Esercizi di Meccanica Razionale - Parte II
1. Due aste materiali p esanti omogenee AK e KB, di ugual lunghezza l e masse m
ed M risp ettivamente, sono saldate in K in mo do da costituire un'unica asta non
omogenea di lunghezza 2l . Il punto medio K e' vincolato a scorrere senza attrito
lungouna circonferenzadi raggioRp ostasuunpianoverticale el'astaAB e'lib era
di ruotare nel piano verticale attorno a K. Ai due vertici A e B dell'asta sono
applicate due molle di uguale costanteelastica k>0 ecentri i punti C( R;0)e
D(R;0).
Si chiede:
(a) determinare ilnumero di gradi di lib erta' del sistema e scegliere le co ordinate
lagrangiane;
(b) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(c) determinare lep osizioni di equilibrio;
(d) studiare lastabilita'delle p osizioni di equilibrio trovate;
2. Una lamina materiale p esante omogenea di massa m e' costituita da un quadrato
ABCDdi raggiol . LalaminasimuovesulpianoorizzontaleO (x;y),conilcentrodi
massavincolato ascorreresenzaattritosulla rettadi equazione y=b=2. La lamina
stessa puo' inoltre ruotare attorno al centro di massa. Ai due vertici A e C della
lamina sono applicate due molle di uguale costante elastica k > 0 e centri i punti
M (0;b)ed N (a;0).
lagrangiane;
(b) scriverel'energia cinetica delsistema;
(c) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(d) determinare lep osizioni di equilibrio;
(e) studiare lastabilita'delle p osizioni di equilibrio trovate;
(f) calcolarelafrequenzadellepiccole oscillazioni attornoallap osizione di equilib-
rio stabile.
3. Una lamina materiale p esante omogenea di massa m e' costituita da un quadrato
ABCDdi raggiol . LalaminasimuovesulpianoorizzontaleO (x;y),conilcentrodi
massavincolato ascorreresenzaattritosulla rettadi equazione y=b=2. La lamina
stessa puo' inoltre ruotare attorno al centro di massa. Ai due vertici A e C della
lamina sono applicate due molle di uguale costante elastica k > 0 e centri i punti
M (0;b)ed N (a;0).
Si chiede:
(a) determinare ilnumero di gradi di lib erta' del sistema e scegliere le co ordinate
(c) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(d) scriverele equazioni di Lagrange;
(e) studiare il motodel centrodi massa;
(f) determinare due integrali primi del motoutilizzando le equazioni di Lagrange
trovate.
4. Un'asta materiale p esante omogenea O B di massa m e lunghezza l si muove nel
pianoverticale O (x;y),lib eradi ruotareattornoalsuoestremoOchee' sso. Oltre
allaforzadigravita',l'astae'sottop ostaall'azionediunaforzaF=(F=l )
^
k(B O )
applicata all'estremo B,con F >0 costantee
^
k ilversoredell'asse z.
Si chiede:
(a) determinare ilnumero di gradi di lib erta' del sistema e scegliere le co ordinate
lagrangiane;
(b) scriverel'energia cinetica delsistema;
(c) scriverele forzegeneralizzate lagrangiane;
(d) determinare lep osizioni di equilibrio;
(e) studiare lastabilita'delle p osizioni di equilibrio trovate;
(f) calcolarelafrequenzadellepiccole oscillazioni attornoallap osizione di equilib-
rio stabile.
5. Un'asta materiale p esante omogenea O A di massa M e lunghezza L si muove nel
pianoverticale O (x;y),lib eradi ruotareattornoalsuoestremoOchee' sso. Oltre
alla forzadi gravita',l'astae'sottop ostaall'azionedi una molladi costanteelastica
k>0ecentroilpuntoB,situatosull'asseorizzontalepassantep erOadistanzaLda
Oedadestradiesso. Il puntomedio dell'astafungeinoltre dapuntodisosp ensione
di un p endolo matematico costituito da un lo di lunghezza l ed un punto P di
massa m.
lagrangiane;
(b) scriverel'energia cinetica delsistema;
(c) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(d) determinare lep osizioni di equilibrio;
(e) studiare lastabilita'delle p osizioni di equilibrio trovate;
(f) calcolarelafrequenzadellepiccole oscillazioni attornoallap osizione di equilib-
rio stabile.
