫ=0

ǫ +

1

2

 ∂

2

_σ

∂k

2



k=k

c

(k − k

c

)

2

+ ..

(2.6)

da questa formula si nota he i soli modi on un tasso di res ita positivo

risiedono in un intorno di

k

c

di larghezza

≈

√

_ǫ

, sono proprio questi modi

he gio ano un ruolo importante nel omportamento del sistema per tempi

molto lunghi.

Daun'analisidimensionalesiri ava he,selemodulazionidelvettored'onda

sono dell'ordine

ǫ

1

2

, lelunghezze sono tipi amente dell'ordinedi

ǫ

−

1

2

.

Analogamenteitempi,dato he iltasso di res itaaumentalinearmente on

ǫ

, hanno una grandezza tipi a di

ǫ

−1

.

Da ui abbiamo he le s ale lente sono per ostruzione

X = ǫ

1

2

x

T = ǫt

Per omprendere questo me anismo vediamo un'appli azione della

espan-sione debolmente non lineare all'equazione di Swift-Hohenberg

unidimen-sionale 3

∂

t

u = ǫu − ∂

x

2

+ k

c

2

2

u − u

3

= ǫu − Lu − u

3

(2.7)

separiamo le s ale imponendo

∂

x

−→ ∂

x

+ ǫ

1

2

∂

_X

(2.8)

∂

t

−→ ǫ∂

T

(2.9)

dove

x

èla s ala delpatternportante, mentre

X

e

T

sono le s ale spazialie temporalidell'equazionedi ampiezza.

Sviluppiamola funzione

u

in serie di

ǫ

1/2

u = ǫ

1

2

u

₀

+ ǫu

₁

+ ǫ

3

2

u

₂

+ ..

(2.10)

einseriamotuttonell'equazione(2.7)e er hiamoitermini he sopravvivono

a ogni ordine di

ǫ

.

Se ora inseriamo nell'equazione (2.7) la (6.5) e la (6.6) per l'operatore

L

abbiamo he

L = (∂

x

2

+ k

c

)

2

→ (k

c

2

+ ∂

2

x

+ 2ǫ

1

2

∂

_x

∂

_X

+ ǫ∂

2

X

)

2

= L

2

+ 4ǫ

1

2

L∂

x

∂

X

+ ǫ(2L + 4∂

x

2

)∂

X

2

+ O(ǫ

3/2

)

dove abbiamodenitoper onvenienza

L = k

2

c

+ ∂

x

2

.

Inseriamo adesso losviluppoin

ǫ

nell'equazione (2.10), abbiamo he

n

L

2

+ 4ǫ

1

2

L∂

_x

∂

_X

+ ǫ ∂

_T

− 1 + (2L + 4∂

2

x

)∂

X

2

+ O(ǫ

3/2

)

o

×

ǫ

1/2

_u

0

+ ǫu

1

+ ǫ

3/2

u

2

+ O(ǫ

2

) + ǫ

3/2

u

3

0

+ O(ǫ

2

) = 0

Se adesso raggruppiamoitermini ordine all'ordine

ǫ

1/2

abbiamo

(∂

_x

2

+ k

2

_c

)

2

u

0

la uisoluzione è

u

0

= e

ik

c

x

A

0

(X, T ) + e

−ik

c

x

A

∗

0

(X, T )

in ui ompare per laprima voltal'ampiezza

A

0

(X, T )

he a questo livelloè ompletamente arbitraria.

All'ordine

ǫ

abbiamo

4(∂

2

x

+ k

2

c

)∂

x

∂

X

u

0

+ (∂

x

2

+ k

2

c

)

2

u

1

= 0

il primo termineè nullovisto he

Lu

0

= 0

quindi lo sviluppo a quest'ordine non i dànessuna informazione inpiù sulla forma di

A

0

(X, T )

.

