Appunti di meccanica quantistica. 6. Stati, autostati ed autovalori. Equazione di Schrödinger.

(1)

6 . Stati, autostati ed autovalori. Equazione di Schrödinger.

6.1 Autovalori ed autostati di un operatore

Se si effettua, ad un istante fissato, una misura di una grandezza fisica con l’operatore Aˆ su uno stato ψ_a

( )

x ed il risultato della misura è sempre lo stesso numero reale a, lo stato ψa è detto autostato dell’operatore Aˆ . Il valore della misura dell’operatore ( Aˆ = a∈ℜ) sull’autostato ha sempre lo stesso valore e, quindi, la misura ha indeterminazione zero (∆Aˆ =0). In altre parole il risultato è certo e la varianza è nulla:

( )

^∆^A^ˆ ² ⁼

(

^A^ˆ⁻ ^A^ˆ

)

² ⁼⁰ ^(6.1)

Essendo lo scarto quadratico sempre positivo, affinché la somma sia nulla (l’indeterminazione si calcola con un integrale) è necessario che l’operatore “scarto”

(

^A^{ˆ −} ^A^ˆ

)

applicato allo stato ψa

( )

^x dia risultato nullo

(

^A^ˆ⁻ ^A^ˆ

)

^ψ^a

^{( )}

^x ⁼⁰^∀^x ^(6.2)

e quindi

( )

x a

( )

x

Aˆψ_a = ψ_a _(6.3)

L’equazione (6.3) è un’equazione lineare perché l’operatore è hermitiano. Le soluzioni sono le funzioni d’onda che rappresentano degli stati particolari per i quali l’applicazione dell’operatore non modifica lo stato (cioè gli autostati) ed il valore della misura dell’operatore è sempre il numero reale a. Gli stati che soddisfano la (6.3) sono chiamati anche

(2)

autofunzioni dell’operatore ed i risultati (numeri reali) della misura su ciascun autostato sono detti autovalori dell’operatore; è per questa ragione che l’equazione (6.3) è chiamata “equazione agli autovalori ed agli autostati”. Viceversa se una funzione d’onda soddisfa questa equazione è un’autofunzione dell’operatore e la misura dell’operatore su questo autostato è l’autovalore.

Esempio 1. Gli autovalori e le autofunzioni dell’operatore pˆ , una _x componente dell’impulso.

Vogliamo risolvere nello spazio delle coordinate l’equazione agli autovalori ed autofunzioni (sempre a ^t fissato):

( )

^x ^p

( )

^x

pˆ_xψ = _xψ (6.4)

cioè

( )

^p

( )

^x

x

i ψ x _xψ

∂ =

− h∂ (6.5)

dove p_x è l’autovalore e ψ

( )

x l’autofunzione. L’equazione differenziale (6.5) è risolta per qualunque valore di p_xe le autofunzioni corrispondenti sono

( )

x = Ae^ip^x^x^/^h

ψ (6.6)

dove A è una costante di normalizzazione. L’autofunzione descrive una particella di impulso definito (il cui vettore d’onda è uguale a

/h

x

x p

k = ) che si propaga lungo l’asse x. Si osservi che:

- tutti i valori reali dell’impulso sono permessi;

- ad ogni autovalore corrisponde una sola autofunzione.

(3)

Gli autovalori formano dunque uno spettro continuo (ogni autovalore è permesso) non degenere (ad ogni autovalore corrisponde una sola autofunzione).

Inoltre la densità di probabilità ψ * di trovare il sistema ψ quantistico ad impulso fissato è costante su tutto lo spazio.

La funzione può essere normalizzata in un intervallo

[

− ,^L+^L

]

e quindi A=1/ 2L, avendo supposto L molto maggiore della lunghezza d’onda della particella.

Un’altra scelta della costante di normalizzazione per le autofunzioni dell’impulso.