6. Un punto materiale si muove sul piano z = 0 sotto l'azione di un camp o di forze
conservativo ilcui p otenzialee'
U(x;y)= x 2
y 2
2 (x
4
y 4
+2x 2
y 2
);
dove e' un parametro reale. Determinare tutte le con gurazioni di equilibrio e
discuterne la stabilita'alvariaredi in R.
7. In un piano verticale O xy si consideri un sistema materiale p esante, costituito da
due puntidiugualmassam,P scorrevolesuO xeQscorrevolesu unacirconferenza
ssa di centro C = (0; 2R) e raggio R. Due molle di ugual costante elastica k
collegano il punto P risp ettivamente con l'origine O e con il punto Q. Sia inoltre
=mg=k R.
Si chiede:
(a) determinare ilnumero di gradi di lib erta' del sistema e scegliere le co ordinate
lagrangiane;
(b) scriverel'energia cinetica delsistema;
(c) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(f) calcolarelafrequenzadellepiccoleoscillazioniattornoadunap osizione diequi-
librio stabile.
8. InunpianoverticaleO xysiconsideriunp endolomatematico,costituitodaunpunto
P di massa m, sosp esomediante un lo essibile inestensibile di lunghezza l ad un
puntoQ appartenente alla retta del II e IV quadrante, passante p er l'origine e di
angolo con l'asse delle x. Unamolladi costanteelastica kcollega il punto Q con
l'origine O .
Si chiede:
(a) determinare ilnumero di gradi di lib erta' del sistema e scegliere le co ordinate
lagrangiane;
(d) scriverele equazioni di Lagrange;
(e) determinare lep osizioni di equilibrio;
(f) studiare lastabilita'delle p osizioni di equilibrio trovate.
9. Si consideri una lamina forata di massa M, costituita da un quadrato ABCD di
centro O e lato 2R, privato di un cerchio di centro O e raggio R. Sui punti medi
M,N,H,K deilati delquadratosiano inoltre saldatep er unestremoquattroaste
uguali,di massamelunghezza lciascuna, disp ostep erp endicolarmenteallalamina.
Calcolare tuttiglielementidellamatriced'inerzia nelsistemadi riferimentosolidale
O (x;y;z),con gli assix ed y come in gurae l'asse z p erp endicolare al pianodella
raggioRe situata nelsemipianoy<0. Dueaste CDe EF,di lunghezza le massa
m, hannogli estremivincolati a muoversisulla semicirconferenzaAB. Tre molledi
costanteelastica k >0 collegano C con A, D con E ed F con B lungo i risp ettivi
archi di circonferenza.
(a) Determinareilnumerodeigradidilib erta'escegliereleco ordinatelagrangiane;
(b) scriverel'energia cinetica delsistema;
(c) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(d) determinare lecon gurazioni di equilibrio e studiarne lastabilita';
(e) calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni attorno alla con gurazione di
equilibrio stabile.
11. Un cerchio p esanteomogeneo di centro C, raggioRe massa M si muovenel piano
verticale O (x;y), con il punto A del b ordo vincolato a scorrere lungo l'asse O x
(orizzontale) ed il cerchio stesso lib ero di ruotare attorno ad A. Oltre alla forza
gravitazionale, il cerchio e' sottop osto all'azione di una molla, di costante elastica
k>0,che collegail centro C con l'origine O . Sia, inoltre,
= Mg
k R :
(a) Determinareilnumerodeigradidilib erta'escegliereleco ordinatelagrangiane;
(b) scriverel'energia cinetica delsistema;
(c) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(d) determinare lecon gurazioni di equilibrio e studiarne lastabilita', discutendo
i risultati alvariare di ;
(e) calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni attorno alla con gurazione di
nelpianoverticaleO (x;y). Larettarruotaattornoall'origineconvelo cita'angolare
costante!. Oltre alla forza di gravita', sul punto P agiscono due molle, di ugual
costanteelastica k>0e centri i punti A(0;a) eB(a;0),con a>0. Posto
!
