Prova scritta di Meccanica Razionale - 03.07.2018

Prova scritta di Meccanica Razionale - 03.07.2018

Cognome e Nome . . . . N. matricola . . . .

C.d.L.: AMBLT CIVLT Anno di Corso: 2 altro

FILA 1

Esercizio 1. Nel riferimento cartesiano Oxyz si consideri la lamina omogenea di massa m (vedi figura). Sapendo che OA = OE = 2L, ED = DC = OF = OH = L, si chiede di calcolare:

1. le coordinate del baricentro della lamina (punti 2);

2. la matrice d’inerzia I O della lamina rispetto al riferimento Oxyz (punti 7);

3. il momento d’inerzia I r della lamina rispetto alla retta r di equazione y = −x (punti 3).

O

x r

y D

C

A B

E

F H

π 4

1

Esercizio 2. In un piano verticale Oxy, si consideri un sistema materiale pesante costituito da un’asta omogenea OA, di massa m e lunghezza 4R, e da un disco omogeneo, di massa m e raggio

√ 3R. L’asta `e incernierata nell’origine del sistema di riferimento, il disco `e incernierato all’asta in modo tale che il suo centro coincida con il punto medio C dell’asta (vedi figura).

Oltre alle forze peso, nel punto B del disco agisce la forza ~ F B = −2mg~ e nel punto A dell’asta agisce la forza ~ F A = − √

3m g sin θ~ı + √

3m g cos θ ~, dove ~ı e ~ sono i versori degli assi Ox ed Oy, rispettivamente. Inoltre, sul disco agisce una coppia di momento ~ M = √

3 m g R~ı × ~.

B

O x

y

A

C x ^′

θ

ϕ

Introdotti i parametri lagrangiani θ = x ⁺ OA b e ϕ = x ^′+ CB, dove Cx b ^′ `e la retta orientata passante per C e parallela all’asse Ox e supposti i vincoli lisci, si chiede:

1. scrivere l’espressione della funzione potenziale di tutte le forze attive agenti sul sistema materiale (punti 4);

2. determinare le configurazioni di equilibrio del sistema (punti 4);

3. discutere la stabilit`a delle configurazioni di equilibrio del sistema (punti 4);

4. determinare la reazione vincolare esterna e quella interna nelle configurazioni di equilibrio (punti 4);

5. scrivere l’espressione dell’energia cinetica del sistema (punti 4).

Avvertenze:

1. Non ` e consentita la consultazione di testi e appunti.

2. Durata della prova: 150 minuti.

3. Ammissione alla prova orale con punteggio 16/30.

2

Soluzioni Esercizio 1

1. coordinate del baricentro: G = (0 ; 2 3

√ 2 L) 2. matrice d’inerzia rispetto ad O:

I

= 117 84 mL

I

= 31

84 mL

I

= 37

21 mL

3. momento d’inerzia rispetto alla retta r di equazione y = −x:

I

= 37 42 mL

Esercizio 2

1. potenziale U delle forze attive:

U = −8mgRsinθ − 2 √

3mgRsinφ + 4 √

3mgR(θ + 1 4 φ) + c 2. posizioni di equilibrio:

(θ

, φ

) : ( π 6 , π

3 ) , ( π 6 , 5π

3 ) , ( 11π 6 , π

3 ) , ( 11π 6 , 5π

3 ) 3. unica posizione di equilibrio stabile:

( 11π 6 , 5π

3 ) 4. reazione vincolare esterna all’equilibrio:

in θ

= π 6

Φ ~

= (

√ 3 2 mg , 5

2 mg) in θ

= 11π

6

Φ ~

= (−

√ 3 2 mg , 5

2 mg) reazione vincolare interna all’equilibrio:

in ogni posizione di equilibrio

~ Φ

= (0, 3mg) 5. energia cinetica:

T = 14

3 mR

θ ˙

+ 3 4 mR

φ ˙

3