All'ordine

ǫ

Lu

2

+ 4L∂

x

∂

X

u

1

+ (∂

T

− 1 + 2L∂

x

2

+ 4∂

x

2

∂

X

2

+ u

2

0

)u

0

= 0

da ui, eliminando itermini nulli,si ha

L

2

u

2

+

e

ik

c

x

(∂

T

− 1 − 4k

2

c

∂

2

x

+ 3 |A

0

|

2

)A

0

+ c.c. + e

3ik

c

x

A

3

0

+ c.c. = 0

perrispettarel'equazione ène essario he iltermineproporzionalea

e

ik

c

x

sia

nullo dato he

L

2

_u

2

non ontiene nessuna dipendenza da

e

ik

c

x

Il risultato è

∂

T

A = A + 4k

c

2

∂

X

2

A − 3 |A|

2

A

da ui ris alando tutte le variabili, abbiamo la osiddetta equazione di

am-piezza per un sistema unidimensionale

τ

0

∂

T

A = ǫA + ξ

0

2

∂

2

X

A − g |A|

2

A

In linea di prin ipio abbiamo visto ome sia possibile ri avare l'equazione

di ampiezza per un'equazione molto sempli e ome la Swift-Hohenberg, in

generale tale pro edimento è molto di ile, se non addirittura impossibile,

per equazioni più ompli ate. Nella formazione di pattern è uso assumere

l'equazionediampiezza omevalidaapriorievederequalirisultatisipossono

trarre daquesto appro io.

Noi assumeremo questa equazione er ando di darne una giusti azione di

tipo euristi o.

E' importante notare he nel orso di questa trattazione i riferiremo

prin- ipalmente a sistemi bidimensionali, tuttavia al uni risultati, on le dovute

2.4 Equazione di ampiezza per instabilità

I

s

Analizziamoindettagliolaformadell'equazione diampiezza per

un'instabi-lità di tipo

I

s

on vettore d'onda

k

c

he avviene inun sistema spazialmente isotropo.

Analogamentea quanto vistoin pre edenzala soluzione è

U = U

o

A(x, y, t)e

ik

c

x

+ c.c. + O(ǫ)

(2.11)

in ui

U

0

è una ostante diproporzionalità.

Inquesta equazioneabbiamota itamenteassunto he ilpatternsia

bidimen-sionale e onsistente di rolls unidimensionali perpendi olari alla direzione

x

.

Laterzadimensioneèin lusain

k

c

4

e

A(x, y, t) ∈ C

èun ampo heobbedis e all'equazione di Landau-Ginzburgreale (RGL).

τ

0

∂

t

A = ǫA + ξ

0

2

∂

x

− (i/2k

c

)∂

y

2



2

A − g

0

|A|

2

A

(2.12)

Questa equazione può des rivere moltifenomeni; tuttavia derivarladai

det-taglimi ros opi i diun pre isosistema può essere molto di ile.

Quello hedeveessereenfatizzatoè helaformadell'equazioneègeneraleeil

dettagliodiunsingolosistemasimanifestasoloneivalorideisuoi oe ienti.

2.4.1 Introduzione euristi a dell'equazione di ampiezza

per sistemi isotropi

E' possibile introdurre l'equazione di ampiezza per instabilità di tipo

I

s

in maniera euristi a.

Comin iamo olprovare a des rivere un sistema spazialmente isotropo:

s ri-viamo la più sempli e equazione lineare he dia origine a un tasso di

re-s ita he rispe hi l'isotropia spaziale del sistema; s egliamo quindi un

tas-so di res ita he non favoris a la nas ita dei modi in nessuna direzione in

parti olare

4

In genere il numero d'onda riti o è ssato dalla terzadimensione, he non appare

σ(q) = τ

₀

−1



ǫ − ξ

0

2



|q| −







−

→

k

c









2



(2.13) on

q =







−

→

_k

c





 ˆ

x +

−

→

_k

e

−

→

_{k = (k}

x

, k

y

)

. Espandendo













−

→

_k

c





 ˆ

x + k





 −







−

→

_k

c







per pi oli

k

abbiamo he

σ(q) ≃ τ

0

−1

ǫ − ξ

0

2



k

x

+

k

2

y

2k

c



2

!

(2.14) se ora sostituiamo

σ → ∂

t

(2.15)

k

x

→ −i∂

x

(2.16)

k

y

→ −i∂

y

(2.17)

riotteniamo laparte lineare dell'equazione(2.12) 5

.

Per saturare la res ita esponenziale dei modi è ne essario introdurre un

termine orrettivo non lineare.

Questo termine può essere ottenuto er ando un oggetto di forma sempli e

he preservi l'equazione sotto latrasformazione

A → e

iφ

_A

he orrispondea

ri hiedere l'invarianzasotto traslazione del pattern.