0
= s
k
m
;
sichiede:
(a) determinareilnumerodeigradi dilib erta'escegliereleco ordinatelagrangiane;
(b) scriverel'energia cinetica delsistema;
(c) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(d) scriverele equazioni di Lagrange;
(e) studiare il moto del punto P p er valori generici dei parametri; considerare,
quindi, separatamenteil caso!
0
=!=
p
2 e descrivere qualitativamente il caso
! =!.
nel piano orizzontale O (x;y). La circonferenza ha centro nell'origine e raggio R
dip endente dal temp o secondo la legge esp onenziale R(t) = e t
, con reale. Sul
puntoP agisconoduemolle,diugualcostanteelasticak>0,centriipuntiA(0;R(t))
eB(R(t);0),edispiegantisilungoirisp ettiviarchidi circonferenzaAP eBP. Posto
! = s
k
m
;
sichiede:
(a) determinareilnumerodeigradi dilib erta'escegliereleco ordinatelagrangiane;
(b) scriverel'energia cinetica delsistema;
(c) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(d) scriverele equazioni di Lagrange;
(e) studiare il moto del punto P p er valori generici dei parametri; considerare,
quindi, separatamentei casi jj>
p
2! e jj<
p
2! ed i casi >0e <0.
14. Un manubrio si puo'schematizzare come un corp o rigido costituito da un'asta AB
dilunghezza le massam alleestremita' della qualesono saldatidue cerchi diraggio
R e massa M, p erp endicolari all'asta e con i centri in corrisp ondenza degli estremi
A e B dell'asta stessa.
Calcolare tuttigli elementi della matriced'inerzia nel sistemadi riferimento
solidale O (x;y;z), avente l'origine O nel centro di massa dell'asta e l'asse y lungo
l'asta stessa. Applicando opp ortunamente il teorema di Huygens, si calcoli quindi
la matrice d'inerzia risp etto ad un sistema solidale O 0
(x 0
;y 0
;z 0
) avente l'origine O 0
guida orizzontale. Un p endolo matematico di lunghezza l emassa m ha ilpuntodi
sosp ensione in B.
(a) Determinareilnumerodeigradidilib erta'escegliereleco ordinatelagrangiane;
(b) scriverel'energia cinetica delsistema;
(c) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(d) determinare le con gurazioni di equilibrio e studiarne la stabilita', tenendo
contodelle limitazioni geometriche delsistema;
(e) calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni attorno alla con gurazione di
equilibrio stabile.
16. Un corp o rigido di massa M e' costituito da un contorno semicircolare p esante di
raggio R e da un'asta diametrale AB. Il contorno rotola senza strisciare su una
guida orizzontale. Un p endolo matematico di lunghezza l emassa m ha ilpuntodi
(b) scriverel'energia cinetica delsistema;
(c) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(d) determinare le con gurazioni di equilibrio e studiarne la stabilita', tenendo
contodelle limitazioni geometriche delsistema;
(e) calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni attorno alla con gurazione di
equilibrio stabile.
