Prova scritta di Meccanica Razionale – 12.01.2016
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FILA 1
Esercizio 1. Nel piano cartesiano Oxy si consideri la lamina omogenea, di massa m, costituita dal rettangolo OABC in cui sono stati praticati due fori semicircolari (vedi figura).
Sapendo che OE = F A = R, si chiede:
1. determinare le coordinate del baricentro della lamina (punti 5);
2. calcolare la matrice d’inerzia I
Odella lamina rispetto al riferimento Oxyz (punti 7).
O x
y
A C B
E
F
Esercizio 2. In un piano verticale Oxy, si consideri un sistema materiale pesante costituito da una corona circolare omogenea, di raggio esterno 2R, raggio interno R e massa m, e da un punto materiale P , di massa 3m. La corona `e incernierata in un punto del bordo interno all’origine O del sistema di riferimento mentre il punto materiale P `e vincolato a scorrere sulla semiretta Oy
+. Oltre alle forze peso, sul sistema agisce una molla ideale, di costante elastica k = 4mg
3R , che collega il punto materiale P con il punto A del bordo esterno della corona appartenente al diametro passante per O. Sulla corona agisce, inoltre, una coppia di momento ~ M = λmg (O − C) × ~j, con λ ∈ R.
Introdotti i parametri lagrangiani y = y
Pe θ = y
+OA b e supposti i vincoli lisci, si chiede:
O
A C
P
x
y
1. scrivere l’espressione della funzione potenziale delle forze attive agenti sul sistema (punti 4);
2. determinare le configurazioni di equilibrio ordinarie del sistema in funzione di λ (punti 4);
3. studiare la stabilit`a delle configurazioni di equilibrio ordinarie (punti 3);
4. calcolare le reazioni vincolari all’equilibrio (punti 4);
5. scrivere l’espressione dell’energia cinetica del sistema (punti 4);
6. posto λ = 7, calcolare le pulsazioni delle piccole oscillazioni attorno alla configurazione di equilibrio stabile (punti 3).
Avvertenze:
• Durata della prova: 120 minuti.
• Non `e consentita la consultazione di testi e appunti.
• Ammissione alla prova orale con punti 16.
