MECCANICA RAZIONALE ING. MECCANICA prof. Daniele Andreucci Prova a distanza del 04/09/2020
1. Un parallepipedo omogeneo C è vincolato a muoversi di moto polare di polo l’origine del sistema fisso O, in cui è fissato un suo vertice, con vincolo liscio.
Sul corpo rigido agisce la distribuzione di forze dF = α(x − XO) dλ + βe dλ ,
ove e è un vettore costante (nel sistema fisso), α, β sono costanti positive, e dλ è la misura di volume su C. Qui x sono le coordinate nel sistema di riferimento fisso, e λ quelle nel sistema di riferimento solidale.
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.
1) Il moto di C è indipendente da α.
2) Il moto di C è indipendente da β.
3) La componente di LO data da LO· e è indipendente dal tempo.
Soluzione 1. S
Il moto è dato dalle equazioni di Eulero, dove appare solo MextO =
Z
C
X(t, λ) × βe dλ .
2. N
Vedi il punto precedente.
3. S
Infatti, ancora per il primo punto, e per la seconda equazione globale, d
dt(LO· e) = dLO
dt · e = MextO · e = Z
C
X(t, λ) dλ × βe · e = 0 .
2. Un punto materiale è vincolato alla sfera x21+ x22+ x23 = R2, con vincolo scabro tale che
|ftanvin| ≤ µ|fnorvin| . Il punto è soggetto alla forza direttamente applicata
F = αe3;
qui α > 0, µ > 0 sono costanti.
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.
4) Esistono infinite posizioni di equilibrio.
5) Esistono infinite posizioni non di equilibrio.
6) L’insieme delle posizioni di equilibrio è invariante per simmetrie x3 7→
−x3. Soluzione 1. S
All’equilibrio fvin+ F = 0, quindi si deve avere
|F |2− |F · ν|2≤ µ2|F · ν|2. Si calcola esplicitamente
α2≤ (1 + µ2)α2x23 R2, vale a dire l’equilibrio si ha se e solo se
|x3| ≥ R
p1 + µ2 =: k < R . 2. S
Segue dallo stesso calcolo del primo punto: non si ha equilibrio nella zona |x3| < k.
3. S
Infatti l’insieme delle posizioni di equilibrio è dato da |x3| ≤ k.
3. Un punto materiale (X, m) è soggetto al campo di forze F = −βeα(x1+x2)(αx23e1+ αx23e2+ 2x3e3) , x∈ R3. Dire se ciascuna dalle seguenti affermazioni è corretta.
7) Esistono moti illimitati.
8) Se, dato un moto X, esiste una costante c > 0 tale che lungo il moto x1(t)2+ x2(t)2 ≤ c , per ogni t,
allora anche x3(t) rimane limitata durante il moto.
9) Se un moto X soddisfa X(t1) = X(t3) e X(t2) = X(t4), per t1 < t2 <
t3< t4, allora il lavoro fatto da F sul moto in [t1, t2] è uguale a quello fatto in [t3, t4].
Soluzione 1. S
La forza è identicamente nulla sul piano x3 = 0, quindi esistono moti rettilinei uniformi su tale piano.
2. S
La forza è conservativa di potenziale
U(x) = −βx23eα(x1+x2). Dunque per ciascun moto esiste E tale che
βx23eα(x1+x2)≤ E − T ≤ E .
Dunque
x23≤ Eβ−1e−α(x1+x2)≤ Eβ−1eα√2c, perché
(x1+ x2)2≤ 2(x21+ x22) ≤ 2c . 3. S
Dato che la forza è conservativa, il lavoro su [t, τ] dipende solo dalle posizioni X(t) e X(τ).
4. Due punti materiali (X1, m1), (X2, m2) sono entrambi vincolati al cilindro
x21+ x22= R2, con vincolo liscio, e su Xi è applicata la forza Fi
F1 = γ X2− X1
|X1− X2|3 = −F2, con γ > 0. Si assuma X16= X2.
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.
10) L’energia meccanica si conserva.
11) La parametrizzazione lagrangiana
Xl1 = R cos ϕe1+ R sin ϕe2+ ue3, Xl2= xe1+p
R2− x2e2+ ve3, con ϕ ∈ (−π, π), x ∈ (−R, R), (u, v) ∈ R2, è ammissibile.
