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Academic year: 2021

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Cognome e Nome:

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Complementi di Matematica Discreta

Si risolvano i seguenti esercizi GIUSTIFICANDO le risposte.

1. Sia V = R

4

.

(a) Determinare la dimensione del sottospazio W di V generato dai vet- tori e

i

+ie

i+1

, i = 1, 2, 3, dove e

i

indica il vettore della base standard.

(b) Trovare una base di W e completarla ad una base di V .

(c) Trovare un sottospazio U di V tale che U + W = V e U ∩ W = 0.

2. Sia A una matrice 3 × 3 a coefficienti reali, avente autovalori −1, √ 2,

12

. (a) Esibire almeno due matrici simili ad A.

(b) Calcolare il determinante e il polinomio caratteristico di A.

(c) Provare che A ` e diagonalizzabile.

3. Sia f l’applicazione da R

3

in R

3

definita mediante f (a, b, c) = (a + b − c, 2c − 3a, a − b + c).

(a) Mostrare che f ` e lineare;

(b) determinare i vettori v tali che f (v) = (0, −3, 2);

(c) determinare la matrice associata ad f rispetto alla base e

1

, e

1

+e

2

, e

2

−

e

3

.

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