Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Esame di profitto di Calcolo 2 - A. A. 2004-05 30 giugno 2005

Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

Esame di profitto di Calcolo 2 - A. A. 2004-05 30 giugno 2005

1. Si consideri la struttura di R-spazio vettoriale indotta su End(R

) dalle seguenti operazioni:

- (f + g)(v) = f (v) + g(v) ∀ f, g ∈ End(R

), ∀ v ∈ R

; - (λ · f )(v) = λ(f (v)) ∀ f ∈ End(R

), ∀ λ ∈ R, ∀ v ∈ R

.

Indicato con W il sottospazio di R

generato dai vettori (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), si dimostri che l’insieme

A = {f ∈ End(R

) : f (W ) ⊆ W }

` e un sottospazio vettoriale di End(R

). Determinare, inoltre, la dimensione ed una base di A.

2. Determinare la decomposizione in fattori lineari e quadratici del polinomio x

+ 2 ∈ R[x].

3. Stabilire il carattere della serie

∞

X

n=0

n

√n

2

.

4. Determinare i punti stazionari della funzione

f : R

→ R , (x, y) 7→ x

y e

,

e stabilire se si tratta di punti di massimo relativo, di minimo relativo o di sella.

5. Risolvere il seguente problema di Cauchy



 

 



 

 



y

+ 3y

= (x

− 1)e

y(0) = −

y

(0) = −

6. Calcolare l’integrale

Z

E

xe

dxdy

dove E ` e il quarto di cerchio, di centro l’origine e raggio 1, contenuto nel primo

quadrante.