ANALISI MATEMATICA 2 ING. ENERGETICA
proff. Daniele Andreucci, Alberto Bersani Prova a distanza del 29/01/2021
1. Sia data la funzione
f (x, y) =
1 − cos(xy)
(x2+ y2)32 se (x, y) 6= (0, 0) , 0 se (x, y) = (0, 0) .
Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere.
1) f è differenziabile in (0, 0).
2) f ha massimo assoluto in R2. 3) f ha minimo assoluto in R2. Soluzione
1. N
Le derivate parziali in (0, 0) esistono e sono nulle. Quindi se la funzione fosse differenziabile si dovrebbe avere
(h,k)→(0,0)lim
1 − cos(hk) (h2+ k2)2
= 0 . Tuttavia se h = k
h→0lim
1 − cos(h2) 4h4
=1 8. 2. S
La funzione è continua perché 1 − cos(xy)
(x2+ y2)32 ≤ρ4
ρ3 → 0 , ρ =px2+ y2→ 0 . Inoltre f (x, y) ≥ 0 e f(x, y) → 0 per (x, y) → ∞.
3. S
Infatti f (x, y) ≥ 0 e f(0, 0) = 0.
2. Sia data la funzione 2π-periodica f tale che f (x) = (π2 − x2)2 in (−π, π].
Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere.
4) La serie di Fourier di f converge totalmente in tutto R.
5) La successione dei coefficienti di Fourier di f tende a 0.
6) Se S denota la somma della serie di Fourier di f , allora S(x) = f (x) per ogni x ∈ R.
Soluzione 1. S
La funzione estesa periodicamente è di classe C1.
2. S
Questo vale per tutte le successioni di coefficienti di Fourier, per la disuguaglianza di Bessel.
3. S
Segue dalla teoria per tutte le serie di Fourier di funzioni regolari.
3. Sia data la curva γ data da (x(t) = e−tcos t ,
y(t) = e−tsin(2t) , t ∈ [0, +∞) . Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere.
7) Esistono infiniti punti della curva in cui le rette tangenti sono tutte parallele tra di loro.
8) La curva ha lunghezza finita.
9) La curva ha limite per t → +∞.
Soluzione 1. S Si ha
γ′(t) = e−t(− cos t − sin t, − sin(2t) + 2 cos(2t)) , e il vettore sopra è periodico di periodo 2π.
2. S
Infatti per una costante C > 0 opportuna
L(γ) ≤ C
+∞
Z
0
e−tdt < +∞ .
3. S Si ha
(x(t), y(t)) → 0 , t → +∞ .
4. Si consideri la funzione
f (x, y) = F (x2+ y2) , con F ∈ C∞(R), nel dominio
D =n
(x, y) ∈ R2| x2
4 + y2 ≤ 1o . Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere.
10) Se la funzione f ha un punto di estremo relativo sull’ellisse x2/4 + y2= 1 che non sia uno dei vertici dell’ellisse, in quel punto ∇ f = 0.
11) Almeno un punto di estremo di f in D è sempre assunto sulla frontiera di D.
12) Se F′(0) > 0 allora f non è derivabile in (0, 0).
Soluzione 1. S
Infatti nei punti di estremo relativo sull’ellisse ∇ f deve essere ortogonale all’ellisse, ma poiché f è radiale anche il suo gradiente ha direzione radiale (se non è nullo), e questa è ortogonale all’ellisse solo nei vertici.
2. N
Per esempio si pensi che F (s) può cambiare di segno ma annullarsi identicamente per s ≥ 1.
3. N Si calcola
∇ f(x, y) = 2F′(x2+ y2)(x, y) .
5. Dire se in ciascuno dei seguenti casi si possa stabilire per f ∈ C∞(R2), con ∇ f (0, 0) = 0, la natura del punto critico (0, 0).