Si calcoli il prodotto scalare di due autofunzioni con impulso diverso e se ne prenda il limite L→∞:

( ) ( )

( )

⁽ ⁾

( )

(

( ) ( )

)

( )

[ ]

( )

[ ]

(

k k

)

L k A k

k k

L k A k

k k i

e A e

k k i e dy A

dx e

A x

x

L L

L k k i L k k L i

k k i

L k k i

L y

L

L x k k i L

k k

−

= −

−

= −

− =

= −

=

∞

∞ →

→

−

− − +

−

∞

→

∞

→

+

−

∞

→

∫

' ' 2 sin

' '

,

2lim 2

lim

' 2 '

'

lim 2

lim

' 2 lim '

π π π π

ψ ψ

(6.7)

La funzione

[ ( ) ]

(

^k ^k

)

L k k

L −

−

∞

→ '

' sin

lim 1

π diverge per L→∞e k'→k (

(

∆k→0

)

);

al contrario per k'≠ la funzione converge (in media) a zero per k

∞

→

L . Possiamo definire la funzione (più correttamente la

“distribuzione”) delta:

( ) [ ( ) ]

( )

∫

+

−

∞

→

∞

→ =

−

= −

−

L

L x k k i L

L e dx

k k

L k k k

k ^lim ^lim ^'

2 1 '

' sin ' 1

π

δ π (6.8)

(4)

In maniera un pò impropria (in questo senso, non è una “funzione”) si può affermare che la funzione δ(k’ - k) vale “infinito” per k’ = k e zero per ogni altro valore di k’. Dalla definizione segue anche la proprietà fondamentale della funzione δ:

( ) ( ) ( )

∫

+∞

∞

−

=

−k dk k

k

k δ ϕ

ϕ ' ' ' (6.9)

L’integrale della funzione delta in dk' è 1 se gli estremi di integrazione contengono il valore k:

(

'

)

' 1

k contiene se

=

∫

^δ ^k−^k ^dk ^(6.10)

Si osservi infatti che la funzione tende a L/π per k'→k, è zero per L

k

k'− =±π / e la sua area è uguale a quella di un triangolo di base /L

2π e altezza L/π cioè 1. Imponendo la condizione di normalizzazione

( ) ( )

(

ψ_k x,ψ_k_' x

)

=δ

(

k−k'

)

(6.11)

si ha A²2π =1 da cui A=1/ 2π e ψk

( )

x =1/ 2πe^ikx. Il prodotto scalare si può allora riscrivere nella forma:

( ) ( )

^+∞

∫

⁽ ⁾

∞

−

= −

−

= k k e dx

x

x _k ⁱ^k ^k ^x

k

'

' 2

' 1

,ψ δ π

ψ (6.12)

Il prodotto scalare è uguale a zero se k'≠k: il prodotto scalare di due autofunzioni con autovalori diversi dell’operatore “componente dell’impulso” è nullo, cioè le due autofunzioni sono ortonormali.

Con questa definizione è immediato verificare che il valore di aspettazione della componente dell’impulso, calcolato nei due spazi delle

(5)

coordinate e dei numeri d’onda, porta allo stesso risultato. Infatti nello spazio delle coordinate si ha

( )

⁼

∫ ( )

^_^⁻ _∂^∂ ^_^

( )

^x ^dx

i x x

p_xψ ψ ψ

ψ, ˆ * ^h (6.13)

Eseguendo le trasformate di Fourier e derivando si ottiene

(

^ψ^,^p^ˆ^x^ψ

)

⁼ ₂¹_π

∫∫∫

^ϕ^*

( )

^k^'^h^k^ϕ

( )

^k ^eⁱ⁽^k⁻^k^'⁾^x^dxdkdk^'

Quando k'→k si ha quindi, integrando in dx

( ) ( ) ( ) ( )

( )

^ϕ

( ) (

^ϕ ^ϕ

) ⁽

^ϕ ^ϕ

⁾

ϕ

δ ϕ ϕ

ψ ψ

x x

x

p k

dk k k k

dkdk k k k k k p

ˆ ˆ ,

,

*

' ' '

ˆ * ,

=

−

=

∫

∫∫

h h

h

(6.14)

dove si è fatto uso della relazione (6.9). Si osservi che il valor medio dell’impulso su un autostato dell’impulso è, come prevedibile:

( )

∫

+∞

∞

−

=

−

= k k k dk k

k h h

hˆ 'δ ' ' (6.15)

La funzione δ è definita anche nello spazio delle coordinate dalla relazione:

( )

^+∞

∫

⁽ ⁾

∞

−

= −

−x e dk

x ⁱ^x ^x⁰^k

2 1

0 π

δ . La funzione delta, con estremi di integrazione k = ± 200 ed x0 = 0, nello spazio delle coordinate è disegnata in figura 6.1.