17. Unalaminatriangolarep esanteABCdimassaM,baseBC=2aedaltezzaAH =h
simuovein unpiano verticale O (x;y). La laminapuo'ruotare attornoalverticeA,
il quale e' a suavoltavincolato a scorrere senza attritosull'asse x. Oltre alla forza
p eso, sulla lamina agiscono due molle di centro l'origine O ed applicate in A e nel
centro di massa P
0
, di costanti elastiche risp ettivamente k
1 e k
2
. Si intro ducano i
parametri adimensionali
= k
2 h
Mg
= k
1 +k
2
k
2
Scegliendo come co ordinate Lagrangiane s e , dove se' l'ascissadi A e l'angolo
che l'altezzaAH formacon laverticale,si chiede:
(a) Scriverel'energia cineticadel sistema;
(b) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(c) determinare le con gurazioni di equilibrio e studiarne la stabilita' in funzione
dei parametrie intro dotti sopra;
(d) calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni attorno alla con gurazione di
simuovein unpiano verticale O (x;y). La laminapuo'ruotare attornoalverticeA,
il quale e' a suavoltavincolato a scorrere senza attritosull'asse x. Oltre alla forza
p eso, sulla lamina agiscono due molle di centro l'origine O ed applicate in A e nel
centro di massa P
0
, di costanti elastiche risp ettivamente k
1 e k
2
. Scegliendo come
co ordinate Lagrangiane se , dove se' l'ascissadi A e l'angolo che l'altezza AH
formacon laverticale,si chiede:
(a) Scriverel'energia cineticadel sistema;
(b) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(c) scriverele equazioni di Lagrange(di seconda sp ecie);
(d) stabilire sottoquali condizioni sonop ossibili moti con (t)0.
19. Unalaminatriangolarep esanteABCdimassaM,baseBC=2aedaltezzaAH =h
simuovein unpiano verticale O (x;y). La laminapuo'ruotare attornoalverticeA,
il quale e' a suavoltavincolato a scorrere senza attritosull'asse x. Oltre alla forza
p eso, sulla lamina agiscono due molle di centro l'origine O ed applicate in A e nel
centro di massa P , di costanti elastiche risp ettivamente k e k . Scegliendo come
formacon laverticale,si chiede:
(a) Calcolare la matrice d'inerzia della lamina risp etto ad un sistema solidale or-
togonale antiorarioO 0
(x 0
;y 0
;z 0
) aventel'origine O 0
coincidente con A,l'asse z 0
p erp endicolare alpiano della gurae l'asse x 0
lungo labisettrice AH;
(b) scriverel'energia cinetica delsistema utilizzando solo ilteoremadi Koniged il
teoremaHuyghens combinati con i risultati del puntoprecedente;
(c) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(d) scriverele equazioni di Lagrange(di seconda sp ecie).
20. Unalaminatriangolarep esanteABCdimassaM,baseBC=2aedaltezzaAH =h
simuovein unpiano verticale O (x;y). La laminapuo'ruotare attornoalverticeA,
il quale e' a suavoltavincolato a scorrere senza attritosull'asse x. Oltre alla forza
p eso, sulla lamina agiscono due molle di centro l'origine O ed applicate in A e nel
centro di massa P
0
, di costanti elastiche risp ettivamente k
1 e k
2
. Si intro ducano i
parametri adimensionali
= k
2 h
Mg
= k
1 +k
2
k
2
Scegliendo come co ordinate Lagrangiane s e , dove se' l'ascissadi A e l'angolo
che l'altezzaAH formacon laverticale,si chiede:
(a) Calcolare la matrice d'inerzia della lamina risp etto ad un sistema solidale or-
togonale antiorarioO 0
(x 0
;y 0
;z 0
) aventel'origine O 0
coincidente con A,l'asse z 0
p erp endicolare alpiano della gurae l'asse x 0
lungo labisettrice AH;
(b) scriverel'energia cinetica delsistema utilizzando solo ilteoremadi Koniged il
teoremaHuyghens combinati con i risultati del puntoprecedente;
(c) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(d) determinare le con gurazioni di equilibrio e studiarne la stabilita' in funzione
un piano verticale O (x;y). SiaA il puntomedio deldiametro BC. La lamina puo'
ruotare attornoalpunto A,il quale e'a suavolta vincolatoa scorreresenza attrito
sull'asse x. Oltre alla forzap eso, sulla laminaagiscono due molledi centro l'origine
O ed applicate in A e nel centro di massa P
0
, di costanti elastiche risp ettivamente
k
1 ek
2
. Scegliendo come co ordinate Lagrangiane s e , dove se' l'ascissadi A e
l'angolo che larettaAP
0
formacon laverticale, si chiede:
(a) Calcolare la matrice d'inerzia della lamina risp etto ad un sistema solidale or-
togonale antiorarioO 0
(x 0
;y 0
;z 0
) aventel'origine O 0
coincidente con A,l'asse z 0
p erp endicolare alpiano della gurae l'asse x 0
lungo ildiametroBC;
(b) calcolareleco ordinatedelbaricentroP
0
nelsistemaO 0
(x 0
;y 0
;z 0
) de nitosopra;
(c) scriverel'energia cinetica delsistema utilizzando solo ilteoremadi Koniged il
teoremaHuyghens combinati con i risultati del puntoprecedente;
(d) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(e) determinare lecon gurazioni di equilibrio e studiarne lastabilita'.