13)
Hf(0, 0) =2 1 1 1
. 14)
Hf(0, 0) =1 3 3 8
. 15)
Hf(0, 0) =−1 4
4 −16
. Soluzione
1. S
L’hessiana è definita positiva, quindi il punto è di minimo isolato.
2. S
L’hessiana è indefinita, quindi il punto è di sella.
3. N
L’hessiana è semidefinita negativa, quindi si può solo escludere che sia un minimo.
6. Sia D ⊂ R3 un dominio regolare connesso, e sia F : R3 → R3, F ∈ C∞(R3). Indichiamo con ν la normale esterna a ∂D.
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.
16) Se il flusso soddisfa
Z
∂D
F · ν dS > 0 ,
allora si ha div F (x) > 0 per ogni x ∈ D.
17) Se il flusso soddisfa
Z
∂D
F · ν dS = 0 .
allora si ha div F (x) = 0 per qualche x ∈ D.
18) Se
Z
∂D
rot F · ν dS = 0 ,
allora si ha div F (x) = 0 per qualche x ∈ D.
Soluzione 1. N
Per il teorema della divergenza, Z
∂D
F · ν dS = Z
D
div F dx dy dz > 0 ,
ma questo non garantisce l’asserto.
2. S
Infatti Z
D
div F dx dy dz = Z
∂D
F · ν dS = 0 ,
e quindi div F , se non è ovunque nulla, deve cambiare segno in D; per il teorema dei valori intermedi segue l’asserto.
3. N
Infatti l’integrale dato si annulla sempre per Stokes.
7. Sia S ⊂ R3 una superficie orientata, con normale ν e bordo bS con versore tangente (positivo) τ . Sia F ∈ C∞(R3) un campo vettoriale F : R3→ R3.
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.
19) Si assuma che bS 6= ∅ sia una curva regolare. Se F (x) = τ (x) per ogni x∈ bS, allora
Z
S
rot F · ν dS = 0 .
20) Si assuma che bS 6= ∅ sia una curva regolare. Se F (x) = ν(x) per ogni
x∈ S, allora Z
+bS
F · τ ds > 0
(+bS è l’orientazione di bS positiva in corrispondenza di ν).
21) Supponiamo che S sia in realtà la sfera x2+ y2+ y2 = R2. Allora
Z
S
F · ν dS
≤ CR3, per ogni 0 < R < 1.
Qui C > 0 è una costante opportuna indipendente da R.
Soluzione
1. N
Per il teorema di Stokes, Z
S
rot F · ν dS = Z
+bS
F · τ ds > 0 ,
in questo caso.
2. N
Il teorema di Stokes non ci dice niente in questo caso, e l’asserto è falso se S è un dominio piano.
3. S
Segue dal teorema della divergenza Z
S
F · ν dS = Z
x2+y2+z2≤R2
div F dx dy dz ,
da cui l’asserto per la continuità di div F .
8. Due serie di potenze S1(x) e S2(x) sono date da S1(x) =
∞
X
n=0
anxn, S2(x) =
∞
X
n=0
anx2n,
con {an} ⊂ R.
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.
22) Il raggio di convergenza di S1 è uguale a quello di S2.
23) Se (a, b), a < b, è incluso nell’insieme di convergenza di S2, allora per ogni x ∈ (a, b) vale
S2′(x) =
∞
X
n=1
2nanx2n−1.
24) Se il raggio di convergenza di entrambe le serie è 1, e an > 0 per ogni n, allora in x = −1 entrambe hanno lo stesso comportamento (convergono, divergono o oscillano).
Soluzione 1. N
Per esempio se an= 2−n allora S1ha raggio 2 e S2 ha raggio√ 2.
2. S
Segue dalla teoria delle serie di potenze.
2. N
Infatti se an= 1/(n + 1) si ha
S1(−1) =
∞
X
n=0
(−1)n
n + 1 , S2(x) =
∞
X
n=0
1 n + 1, e quindi S1(−1) converge e S2(−1) diverge.