6.2 Autovalori discreti, continui, degeneri e non degeneri Gli autovalori che soddisfano l’equazione (6.3) possono avere uno spettro discreto o continuo:

- lo spettro è discreto se gli autovalori formano un insieme numerabile (eventualmente infinito) di numeri reali non continui:

{

a₁,a₂,a₃,..

}

;

(6)

- lo spettro è continuo se gli autovalori formano un intervallo continuo (o più intervalli) (vedi dopo Esempio 2 ed Esempio 3).

Gli autovalori possono essere degeneri o non degeneri:

- un autovalore è non degenere quando a tale autovalore corrisponde un solo autostato (vedi Esempio 2);

- un autovalore è degenere quando a tale autovalore corrispondono più autostati fra loro ortonormali (vedi Esempio 3). Il grado di degenerazione è il numero g di autostati ortonormali che hanno quell’autovalore; in altre parole g è la dimensione del sottospazio degli autostati che hanno quell’autovalore.

Figura 6.1 Rappresentazione schematica della funzione δ.

Le autofunzioni che corrispondono ad autovalori diversi sono fra loro ortogonali, per cui il loro prodotto scalare è nullo:

(

ψa₁^,ψa₂

)

⁼⁰ (6.16a)

(7)

Se supponiamo che ψ_a₁ e ψ_a₂siano normalizzate possiamo generalizzare la (6.16a) nella forma:

(

,

)

⁽

o

⁽

1 2

⁾ ⁾

2 1 2

1 _a _a_a a a

a ψ =δ δ −

ψ (6.16b)

Esempio 2. Autovalori continui non degeneri. Ad ogni autovalore dell’operatore impulso dell’esempio 1 corrisponde una sola autofunzione:

( )

^/^h

ˆ_x x Ae^ip^x^x

p →ψ = (6.17)

Le autofunzioni che corrispondono ad autovalori diversi sono fra loro ortonormali (perpendicolari ed a norma 1).

Esempio 3. Autovalori continui degeneri. Determiniamo gli autovalori e le autofunzioni (al tempo t fissato) dell’operatore ₂

2 2

ˆ2

p_x x

∂

− ∂

= h .

Scriviamo l’equazione agli autovalori ed autofunzioni:

( )

p

( )

x x

x

x x

x p p

2

2 2

2 ψ ψ

∂ =

− h ∂ (6.18)

dove p_x² ≥0 è il valore dell’impulso al quadrato. La soluzione dell’equazione differenziale è la funzione _p²

( )

^ip^x^x^/^h ^ip^x^x^/^h

x

Be Ae

x = ⁺ + ⁻

ψ

con autovalore p²_x. L’autofunzione è la sovrapposizione di due onde monocromatiche di De Broglie, una progressiva e l’altra regressiva, con impulsi opposti +p_x e −p_x e fra loro ortonormali. L’autovalore quindi è degenere con degenerazione g =2 e l’autostato con un certo autovalore è la combinazione dei due autostati dell’impulso con vettori d’onda opposti.

(8)

Si osservi che dividendo per 2m si ottiene l’energia cinetica e, quindi, m

p_x²/2 è l’autovalore dell’operatore “energia della particella libera” in moto in un potenziale costante (scelto per semplicità nullo), con autofunzione _p _m

( )

^x

x/2

ψ 2 .

6.3 Autofunzioni di autovalori discreti e rappresentazione di uno stato.

Si supponga di aver risolto, ad un certo istante, l’equazione agli autovalori ed agli autostati per un certo operatore Aˆ . Consideriamo solo il caso in cui gli N autovalori trovati formino uno spettro discreto non degenere a cui corrispondono N autostati ortonormali (se gli autovalori sono degeneri gli autostati che corrispondono agli N autovalori sono in numero M > N):

{

ψ₁,ψ₂,ψ₃,...ψN

}

Uno stato qualunque (in generale, non autostato dell’operatore Aˆ ) può essere descritto attraverso una combinazione lineare delle autofunzioni dell’operatore Aˆ , cioè:

∑

=

i i

ciψ

ψ (6.19)

dove i c_i sono opportuni coefficienti complessi. Le autofunzioni ψi

formano un sistema completo di funzioni, tramite le quali si può rappresentare uno stato qualunque. Questo procedimento è analogo a proiettare un vettore sugli assi coordinati: i tre versori

(

^iˆ^,^jˆ^,^kˆ

)

formano un sistema completo (ovvero una base ortonormale) nello spazio ℜ , per cui ³

(9)

qualunque vettore tridimensionale può essere rappresentato come una somma di tre componenti, una su ciascuno dei tre assi.