1 2
C
3
=( R; R)e C
4
=(R; R). Si chiede:
(a) Calcolarelamatriced'inerzia dellalaminarisp ettoalsistemasolidale O (x;y;z)
aventel'asse z p erp endicolare alpiano della gura;
(b) scrivere l'energia cinetica del sistema supp onendo che la lamina ruotiattorno
alpuntoC
2
convelo cita'angolare costante
!
! =!
^
i+
^
j
p
2
.
23. Un'astamaterialep esanteO B,dimassaM elunghezzale'lib eradiruotareattorno
alsuoestremoOnelpiano orizzontaleO (x;y). Siarlarettasullaquale giace l'asta
(quindi r ruota con l'asta). Su r e' lib ero di scorrere senza attrito un punto P di
massam,ilqualee'sottop ostoallaforzadiunamolladi costanteelasticakecentro
il punto A =(l ;0). Scelte come co ordinate lagrangiane l'angolo che l'asta forma
(b) scriverel'energia cinetica delsistema;
(c) determinare lecon gurazioni di equilibrio e studiarne lastabilita';
(d) calcolarelafrequenzadellepiccole oscillazioni attornoallap osizione di equilib-
rio stabile.
24. Una lamina materiale p esante di massa M e'costituita da un cerchio omogeneodi
raggio R e centro C privato di un settoreAB di angolo =2(cio e' di un quartodi
cerchio-vedi gura). LalaminasimuovenelpianoorizzontaleO (x;y),conilcentro
C vincolato a scorreresenza attritosull'asse x. Sulla lamina agiscono due molledi
costantielastiche k
1 ek
2
,di centrol'origine Oed applicate risp ettivamente in A ed
in B. Utilizzando come co ordinate lagrangiane la distanza s di C da O ,e l'angolo
' che CB formacon l'asse O x misurato in senso orario a partire dall'asse O x, si
chiede:
(a) Calcolare gli elementi della matrice d'inerzia in un sistema di riferimento sol-
idale C(x
1
;x
2;
x
3
) con l'origine in C, gli assi x
1 ed x
2
diretti risp ettivamente
come CB eCA e l'assex
3
p erp endicolare al pianodella gura;
(b) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(c) scriverel'energia cinetica delsistema;
(d) determinare lecon gurazioni di equilibrio e discuterne lastabilita';
(e) calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni attorno alla con gurazione di
equilibrio stabileaventes>0.
25. E' dato il camp o di forze F = k
1 x
^
i k
2 y
^
j k
3 z
^
k, de nito in tutto R 3
, con
k
1 6=k
2 6=k
3
costanti realip ositive. Direse
sitratta di un camp ocentrale;
si tratta di un camp o conservativo ed, in caso a ermativo, determinarne il
mediante vincoli lisci bilaterali ed e' sottop osto al camp o di forze sopra de nito.
