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Academic year: 2021

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Cognome e Nome:

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Complementi di Matematica Discreta

Si risolvano i seguenti esercizi GIUSTIFICANDO le risposte.

1. Sia V = R

4

.

(a) Determinare la dimensione del sottospazio W di V generato dai vet- tori e

i

− e

i+1

, i = 1, 2, 3, dove e

i

indica il vettore della base standard.

(b) Trovare una base di W e completarla ad una base di V .

(c) Trovare un sottospazio U di V tale che U + W = V e U ∩ W = 0.

2. Sia A la matrice 2 × 3 avente righe (1, 0, −1) e (2, 1, 1).

(a) Calcolare B = AA

t

e C = A

t

A.

(b) Calcolare il determinante e il polinomio caratteristico di B e C.

(c) Provare che C ` e diagonalizzabile.

3. Sia f l’applicazione da R

3

in R

3

definita mediante f (a, b, c) = (a + b − c, 2c − 3a, a + b + 7c).

(a) Mostrare che f ` e lineare;

(b) stabilire per quali valori di b, (a, b, 1) ∈ ker f ;

(c) determinare i vettori v tali che f (v) = (0, −3, 2).

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