La relazione può essere estesa al caso di spettri di autovalori continui e degeneri; l’estensione a questo caso più complesso non verrà trattata (si ricordi però che una particella è descritta da un pacchetto d’onde).

Il significato dei coefficienti c_i diviene chiaro se osserviamo che - la funzione d’onda dello stato deve essere normalizzata ad 1:

(

,

)

^* ² 1

*

=

 =



 



=

∫



∑ ∑ ∑

i i

∑

i

i i i i

i

i c dx cc c

cψ ψ

ψ

ψ (6.20)

La somma dei moduli quadri dei coefficienti deve quindi essere uguale ad 1;

- il valore c_i del coefficiente complesso i-esimo si ottiene eseguendo il prodotto scalare fra l’autofunzione i-esima e lo stato ψ:

( )

_ij _i

j j j

i

j j

j i

i ^ψ =

∫

^ψ

∑

c^ψ dx=

∑

c

∫

^ψ ^ψ dx=

∑

c ^δ =c

ψ , * * (6.21)

Il coefficiente complesso c_i è quindi la proiezione dello stato generico ψ sull’autostato i-esimo (esattamente come il prodotto scalare x⋅rr =x

ˆ fornisce la componente del vettore posizione rr

sull’asse xˆ );

- ricordando che il valore medio dell’operatore Aˆ sull’autostato i-esimo è il valore dell’autovalore

(

ψi,A^ˆψi

)

=ai, si ricava che il valor medio dell’operatore su uno stato qualunque, cioè il prodotto scalare

(

^ψ^,^Aˆ^ψ

)

, è uguale a

( ) _∫ ∑ ∑

^ ⁼

∑

⁼

∑



 















=  _i _i _i _i _i

i i i j

j

j A c dx cc a c a

c

A ^* ²

*

ˆ

, ˆψ ψ ψ

ψ (6.22)

(10)

Il modulo quadro c_i²del coefficiente complesso i-esimo è la probabilità che la misura effettuata con l’operatore Aˆ sullo stato ψ dia come risultato l’autovalore a_i e che lo stato finale sia proprio ψ_i. Il valor medio dell’operatore sullo stato è la somma degli autovalori “pesati” con il modulo quadro dei coefficienti con i quali lo stato è rappresentato in funzione della base di autostati

{

ψ₁,ψ₂,ψ₃,...ψN

}

. In altre parole c_i ² è la probabilità di misurare con l’operatore Aˆ l’autovalore a_i.

Si osservi che la funzione d’onda di una particella libera può essere descritta in termini delle autofunzioni (sviluppo di Fourier). Vedremo poi che gli autostati dell’operatore hamiltoniano (con autovalori discreti e non degeneri) di una buca di potenziale a pareti infinite formano una base con la quale si può descrivere uno stato qualunque della particella nella buca e che uno stato qualunque di un atomo si esprime come combinazione degli autostati dell’operatore hermitiano “energia totale”.

Teorema importante. Due (o più) operatori hermitiani che commutano hanno un insieme completo di autostati simultanei.

È possibile quindi trovare un insieme completo di autostati in modo che un autostato di un operatore sia anche autostato dell’altro operatore. È vero anche il viceversa: se due operatori hanno un insieme completo di autostati in comune, commutano fra loro.

Dim: se due operatori hanno un insieme completo di autostati in comune, commutano.

(11)

Sia

{ }

ψi l’insieme completo di autostati in comune fra gli operatori Aˆ e Bˆ e siano a_i e b_i gli autovalori. Allora

(

i i

) (

i

)

i

i i

i i i i i i i i i i i

A B A

B a

B B

a

b a a

b A b b A B

A

ψ ψ

ψ

ˆˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

=

perché gli autovalori sono reali; quindi gli operatori commutano:

[ ]

^A^ˆ^,^B^ˆ ⁼^0ˆ^.