Usando come co ordinatelagrangianele co ordinatep olari delpuntoP,re ,
scriverele forzegeneralizzate lagrangiane;
scriverel'energia cinetica;
scriverele equazioni di Lagrange;
studiare il moto del punto P (risolvendo le equazioni di Lagrange) nel caso
k
1
=k
2 e k
3
qualsiasi.
26. Un'asta omogenea p esante AB, di lunghezza l e massam, si muove nel piano ver-
ticale O (x;y),lib era di ruotare attornoal suo estremo A, a sua volta vincolato ad
appartenereallacirconferenzadicentrol'origineeraggioR. Sull'estremoB dell'asta
agisce inoltre una molla, di costante elastica k> 0 e centro il punto D , proiezione
dell'estremo B sull'asse x. Scegliendo come co ordinate lagrangianegli angoli e
che risp ettivamente il vettoreA Oe l'astaAB formanocon laverticale, si chiede
di:
(a) scriverel'energia p otenziale V del sistema;
(b) determinare tuttelecon gurazioni di equilibrio;
(c) discutere lastabilita' delle con gurazioni di equilibrio nelle qualil'asta e' dis-
p ostalungo l'asse y.
27. Duepuntimateriali P
1 e P
2
si muovonosulpianoverticale O (x;y). In talepiano,il
puntoP
1
e'vincolatoascorreresenzaattritosulla circonferenzadicentro l'originee
raggioR,mentreP
2
e'vincolatoascorreresenzaattritosull'asse x. Oltrealla forza
p eso,sui duepuntiagisconodue molle, unadi costanteelasticak
1
>0che collegail
puntoP
1
con ilpuntoA(0;R)ed unadi costanteelasticak
2
>0 che collegaP
1 e P
2
fradi loro. Si chiede di:
(a) determinare ilnumerodi gradi dilib erta' e scegliereleco ordinate lagrangiane;
(b) scriverel'energia p otenziale V del sistema;
ticale O (x;y),lib era di ruotare attornoal suo estremo A, a sua volta vincolato ad
appartenereallacirconferenzadicentrol'origineeraggioR. Sull'estremoB dell'asta
agisce inoltre una molla, di costante elastica k > 0 e centro il punto D (R;0). Si
chiede:
(a) determinare ilnumerodi gradi dilib erta' e scegliereleco ordinate lagrangiane;
(b) scriverel'energia cinetica T del sistema;
(c) scriverel'energia p otenziale V del sistema;
(d) scriverele equazioni di Lagrange.
29. E' dato il camp o di forze F = k
1 x
^
i+a
^
j k
2
^
k, de nito in tutto R 3
,con k
1 6=k
2
ed acostantireali p ositive. Direse
sitratta di un camp ocentrale;
si tratta di un camp o conservativo ed, in caso a ermativo, determinarne il
p otenziale.
Un punto materiale P di massa m e' vincolato ad appartenere al piano z = 0,
mediante vincoli lisci bilaterali ed e' sottop ostoalcamp o di forze soprade nito. Si
chiede di
scriverel'energia cinetica;
scriverele equazioni di Lagrange;
studiare il motodelpuntoP (risolvendo le equazioni di Lagrange), tracciando
anche un gra coapprossimativodella traiettoria.
30. Un sistema materiale e' costituito da due aste materiali omogenee p esanti, O A e
BC, di ugual lunghezza l e massa m, che si muovono nel piano verticale O (x;y).
L'asta O A e' lib era di ruotare attorno al suoestremo O ,che e' sso,mentre l'asta
BC e'vincolataadappartenereallastessarettadell'astaO Amae'lib eradiscorrere
su di essa. Gli estremi B dell'asta BC ed A dell'asta O A sono inoltre collegati da
una molla di costanteelasticak>0. Si chiede di:
(a) determinare ilnumerodi gradi dilib erta' e scegliereleco ordinate lagrangiane;
(b) scriverel'energia p otenziale V del sistema;
(c) determinare lecon gurazioni di equilibrio;
(d) discutere lastabilita' delle con gurazioni di equilibrio trovate.
