Esame di Calcolo 2

Esame di Calcolo 2

A. Di Bartolo

1) Dati i seguenti sottospazi vettoriali di R ⁴

U = {(x, y, z, t) : x − z = 0, x + t = 0},

W = {(x, y, z, t) : x + y + z − 3t = 0, x − y + z + t = 0}, determinare una base di U + W e di U ∩ W .

2) Determinare le radici complesse del polinomio x ⁶ + 2.

3) Determinare il volume della regione di spazio delimitata dal triangolo di vertici (1, 0), (2, 0), (2, 1) e dalla superficie di equazione z = ln(x + y).

4) Determinare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f (x, y) = (2x ² + 3y ² )e ^−x

^−y

nel cerchio x ² + y ² ≤ 4.

5) Risolvere il seguente problema di Cauchy

 



y ⁰⁰ + y = x ³ − x + 1 y(0) = 0

y ⁰ (0) = 1

6) Stabilire se la funzione

f (x, y) =

 



sin(x

+x

y)

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

`e continua e differenziabile nel punto (0, 0).