Dim: se due operatori commutano, hanno un insieme completo di autostati in comune.

(Caso semplice di autovalori non degeneri) Siano

{ }

ψi gli autostati dell’operatore Aˆ e sia

[ ]

^A^ˆ^,^B^ˆ ⁼^0ˆ^{. Allora} Aˆψi =aiψi; applicando l’operatore Bˆ su A^ˆψ_i otteniamo

(

A i

)

Bai i aiB i A

(

B i

)

B^ˆ ^ˆψ = ^ˆ ψ = ^ˆψ = ^ˆ ^ˆψ

dove l’ultimo passaggio nasce dalla commutatività fra Aˆ e Bˆ . Lo stato Bˆψi è quindi anch’esso autostato di Aˆ con autovalore a_i, per cui deve essere un multiplo di ψ_i; pertantoBˆψ_i =b_iψ_i e lo stato ψ_i è anche autostato di Bˆ . Gli autostati

{ }

ψi sono dunque in comune e si può scrivere

(

A i

)

Bai i aiB i A

(

B i

)

aibi biai i

Bˆ ˆψ = ˆ ψ = ˆψ = ˆ ˆψ = ψ = ψ _(6.23)

6.4 La dipendenza dal tempo di uno stato. L’equazione di Schrödinger.

All’energia totale

(12)

( ) ( ) ( )

U

(

x y z

)

m r p U p E p r

H _cin _pot , ,

, 2

2

+

= +

= r r

r

r (6.24)

di una particella “classica”, detta anche l’Hamiltoniana della particella (consideriamo solo i casi in cui l’energia potenziale dipende solo dal vettore posizione e non dipende dal tempo), è associato un operatore quantistico hermitiano che si ottiene sostituendo gli operatori ˆp ed ²

(

^x ^y ^z

)

Uˆ ˆ,ˆ,ˆ . Nello spazio delle coordinate l’operatore si scrive come:

(

x y z

)

m U

H , ,

ˆ ≡−2h² ∇²+

(6.25) Nell’Esempio 3 abbiamo già risolto l’equazione agli autovalori e le autofunzioni (fissato il tempo) per l’energia cinetica della “particella libera”. Abbiamo cioè determinato gli autovalori e le autofunzioni dell’operatore hamiltoniano per una particella libera che si muove in un potenziale costante (scelto per semplicità U = 0).

Supponiamo ora che sia stata risolta, ad un tempo fissato t0, l’equazione agli autovalori e autostati per l’operatore hamiltoniano

( ) (

₀

) (

₀

)

2 2

..., ...,

,

2 U x,y z t E t

m ψⁱ = ⁱψⁱ







− h ∇ +

(6.26)

che, al tempo t0, gli autovalori E_i siano discreti e non degeneri e che

(

...,t₀

)

ψi siano le corrispondenti autofunzioni. Ci chiediamo quale sarà l’evoluzione temporale dell’autostato e quale sia l’operazione necessaria per determinarla.

Si osservi che, se il sistema è conservativo, in qualunque istante il valore dell’energia totale dell’autostato deve rimanere costante ed uguale all’autovalore. Se l’intervallo dt è sufficientemente piccolo e se è nota

(13)

l’evoluzione temporale, lo stato ψi

(

...,^t₀+^dt

)

è uguale allo sviluppo in serie al primo ordine nella variabile tempo, cioè:

( ) ( ) ( )

t dt t t

dt t

t i i

i

0

..., ...,

..., ₀ ₀

∂ +∂

=

+ ψ

ψ

ψ (6.27)

L’evoluzione temporale della funzione d’onda è dunque legata alla sua derivata parziale ∂ /∂t rispetto al tempo.