2.4.2 Introduzione euristi a all'equazione di ampiezza

per sistemi anisotropi

Possiamo riprodurre il ragionamento del paragrafo pre edente per un

siste-ma anisotropo; la forma del tasso di res ita sarà, s egliendo, nel modo più

sempli e, untassodi res ita hefavoris ala res itadeimodinelladirezione

del vettore d'onda riti o

σ(q) = τ

₀

−1

_{ǫ − ξ}

₀

2

_{(|q − k}

c

|)

2

da ui

σ(q) = τ

₀

−1

_{ǫ − ξ}

₀

2

k

2

_x

+ k

2

_y

e onlesostituzioni(2.15)(2.16)(2.17)e on onsiderazionianalogheaquelle

fatte pre edentementeabbiamo he

τ

0

∂

t

A = ǫA + ξ

x

2

∂

x

2

+ ξ

y

2

∂

y

2

A − g

0

|A|

2

A

(2.18)

2.4.3 Interpretazione si a dei parametri delle

equazio-ni di ampiezza

I parametri he ompaiono nell'equazione (2.12)e nella (2.18) sono, inlinea

di prin ipio, ri avabili dalle equazioni fondamentali delfenomeno. Tuttavia

tale al oloèstato portato aterminesoltantoperun numeromolto limitato

di sistemied è assai ompli ato.

In generale è molto più fa ile e istruttivo provare a dare una spiegazione

si a ditali oe ienti.

Il nostro parametro di ontrollo prin ipale è

ǫ

he determina la transizione di fase tra lo stato uniforme e lo stato on pattern; nel aso ad esempio

della EHCè orrelatodirettamentealpotenziale

V

appli atoal ampione di ristallo liquido e alla soglia di formazione dei pattern

V

c

,

ǫ =

V

2

_−V

2

c

V

2

c

(vedi ap 5) .

Il parametro

τ

0

può essere orrelatoai tempi di reazione del sistema a una variazione improvvisa di

ǫ

; se partiamo da una situazione in ui lo stato iniziale è quello omogeneo e

ǫ < 0

e repentinamente aumentiamo il valore in modo he

0 < ǫ ≪ 1

il sistema omin erà a formare un'onda piana della forma

A(x, y, t) = a(t)e

ikx

, sostituendo la soluzione nell'equazione reale di

Landau-Ginzburg abbiamo he

τ

0

∂a

∂t

= ǫa − ξ

2

_k

2

a − g

0

a

3

se adessosupponiamo he

k ≃ 0

e he il ontributodeltermine ubi o possa essere tras urato nei primi istanti dell'evoluzione abbiamo he

a ∝ exp(

ǫt

τ

0

)

da uipossiamo misurare

τ

0

eseguendo un tdel

|A|

infunzione deltempo. Per misurare le lunghezze di orrelazione

ξ

x

,

ξ

y

,

ξ

0

possiamo sfruttare lo studiodistrutture hiamatedifetti(vedi ap3)utilizzandolaformaanaliti a

nota per un difetto 1D he può approssimare bene an he il prolo di una soluzione 2D

A(x, y = 0) = A

0

tanh(

r 2

ǫ

x

ξ

x

)

(2.19) e

A(x = 0, y) = A

0

tanh(

r 2

ǫ

y

ξ

y

)

(2.20)

in uil'originedegliassièal entrodeldifetto. Dallamisuradelle

dimensio-ni deldifetto èpossibilerisalireallelunghezzedi orrelazione. Lelunghezze

di orrelazione sono molto importanti in parti olare nei sistemi anisotropi

ome i ristalli liquidi.

Per quanto riguarda il parametro

g

0

possiamo operare il osiddetto quen- hing di

ǫ

: ossiaoperare ambiamenti ontinuamentealternatidelparametro di ontrollo tra due valori

ǫ

1

∼ 0

e

ǫ

2

≫ ǫ

1

; osì fa endo i aspettiamo he il numero d'onda del modo he si viene a reare sia

k ∼ 0

e in tal aso la nostra equazione siridu e a

τ

0

∂a

∂t

= ǫ − g

0

a

3

in questo modouna voltari avato

τ

0

possiamo ottenere il valore di

g

0

.

2.4.4 L'equazione reale di Landau-Ginzburg (RGL)

L'equazione (2.12) prende an he il nome di equazione di Landau-Ginzburg

reale (RGL)ed èl'amplitudeequation diun sistemaspazialmenteisotropo

soggetto auna instabilitàdi tipo

I

s

.

Tale equazione presenta una bifor azione di Hopf super riti a per

g

0

> 0

dello stato uniforme alvariaredel parametro

ǫ

.

