Corso di Laurea in Informatica - 10 febbraio 2011 Complementi di Matematica, mod.Analisi: esercizi 1)2)3)4) Analisi Matematica 1 Complementi (6cfu): esercizi 3)4)5)6)
1) Trovare la soluzione del problema di Cauchy
½ 2y y0 = x log x y(1) = −2
¾
2) Trovare l’insieme delle soluzioni dell’equazione differenziale
y00− y0+ y = 0
————————————-
3) a)Determinare i punti stazionari di f (x, y) e stabilirne la natura:
f (x, y) = (x2+ 2y2) e−x2
b) Calcolare la derivata direzionale della funzione f nel punto P = (2, 1) lungo il versore v = ( 1
√2, − 1
√2).
4) Sia D = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2− 4x − 2y ≤ 0, y ≤ 1} . Disegnare D e calcolare l’integrale utilizzando un opportuno cambiamento di variabili
Z
D
x(y − 1) dx dy
——————————–
5) Stabilire il carattere delle seguenti serie
a) X∞ n=1
1
(n + 3)2n; b) X∞ n=1
(−1)ncos(1
n); c) X∞ n=4
sin(n) log n + n√
n
6) Determinare l’insieme di convergenza della serie di potenze, e calcolarne
la somma ∞
X
n=1
(−1)n(3x − 1)2n n