Esempio: L’onda di De Broglie per una particella libera di impulso k r, al tempo t è

(

....,t

)

=Aeⁱ⁽^k^r^⋅^r^r⁻^ω^t⁾=Aeⁱ⁽^r^p^⋅^r^r⁻^Et⁾^/^h

ψ (6.28)

con E= p²/2m. Derivando rispetto al tempo otteniamo

( )

iE

(

t

)

tψ ....,t ψ ....,

− h

∂ =

∂ (6.29)

che si può scrivere come l’equazione agli autovalori ed autovettori

(

t

)

E

(

t

)

i tψ ...., = ψ ....,

∂

h ∂ (6.30)

L’operatore i t

∂

h ∂ è l’operatore che determina l’evoluzione temporale

della funzione d’onda ed agisce soltanto sulla parte che dipende esplicitamente dal tempo, senza modificare la dipendenza spaziale della funzione; l’energia E è l’autovalore dell’operatore temporale. Si osservi che le dipendenze dal tempo e dallo spazio fattorizzano. La funzione d’onda della particella libera di impulso definito può essere infatti scritta come:

(

t

)

Aeⁱ^p^r^r^r _he ^iEt _h f

( ) ( )

rr g t

=

= ^⋅ ^/ ⁻ ^/ ....,

ψ (6.31)

(14)

La proprietà che abbiamo illustrato con un esempio si estende alle autofunzioni di qualunque operatore hamiltoniano: la dipendenza spaziale e la dipendenza temporale di un’autofunzione dell’operatore hamiltoniano fattorizzano.

Ad ogni istante la misura dell’operatore temporale sull’autofunzione è l’autovalore Ei, cioè l’energia totale. Inoltre Ei è l’autovalore dell’operatore

i t

∂

h ∂ e rimane in un istante qualunque sempre autovalore

dell’operatore hamiltoniano. La parte temporale dell’autofunzione evolve nel tempo restando autofunzione dell’operatore temporale con autovalore Ei.

L’equazione agli autovalori ed agli autostati dell’operatore temporale è risolta, a meno di una funzione complessa delle coordinate spaziali, dalla funzione

(

t t₀

)

e ^iE⁽^t ^t⁰⁾^/^h

g − ∝ ⁻ ⁻ (6.32)

Lo stato che evolve nel tempo e che al tempo t0 è autostato dell’energia si scrive allora come il prodotto di due funzioni: una che dipende dalle variabili spaziali (che non cambiano nel tempo) e la funzione g

(

t−t₀

)

che determina l’evoluzione temporale:

(

....,

)

_i

(

...., ₀

) (

₀

)

_i

(

...., ₀

)

^iE⁽^t ^t⁰⁾^/^h

i t =ψ t g t−t =ψ t e⁻ ⁻

ψ (6.33)

Si osservi che l’evoluzione temporale, almeno per un autostato, è semplicemente una moltiplicazione per un numero complesso e quindi non cambia lo stato. Quindi se lo stato ad un certo istante t0 (possiamo scegliere per semplicità t0 = 0) è un autostato dell’energia, continua nel tempo a rimanere autostato dell’energia con lo stesso autovalore:

(15)

(

^x ^y ^z

) (

^t

)

^E

(

^t

)

m U , , ⁱ ...., ⁱ ⁱ ...., 2

2 2

ψ

ψ =







− h ∇ +

(6.34)

Si noti che l’evoluzione temporale dipende dal valore Ei dell’autovalore.

Il prodotto delle due funzioni (temporale e spaziale) soddisfa nello stesso tempo due equazioni agli autovalori: 1) l’equazione dell’energia e 2) l’equazione dell’evoluzione temporale con lo stesso autovalore. Queste due equazioni possono essere combinate, per il momento solo per le autofunzioni, in un’unica equazione, l’equazione di Schrödinger per le autofunzioni:

( ) ( ) ( ) (

t

)

i t t E

t z

y x

m U , , ⁱ ...., ⁱ ⁱ ...., ⁱ ...., 2

2 2

ψ ψ

ψ ∂

= ∂

 =







− h ∇ + h

(6.35) valida in un istante qualunque.

Inoltre, poiché in un istante qualunque uno stato può essere scritto come combinazione lineare degli autostati :

(

^....,

)

⁼

∑

i i

(

^....,

)

⁼

∑

i i

(

^...., ⁼⁰

)

⁻^iE^t^/^h

e i

t c

t ψ ψ

ψ (6.36)

per i quali la dipendenza spaziale è stata determinata all’istante t0 (scelto

= 0 per semplicità), l’equazione di Schrödinger risulta sempre soddisfatta, in un istante qualunque e per uno stato qualunque, anche se questo non è autostato dell’operatore hamiltoniano

( ) ( ) (

t

)

i t t z

y x

m U , , ...., ....,

2

2 2

ψ

ψ ∂

= ∂







− h ∇ + h

(6.37) La verifica è immediata considerando che gli operatori hamiltoniano e

i t

∂

h ∂ sono lineari e che la loro applicazione alla funzione estrae per ogni

autofunzione della combinazione lineare lo stesso autovalore.