E'possibileris alarel'equazione(2.12)emetterlainformanormale

ponen-do

X = |ǫ|

1

2

x

Y = |ǫ|

1

4

y

 k

c

ξ

0



1

₂

T = |ǫ|

_τ

t

0

A =









g

0

ǫ







1

2



A

In questo modol'equazione diventa

∂

t

A = ±A +

∂

x

− (i/2)∂

y

2



2

A −





A





2

A

(2.21)

dove ilsegno

+

orrisponde a

ǫ > 0

mentre il segno

−

a

ǫ < 0

Un risultato he, a primavista, può sembrareparadossale è he, persistemi

anisotropi, l'equazione di Landau-Ginzburg prende la forma

τ

0

∂

t

A = ǫA + ξ

x

2

∂

x

2

+ ξ

y

2

∂

y

2

A − g

0

|A|

2

A

(2.22)

e può essere ris alata

∂

T

A = ±A + ∂

X

2

+ ∂

Y

2

A −





A





2

A

(2.23) ponendo

X = |ǫ|

1

2

x

ξ

x

Y = |ǫ|

1

2

y

ξ

y

T = |ǫ|

_τ

t

0

A =









g

0

ǫ







1

2



A

Quindi un sistema anisotropo è rappresentato da una RGL isotropa e

vi e-versa.

Sistemi hesonorappresentatidaun'equazionediLandau-Ginzburgisotropa

2.4.5 Soluzioni di onda per RGL

E' fa ileveri are he la RGL ammette soluzioni

A

k

(x) = a

k

e

ikx

on

a

k

= (ǫ − k

2

)

1

2

.

Se ora vogliamo indagare la stabilità di queste soluzioni dobbiamo

vede-re l'eetto di una pi ola perturbazione su un sistema in uno stato

A

k

(x)

analogamentea quantovisto nel ap 1.

Sviluppiamoquindi

A(x, t) = A

k

(x) + δA(x, t)

dove

δA = e

ikx

δa

+

e

iQx

+ δa

∗

₋

e

−iQx



(2.24)

inserendo tutto nella RGLe linearizzandorispetto a

δa

+

e

δa

−

otteniamo

∂

t

δa

+

= − p

2

+ U

+

δa

+

− p

2

δa

−

(2.25)

∂

t

δa

−

= − p

2

+ U

−

δa

−

− p

2

δa

+

on

p

2

_{= ǫ − k}

2

e

U

±

=

h

(k ± Q

x

)

2

+

Q

2

y

2k

c

i

− k

2

Figura 2.3: Diagramma delle instabilità: E E khaus, N neutral, Z

zig-zag [3℄

Gli autovaloridelsistema (2.25)sono

σ

k

(Q) = −p

2

−

1

2

(U

+

+ U

−

) ±



p

4

+

1

4

(U

+

− U

−

)

2



1

₂

la ondizione distabilitàè

σ

k

(Q) < 0

e deve essere vera per tutto un intorno di

|Q| = 0

, la zona di stabilità limite si ottiene imponendo

σ

k

(Q) = 0

e dai al oli abbiamo he

k

2

N

= ǫ

; se adesso er hiamo una zona di stabilità limite perperturbazioni lungo l'asse

x

,

Q = Qˆ

x

,troviamola osiddetta instabilitàdiE khaus ela urva he la delimita è

k

2

E

=

ǫ

3

.

Se er hiamo inve e una zona di stabilità per perturbazioni lungo l'asse

y

,

Q = Qˆ

y

, troviamo la osiddetta instabilità zig zag, visualizzata in gura (2.4), dai al oliabbiamo he lazonalimiteè

k

z

= 0

omemostratoingura (2.3).

Figura2.4: Foto diun'instabilità ditipo zig-zag[3℄

2.5 Instabilità

III

0

La stessaespansione vi inoallasoglia he abbiamofattoperleinstabilità

I

s

possiamofarla, on ledovute dierenze, per un'instabilitàdi tipo

III

0

U(x, y, t) =

U

0

A(x, y, t)e

−iωt

+ c.c. + O (ǫ)

(2.26)

∂

t

A = ±A + (1 + ib) △ A − (1 + ic) |A|

2

A

(2.27)

on

A ∈ C

e on

U

0

ostante diproporzionalità.

Questa equazione prende an he il nome di equazione omplessa di

Landau-Ginzburg (CGL) e manifesta an h'essa una bifor azione di Hopf al variare

del parametrodi ontrollo prin ipale

ǫ

.