31. Un sistema materiale e' costituito da due aste materiali omogenee p esanti, O A ed
BC, di lunghezza l e massa m, che si muovononel piano verticale O (x;y). L'asta
O A e' lib era di ruotare attorno alsuo estremo O , che e' sso, mentre l'astaBC e'
vincolata ad appartenere alla stessa retta dell'asta O A ma e' lib era di scorrere su
di essa. Sull'estremo B dell'asta BC agisce inoltre una molla, di costante elastica
k>0,che lacollega con l'estremoAdell'asta O A. Si chiede:
(a) determinare ilnumerodi gradi dilib erta' e scegliereleco ordinate lagrangiane;
(b) scriverel'energia cinetica T del sistema;
(c) scriverel'energia p otenziale V del sistema;
(d) scriverele equazioni di Lagrange.
32. DuepuntimaterialiP
1 eP
2
diugualmassamsimuovonosulpianoverticaleO (x;y).
In tale piano, il punto P
1
e' vincolato a scorrere senza attrito sulla parab ola di
equazione y = x 2
a 2
, mentre P
2
e' vincolato a scorrere senza attrito sull'asse x.
Oltrealla forzap eso,sui duepunti agisceunamolladi costanteelasticak>0 cheli
(b) scriverel'energia p otenziale V del sistema;
(c) determinare lecon gurazioni di equilibrio e discuterne lastabilita'.
33. Una sistema materiale e' costituito da due aste p esanti AB e CD , di massa m e
lunghezza Le2Lrisp ettivamente, chesimuovononelpianoverticale O (x;y). L'asta
AB e'vincolata amuoversi dimototraslatorio,sempreparallela all'asseO xecon il
baricentro vincolato a scorreresenza attritosull'asse O y. L'asta CDha gli estremi
vincolati ascorreresenza attritosu AB e sull'asse O x. Due molledi ugualcostante
elastica k > 0 collegano i vertici C e D risp ettivamente con il baricentro di AB e
con l'origine O .
Scelte qualico ordinatelagrangianel'ascissaxdiC el'angolo'chel'astaCDforma
con l'asse O x,si chiededi:
(a) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(b) scriverel'energia cinetica delsistema;
(c) determinare lecon gurazioni di equilibrio e discuterne lastabilita';
(d) calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni attorno alla con gurazione di
orizzontaleede'sottop ostoall'azionediunamolladicentroilpuntoO ,appartenente
alla guida,e di costanteelasticak>0. Nell'intervallo jxj<a, e'presenteuna forza
di attrito viscoso di costante viscosa . All'istante iniziale il punto si trova nella
p osizione x(0)=2a con velo cita' nulla. Posto! =k =m e2==m,determinare il
motodelsistema nell'ip otesi =! p
3=2. Calcolare inoltre aquale istantedi temp o
siha ilprimopassaggiodelpuntoP p eril centroO .
35. Una lamina a forma di semicerchio di raggio R e massa M si muove in un piano
verticale, avendo il diametro AB vincolato a scorrere senza attrito su una guida
orizzontale. La lamina si mantiene sempre nel semipiano al di sotto della guida.
All'estremo B del diametro e' sosp esa un'asta BC, di lunghezza l e massa m, che
puo' ruotare, sempre nel medesimo piano verticale, attorno a B. Oltre alla forza
p eso,sul sistemaagisceuna molladi costanteelasticak>0,centroilpuntoOdella
guida ed applicataal punto A.
(a) Determinareilnumerodeigradidilib erta'escegliereleco ordinatelagrangiane;
(b) scriverel'energia cinetica delsistema;
(c) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(d) scriverele equazioni di Lagrange;
(e) determinare i moti p ossibili del sistema in cui l'asta rimane costantementein
p osizione verticale.