(16)

Concludiamo osservando che il valor medio dell’energia totale su uno stato qualunque (anche non autostato) è costante nel tempo; infatti

( ) ( )

( ) ( ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ )

∑

⁼

=

i

i E E

c

t H t t

H t H

2

0 0

ˆ ..., , ..., ˆ ...,

,

ˆ ψ ..., ψ ψ ψ

(6.38)

che è costante nel tempo.

Se siamo capaci di determinare, ad un certo istante, le autofunzioni e gli autovalori dell’operatore hamiltoniano e, quindi, di descrivere, in quell’istante, uno stato qualunque, siamo anche capaci di determinare le autofunzioni e lo stato in qualunque altro istante. Inoltre il valor medio dell’energia su questo stato non cambia nel tempo.

Si noti inoltre che la densità di probabilità

(

t

) (

_i t

)

i ...., ....,

* ψ

ψ di un

autostato rimane costante nel tempo

( ) ( )

(

..., 0

) (

..., 0

)

0 ..., 0

...,

*

/ /

*

=

= ⁻

t t

e t e

t

i i

iEt i

iEt i i

i

ψ ψ

ψ

ψ ^h ^h

(6.39)

mentre, come viene mostrato nell’esempio che segue, se lo stato non è autostato la densità di probabilità dipende dal tempo.

Esempio. Si consideri uno stato sovrapposizione di due autostati

( )

₂ ₂

( )

₁ ₁

( )

^/^h ₂ ₂

( )

^/^h

1

1 ...,t c ...,t c ...,t 0e ^iE¹^t c ...,t 0e ^iE²^t

c + = = ⁻ + = ⁻

= ψ ψ ψ ψ

ψ

Calcoliamo la densità di probabilità al variare del tempo, indicando per semplicità di notazione ψ₁

(

t =⁰

)

con ψ₁ e ψ₂

(

t=⁰

)

con ψ₂:

( )

{

^* ^*

}

Re 2

*

2 1 / 2

1 2

2 2 2 1 1

/ 2

2 1 1

/ 2

2 1 1 2 2 2 2 1 1 2

1 2 1

2

1 2

ψ ψ ψ

ψ ψ

h h

h

t E E i t

E E i

t E E i

e c c c

c

e c

c

e c c

c c

− +

−

+ +

=

= +

+ +

+

=

(17)

I termini misti che rappresentano l’interferenza delle due autofunzioni (la loro somma è un numero reale) oscillano in funzione del tempo con frequenza ω = E₂−E₁ /h e, quindi, anche la densità di probabilità dipende dal tempo.

Durante il moto di una particella descritta da un pacchetto d’onda, la densità di probabilità cambia a causa del fenomeno dell’interferenza (e quindi del cambiamento della fase relativa) delle onde che compongono il pacchetto. Nel caso di una particella libera la dipendenza dal tempo per ogni onda che compone il pacchetto è determinata dalla funzione

m t k

e⁻i^h ²^/² .

Concludiamo notando una conseguenza importante del teorema che mette in relazione la commutatività fra due operatori con l’esistenza di un sistema completo di autovettori comuni. Consideriamo il caso di un operatore Aˆ che commuta con l’hamiltoniana Hˆ :

[

^A^ˆ^,^H^ˆ

]

⁼⁰^{e sia}ψi il sistema degli autovettori comuni, per cui Aˆψ_i =a_iψ_i_e

i i

i E

Hˆψ = ψ _. Poiché gli autostati di Hˆ sono stazionari ed il risultato della misura di Aˆ su ψ_i è sempre a_i, il valore della misura di Aˆ sul sistema degli ψ_i è costante nel tempo; pertanto la misura di Aˆ dà sempre lo stesso valore e quindi, nel linguaggio della meccanica classica, Aˆ è una “costante del moto”. In altre parole, le costanti del moto in meccanica quantistica sono gli operatori che commutano con Hˆ .