I dueparametri

b, c

dell'equazione ontrollanoilregimedell'equazionee dan-no origine a omportamenti molto più ompli ati rispetto a quelli esibiti

dall'equazioneRGL;questo sipuò notarean he dalfatto he non èpossibile

ris alare viatutti i parametri (2.27).

Laformapiùgeneraledell'equazione(2.27)possiedeuntermineproporzionale

a

s

0

∂

x

, tuttavia noi lavoreremo in un sistema on ondizioni al ontorno periodi he in ui tale termine può essere ris alato passando nel sistema di

riferimento he si muove on la velo ità di gruppo lineare

s

0

˜

x → x − s

0

t

nel aso in ui ilsistema inesame sia didimensioni nite il termine

propor-zionale a

s

0

gio aun ruoloimportante, main questatesi i o uperemo solo di sistemiperiodi i.

L'interpretazione si a dei due oe ienti he ompaiono nella CGL non è

sempli e omequelle vistepre edentemente nella RGL.

Tuttavia i due parametri possono essere onnessi alla frequenza delle onde

( ome vedremoin seguito) he sivengono a reare nelsistema.

In genere tuttavia queste misure sono molto di ili e non prive di insidie

quindi in genere questi parametri vengono a ordati in modo da riprodurre

il regimesperimentale studiato.

Peruno s hema deiregimidinami i dellaCGL siveda (7.1).

Soluzioni d'onda per la CGL

L'equazione (2.27) ammette sia soluzioni del tipo

A(x, t) = a

0

e

−iΩ

0

t

on

a

2

tipo

A

k

(x, t) = a

k

e

i(kx−Ω

k

t)

dove,

a

k

= (ǫ − k

2

₎

e

Ω

k

= cǫ + (c − b) k

2

, he

hiameremo onde rotanti.

L'equazione (2.27) ammette ome soluzione an he onde stazionarie tuttavia

queste sono instabilie de adono inonde viaggianti 6

.

Il al olodella stabilitàdelleonde pianeè analogoa quellofatto perlaRGL

an hesealgebri amentemoltopiùinvoluto;questorisultatoèan he hiamato

riterio di E khaus generalizzato ed aerma he esistono onde stabili on

numero d'onda

k

a patto he

k

2

<

1 + bc

3 + bc + 2c

2

da questa formulasi nota he esistonoonde stabili apatto he

1 + bc > 0

altrimentisono tutte instabili ( riterio di Benjamin-Feir-Newell);se le onde

sono tutte instabili siha un regime osiddetto  aoti o.

2.6 Instabilità

I

0

L'analogo dell'equazione(2.26) per instabilitàdeltipo

I

o

[ω

0

6= 0, q

0

6= 0]

è

U(x, y, t) = U

0

A

R

(x, y, t)e

i(k

c

x−ω

c

t)

+ A

L

(x, y, t)e

−i(k

c

x+ω

c

t)

 + c.c.

(2.28)

eleequazionidiampiezzasonodueequazionidiLandau-Ginzburga oppiate

perledue ampiezze

A

R

e

A

L

he rappresentano rispettivamenteleampiezze di onde he viaggiano verso destra everso sinistra.

6

Vedremo nei prossimi apitoli he la versione bidimensionale di questa equazione

Persempli itàabbiamos ritto le equazioninel aso

1D

∂

t

A

R

+s

0

∂

x

A

R

= ǫA

R

+(1 + ic

1

) ∂

2

x

A

R

−(1−ic

3

) |A

R

|

2

A

R

−g

1

(1 − ic

2

) |A

L

|

2

A

R

(2.29)

∂

t

A

L

− s

0

∂

x

A

L

= ǫA

L

+ (1 + ic

1

) ∂

2

x

A

L

− (1 − ic

3

) |A

L

|

2

A

R

− g

1

(1 − ic

2

) |A

R

|

2

A

L

(2.30)

Dove

s

0

èlavelo itàdigruppo,iparametri

ǫ, c

1

, c

3

sonoanaloghiaquelli de-nitiperlaCGL,mentre

g

1

èunparametro hetiene ontodell'a oppiamento tra imodi

A

L

e

A

R

.