12) Tutti i moti sono limitati, cioè per ciascun moto esiste una c > 0 tale che |X1(t)| + |X2(t)| ≤ c per ogni t.
Soluzione 1. S
Le forze sono conservative di potenziale
U(x1, x2) = γ
|x1− x2|. 2. S
Non è globale, ma rispetta i vincoli e le altre condizioni di non singolarità.
3. N
Per esempio se le condizioni iniziali sono
X1(0) = Re1, X2(0) = −Re1, X˙ 1(0) = ˙X2(0) = v0e3, il moto è
(X1(t), X2(t)) = (Re1+ v0te3,−Re1+ v0te3) .
5. Il punto materiale (X, m) è vincolato con attrito alla curva ψ(s); la reazione vincolare soddisfa
|ftanvin| = µ|fnorvin| ,
con µ > 0 costante, e supponiamo ˙X(t) 6= 0 per ogni t. Sul punto è applicata la forza F . Denotiamo con (T , N , B) la terna intrinseca della curva, che ha curvatura mai nulla.
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.
13) Se F (t) = 0 allora fvin(t) 6= 0.
14) Se ftanvin(t) = 0 allora F · B = 0.
15) Se fnorvin(t) 6= 0 allora m¨s(t) 6= F (t) · T (s(t)).
Soluzione 1. S
Infatti in questo caso
fvin(t) · N (s(t)) = mk(s(t)) ˙s(t)2. 2. S
In questo caso anche fnorvin(t) = 0, e si ha
F(t) · B(s(t)) = −fvin(t) · B(s(t)) = 0 . 3. S
Infatti
m¨s(t) = F (t) · T (s(t)) + fvin· T (s(t)) , fvin· T (s(t)) = ±|ftanvin| = ±µ|fnorvin| 6= 0 .
6. Sia (X, m) un moto vincolato alla curva mobile ψ(s, t) con vincolo liscio, soggetto a forze direttamente applicate nulle.
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.
16) L’energia meccanica E(t) è non decrescente in t.
17) L’accelerazione a(t) ha componente nulla lungo la binormale B(s(t), t) alla curva.
18) Si ha ma · T = 0.
Soluzione 1. N
L’andamento di E(t) può essere qualunque: si pensi al caso del vincolo x3 = α(t), x21+ x22= R2 se x1= R, x2= 0.
2. N
Nel caso del punto precedente a è diretta come B.
3. S
L’ipotesi dei lavori virtuali asserisce infatti che fvin· T = 0.
7. Un corpo rigido non degenere C è vincolato a muoversi di moto polare di polo O.
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.
19) Se MextO = λe1 con λ ∈ R, il moto può essere una rotazione.
20) Se MextO è periodico in t, anche tutti i moti lo sono.
21) La prima equazione globale (o cardinale) della meccanica è sufficiente a determinare il moto di C.
Soluzione
1. S
Se e1coincide con la direzione (solidale) di un asse principale d’inerzia in O, come segue subito dalle equazioni di Eulero.
2. N
Per esempio se MextO = 0 (moti polari per inerzia) esistono moti non periodici (se l’ellissoide d’inerzia in O non ha simmetria di rotazione).
3. N
Nel caso in cui O sia il centro di massa, per esempio, la prima equazione globale dice solo Fext= 0. È invece la seconda equazione globale che permette di risolvere il moto.
8. Si consideri il sistema di riferimento mobile S = (XO,(uh)), ove O è l’origine del sistema fisso e
u1 = cos(αt) e1+ sin(αt) e2, u2 = − sin(αt) e1+ cos(αt) e2, u3 = e3,
ove α > 0 è costante.
Un sistema di punti materiali (Xi, mi) è vincolato al piano ruotante hu1(t), u3(t)i.
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.
22) La forza di Coriolis non appare nelle equazioni di Lagrange scritte in S.
23) Nel sistema di riferimento mobile la forza di trascinamento è conservativa.
24) Se il sistema di punti è in quiete rispetto a S, allora non può esserlo rispetto al sistema di riferimento fisso.
Soluzione 1. S
Un noto teorema garantisce che le componenti lagrangiane della forza di Coriolis si annullano in questo caso.
2. S
Infatti è data da
X
i
mα2λ1iu1. 3. N
Se i punti sono fermi sull’asse x3comune ai due sistemi sono in quiete in entrambi.