36. Calcolare la matriced'inerzia del corp origidoin gura,risp etto al sistemasolidale
indicato (l'assez p erp endicolare al piano della gura). Il corp o rigido e' costituito
da quattrolamine rettangolariomogenee A
i B
i C
i D
i
,i=1;2;3;4,di ugualmassa m
e con A
i B
i
=C
i D
i
=a eB
i C
i
=A
i D
i
=b,con a>b,e da un cerchioomogeneodi
lunghezza l ed ugual massa m, che si muovonosul piano verticale O (x;z). Le due
aste hannoilpuntomedio M in comune e p ossonoruotareattornoad esso. Inoltre,
il punto medio M e' vincolato a scorrere senza attrito lungo l'asse z e gli estremi
B e D delle due aste sono vincolati a scorrere senza attrito sull'asse x. Oltre alla
forza p eso, sulle due aste agisce una molla di costanteelastica k>0 che collega gli
estremi Ae C. Si chiede:
(a) determinare il numerodi gradidi lib erta' del sistema;
(b) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(c) scriverel'energia cinetica delsistema;
(d) scriverele equazioni di Lagrange.
38. Un sistema rigido e' costituito da due punti materiali P
1 e P
2
,di massa risp ettiva-
sistema cartesianoortogonaleO (x;y;z), ssonello spazio, sichiede di:
(a) determinareilnumerodigradidilib erta'delsistemaedintro durreleco ordinate
lagrangiane;
(b) scriverela velo cita'angolare nel sistema sso;
(c) scrivere l'energia cinetica del sistema sommando le energie cinetiche dei due
puntimateriali;
(d) scriverel'energiacineticadelsistemaconsideratocomecorp origidoeveri care
che ledue espressioni sonouguali.
39. Unalaminamaterialeomogeneadi massame'costituitadaitrequartidiuncerchio
dicentroOeraggioRedaltriangolorettangoloisosceleAO B dilatoR(vedi gura).
Si chiede di calcolaretuttigli elementi della matriced'inerzia I(O )nel sistemasoli-
daleO (x;y;z)aventegliassixedy comein gurael'asse zp erp endicolarealpiano
verticaleO (x;z). Ilpuntomedio P
0
e'vincolatoascorreresenzaattritolungo l'asse
z, mentre i punti A e B sono soggetti all'azione di due molle, di ugual costanti
elastiche k>0,ecentri duepuntidell'asse x,di ascisse ae arisp ettivamente, con
a>0.
Si chiede:
(a) determinare ilnumero di gradi di lib erta' del sistema e scegliere le co ordinate
Lagrangiane;
(b) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(c) determinare lecon gurazioni di equilibrio;
(d) studiare lastabilita'delle con gurazionidi equilibrio trovate.
41. Un cerchioomogeneo di massaM e raggioRsimuove nelpianoverticale O xz,con
z verticale ascendente. Il cerchioe'lib ero di ruotare attornoalsuocentro C,che e'
a sua volta vincolato a scorrere senza attrito sull'asse z. Sul puntoB del b ordo e'
applicataunamolladicostanteelasticak>0,checollegaB conl'origineO . Siasla
co ordinata (consegno)delcentro C sull'asse ze sia l'angolo cheil vettoreB C
forma con l'orizzontale (vedi gura). Scelte s e come co ordinate lagrangiane, si
chiede di:
(a) scriverel'energia cinetica delsistema;
(b) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(c) scriverele equazioni di Lagrange;
(d) studiare i motip ossibili a costante;
z verticale ascendente. Il cerchioe'lib ero di ruotare attornoalsuocentro C,che e'
a sua volta vincolato a scorrere senza attrito sull'asse z. Sul puntoB del b ordo e'
applicataunamolladicostanteelasticak>0,checollegaB conl'origineO . Siasla
co ordinata (consegno)delcentroC sull'asse z e sia'l'angolo che ilvettoreB C
forma con l'orizzontale (vedi gura). Scelte s e ' come co ordinate lagrangiane, si
chiede di:
(a) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(b) determinare lep osizioni di equilibrio;