Le equazioni nel aso

2D

si ottengono sostituendo nelle equazioni (2.29) (2.30)

s

0

∂

x

→ s

0



∂

x

−



i

2k

c



∂

2

_y

+



1

2k

2

c



∂

x

∂

y

2

−



i

8k

3

c



∂

_y

4



∂

_x

2

_→



∂

x

−



i

2k

c



∂

_y

2



2

Permaggioridettaglisulleequazionia oppiatediLandau-Ginzburgsiveda[16℄

2.7 RGL vs CGL

LedierenzetraleequazioniRGLeCGL possonosembrareminimeinrealtà

laCGL esprimeuna varietàdi omportamentimoltonumerosaaquellidella

sempli e RGL.

Per quanto riguarda la dinami a della RGL è possibile determinare una

funzione tale he

∂

t

A = −

δF {A, A

∗

_}

δA

∗

(2.31) on

F =

Z

Z

dxdy

h

_{−ǫ |A|}

2

+

g

0

2

|A|

4

+





ξ

₀

∂

_x

− (i/2k

_c

)∂

_y

2

A





2

i

(2.32)

e per tale funzione

∂F

∂t

≤ 0

F

prende ilnomedifunzionediLyapunov esvolgeun ruoloanalogoaquello svoltodall'energia libera intermodinami a.

Ilpro esso des rittodallaRGLsaràquindi unpro essodirilassamentoverso

il minimodi

F

.

Per la CGL tuttavia non è possibile 7

, in generale, trovare una funzione di

Lyapunov; la dinami a è quindi molto più ompli ata di un

rilassamen-to ed è questo il motivo per ui la CGL presenta una varietà maggiore di

omportamentirispetto allaRGL.

2.8 Instabilità se ondarie

Abbiamo visto he le soluzioni di tipo onda possono esse stesse diventare

instabili; hiameremo lenuove soluzionistabili instabilitàse ondarie.

Questeinstabilitàtendonoa ompli aremoltoipatternerappresentanoparte

della omplessità ris ontratanegli esperimenti reali.

Nell'equazione di ampiezza

I

s

ome abbiamo visto esistono solo due tipi di instabilità se ondarie: di E khaus e quella zig-zag. Questo mostra he

l'equazione di ampiezza reale ha un range di validità limitato in quanto

le altre instabilità he sono osservate sperimentalmente, sono trovate solo

quando vengono in lusinel al oloordini superioridello sviluppo.

2.9 Competizioni tra i vari pattern

Quando abbiamo ostruito la(2.11)abbiamofatto l'ipotesidi studiare

solu-zioni he onsistono inun singolo set di rolls paralleli.

In generale possiamo studiare soluzioni he sono sovrapposizione di

n

rolls di orientazione varia

U = U

0

"

_n

X

i=1

A

i

(x, y, t)e

iq

i

x

+ c.c.

#

+ O(ǫ)

(2.33) on

|q

i

| = k

c

7

Se

c

= b

laCGLpuòesseres rittainunsistemarotante

∂

t

A

˜

= (1 + ic)



ǫ ˜

A

₋







A

˜







2

˜

A

+ ∆ ˜

A



= − (1 + ic)

δF

{

˜

A, ˜

A

∗

_}

δ ˜

A

∗

dove

A

˜

= e

iǫct

_A

se tras uriamole variazionispazialidelpattern l'equazione diampiezza or-rispondente è

∂

t

A

i

= ǫA

i

−

n

X

j=1

g

ij

|A

j

|

2

A

i

(2.34) dove

g

ij

= ζ(θ

ij

)

e

q

ˆ

i

q

ˆ

j

= cos θ

ij

.

L'equazione (2.34)puòessereutileperstudiarela ompetizionetrairolls e

glialtripatternregolari. Per

n = 2

avremo quadratiper

n = 3

esagoniet .., le fotodi al uni patternsono mostratiin gura (2.5).

Equazione di fase e difetti

topologi i

3.1 Equazione di fase per la RGL

In questo apitolo esporremo la teoria dell'equazione di fase e la sua

appli- azione al aso dell'equazione di Landau-Ginzburg reale. Molti dei risultati

esposti sono basatisull'esistenza della funzione diLyapunov, quindi non

so-no, in generale, estendibili alla CGL he, ome abbiamo visto prima, non

ammette una funzionedi tipopotenziale.

Per quanto riguarda la dinami a delle strutture nella CGL er heremo di

esporre qual he risultato nel ap 4., an he se dobbiamo sottolineare he le

sue dinami he sono molto omplesse.

3.2 Equazione di fase per sistemi isotropi

La RGLanisotropa (2.12)des riveladinami adiun pattern

I

s

attraversoil ampo omplesso

A

.

Tale dinami a può essere s omposta nella dinami a del modulo del ampo